バイジェクション

2 つの数学的な集合間の全単射、全単射関数、または1 対 1 対応は、2 番目の集合 (共役領域) の各要素が最初の集合 (定義域) の正確に 1 つの要素の像となるような関数です。同様に、全単射は、いずれかの集合の各要素が他の集合の正確に 1 つの要素と対になるような 2 つの集合間の 関係です。

関数が全単射であるためには、それが逆関数である必要があります。つまり、関数が全単射であるためには、 f の逆関数が存在し、その2つの関数を合成する2つの方法のそれぞれが恒等関数を生成する必要があります。の各 に対して、の各に対して${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to X,}$${\displaystyle g(f(x))=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(g(y))=y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y.}$

たとえば、2 を掛けると、整数から偶数への全単射が定義され、その逆関数として 2 による除算が実行されます。

関数が全単射であるためには、関数が単射（または1 対 1）である必要がある。単射とは、共役領域の各要素が定義域の 1 つの要素からのみマッピングされることを意味する。また、全射（または上へ）である必要がある。全単射とは、共役領域の各要素が定義域の 1 つの要素からのみマッピングされることを意味する。1 対 1 対応という用語は、単射ではあるが必ずしも全射ではないことを意味する1 対 1 関数と混同しないでください。

数えるという基本的な操作は、ある有限集合から最初の自然数 (1、2、3、...)への、数えられた集合の要素の数までの一対一の関係を確立します。その結果、2 つの有限集合の要素数が同じになるのは、それらの集合の間に一対一の関係が存在する場合のみです。より一般的には、2 つの集合の間に一対一の関係が存在する場合、それらの集合は同じ基数を持つと言われます。

集合からそれ自身への全単射関数は順列とも呼ばれ、^[1]集合のすべての順列の集合はその対称群を形成する。

さらなる特性を持つ一部の全単射には、自己同型、同型、同相、微分同型、置換群、およびほとんどの幾何学変換など、特定の名前が付けられています。ガロア対応は、明らかに非常に異なる性質を持つ 数学的オブジェクトのセット間の全単射です。

集合Xの要素と集合Yの要素を対にした二項関係が一対一である ためには、次の 4 つの特性が満たされている必要があります。

1. Xの各要素は、少なくともYの 1 つの要素とペアになっている必要があります。
2. Xの要素はYの複数の要素とペアになることはできない。
3. Yの各要素は、少なくともXの1つの要素とペアになっている必要があり、
4. Yの要素は、Xの複数の要素とペアになることはできません。

性質 (1) と (2) を満たすということは、ペアリングがドメインXを持つ関数であることを意味します。 性質 (1) と (2) は、単一のステートメントとして記述されるのが一般的です。Xのすべての要素は、 Yのちょうど 1 つの要素とペアになっています。 性質 (3) を満たす関数は「Y上」にあると言われ、全射(または全射関数) と呼ばれます。 性質 (4) を満たす関数は「1 対 1 関数」と呼ばれ、単射(または単射関数)と呼ばれます。 ^[2]この用語では、全単射は全射と単射の両方である関数、または言い換えると、全単射は「 1 対 1」と「 上」の両方である関数です。^[3]

野球チームやクリケットチームの打順（または、各選手が打順の特定の位置を占めるスポーツチームの全選手のリスト）を考えてみましょう。セットX はチームの選手（野球の場合は 9 人）で、セットY は打順のポジション（1 番、2 番、3 番など）です。「ペアリング」は、どの選手がこの打順のどの位置にいるかによって決まります。特性 (1) は、各選手がリストのどこかにいるので満たされます。特性 (2) は、打順の 2 つ（またはそれ以上）のポジションで打つ選手がいないので満たされます。特性 (3) は、打順の各ポジションで打つ選手が何人かいることを示し、特性 (4) は、2 人以上の選手がリストの同じポジションで打つことはないことを示します。

教室には一定数の座席があります。一群の生徒が教室に入ってくると、講師は彼らに着席するように言います。教室をざっと見回した後、講師は生徒の集合と座席の集合の間には一対一の関係があり、各生徒は座っている座席とペアになっていると宣言します。この結論に達するために講師が観察したことは次のとおりです。

1. 生徒全員が席に座っていた（立っている人はいなかった）。
2. 学生は1席以上に座っていなかった。
3. どの席にも誰かが座っており（空席はなかった）、
4. どの席にも 1 人以上の生徒が座っていませんでした。

講師は、どちらのセットも数えなくても、生徒の数と同じ数の座席があると結論付けることができました。

• 任意の集合Xに対して、恒等関数 1 _X : X → X , 1 _X ( x ) = x は全単射である。
• 関数f : R → R , f ( x ) = 2 x + 1 は全単射です。なぜなら、各yに対して、 f ( x ) = yとなる唯一のx = ( y − 1)/2が存在するからです。より一般的には、実数上の任意の線形関数f : R → R , f ( x ) = ax + b (ただしaはゼロ以外) は全単射です。各実数yは、実数 x = ( y − b )/ aから得られます (または、実数x = ( y − b )/ aとペアになります) 。
• 関数f : R → (−π/2, π/2) はf ( x ) = arctan( x ) で与えられ、これは各実数xが区間 (−π/2, π/2) 内のちょうど 1 つの角度yと対になって tan( y ) = x (つまりy = arctan( x )) となるため、全単射である。共役領域 (−π/2, π/2) が π/2 の整数倍を含むように拡大された場合、この関数はもはや全射 (全射) ではなくなる。これは、この arctan 関数によって π/2 の倍数と対になる実数が存在しないからである。
• 指数関数g : R → R 、 g ( x ) = e ^{x は}全単射ではありません。たとえば、Rにはg ( x ) = −1となるx は存在しないため、g は全単射ではありません (全射ではありません)。ただし、共役領域が正の実数に制限されている場合、g は全単射になります。その逆関数 (以下を参照) は自然対数関数 ln です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\equiv \left(0,\infty \right)}$
• 関数h : R → R ⁺ , h ( x ) = x ²は全単射ではありません。たとえば、h (−1) = h (1) = 1 であり、hは 1 対 1 (単射) ではないことがわかります。ただし、定義域が に制限されている場合、hは全単射になります。その逆関数は正の平方根関数です。${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}\equiv \left[0,\infty \right)}$
• シュレーダー・ベルンシュタインの定理によれば、任意の 2 つの集合XとY、および 2 つの単射関数f : X → Yとg : Y → Xが与えられたとき、全単射関数h : X → Yが存在する。

定義域Xを持つ全単射f (関数記法ではf : X → Yと表記)は、 Yから始まりXに向かう(矢印を逆にすることによって)逆関係も定義します。任意の関数の「矢印を逆にする」プロセスは、一般に関数を生成しませんが、全単射の特性 (3) と (4) は、この逆関係が定義域Yを持つ関数であることを示しています。さらに、特性 (1) と (2) は、この逆関数が全射かつ単射であることを示しています。つまり、逆関数が存在し、また全単射でもあるということです。逆関数を持つ関数は可逆であると言われています。関数が可逆なのは、それが全単射である場合のみです。

簡潔な数学的記法で述べると、関数f : X→Yが全単射となるのは、次の条件を満たす場合のみである。

Yの任意のyに対して、Xにはy = f ( x )を満たす唯一のx が存在する。

野球の打順の例を続けると、定義される関数は、入力として選手の 1 人の名前を受け取り、その選手の打順のポジションを出力します。この関数は一対一であるため、打順のポジションを入力として受け取り、そのポジションで打つ選手を出力する逆関数があります。

2つの全単射f : X → Yとg : Y → Zの合成は 全単射であり、その逆は で与えられます。 ${\displaystyle g\,\circ\,f}$${\displaystyle g\,\circ\,f}$${\displaystyle (g\,\circ \,f)^{-1}\;=\;(f^{-1})\,\circ \,(g^{-1})}$

逆に、2 つの関数の合成が全単射である場合、 fは単射であり、g は全射であることが必然的にわかります。 ${\displaystyle g\,\circ \,f}$

XとY が有限集合である場合、 XとY の2 つの集合の間には、 XとYの要素の数が同じ場合に限り、一対一の関係が存在します。実際、 公理的集合論では、これは「要素の数が同じ」(同数性)の定義として扱われ、この定義を無限集合に一般化すると、無限集合のさまざまなサイズを区別する方法で ある基数の概念につながります。

• 関数f : R → Rが全単射となるのは、そのグラフがすべての水平線および垂直線とちょうど 1 回交わる場合のみです。
• Xが集合である場合、 Xからそれ自身への全単射関数は、関数合成 (∘) の操作とともに、群、つまりXの対称群を形成します。これは、S( X )、S _X、またはX ! ( X の階乗)など、さまざまな形式で表記されます。
• 全単射は集合の基数を保存します。基数 | A |を持つドメインのサブセットAと基数 | B |を持つコドメインのサブセットBに対して、次の等式が成り立ちます。

  | f ( A )| = | A | かつ | f ⁻¹ ( B )| = | B | です。

• XとY が同じ濃度の有限集合であり、 f : X → Yである場合、以下は同値です。
  1. f は一対一です。
  2. f は全射です。
  3. f は注入です。
• 有限集合Sの場合、要素の可能な全順序付けの集合とSからSへの全単射の集合の間には一対一の関係があります。つまり、Sの要素の順列の数は、その集合の全順序付けの数と同じ、つまりnです。

全単射は、集合と集合関数のカテゴリSetにおける同型です。ただし、より複雑なカテゴリでは、全単射が常に同型になるわけではありません。たとえば、グループのカテゴリGrpでは、射はグループ構造を保存する必要があるため準同型でなければなりません。そのため、同型は全単射準同型である グループ同型です。

一対一対応の概念は部分関数に一般化され、部分関数は部分全単射と呼ばれるが、部分全単射は単射であることのみが要求される。このように緩和される理由は、（適切な）部分関数はその定義域の一部ではすでに未定義であるため、その逆関数を全関数、すなわち定義域のどこでも定義されるように制約する強い理由はない。与えられた基底集合上のすべての部分全単射の集合は対称逆半群と呼ばれる。^[4]

同じ概念を定義する別の方法は、AからBへの部分的な一対一関係とは、 Rが一対一関係f : A′ → B′のグラフであるという性質を持つ任意の関係 R（部分関数であることが判明）であると言うことです。ここで、A′はAのサブセットであり、B′はBのサブセットです。^[5]

部分的一対一変換が同じ集合上にある場合、一対一部分変換と呼ばれることもあります。^[6]一例として、メビウス変換は、拡張された複素平面への完成ではなく、複素平面上で単純に定義されます。^[7]

• アックス・グロタンディークの定理
• 全単射、単射、全射
• 全単射記数法
• 全単射証明
• カテゴリー理論
• 多値関数

このトピックは集合論の基本概念であり、集合論の入門書を含むあらゆるテキストで見つけることができます。証明の書き方入門を扱っているテキストのほとんどすべてに集合論のセクションが含まれているため、このトピックは次のいずれかで見つけることができます。

• ホール、マーシャル・ジュニア（1959）。群論。マクミラン。
• ウルフ (1998)。証明、論理、推測: 数学者のツールボックス。フリーマン。
• サンドストロム (2003)。数学的推論：文章と証明。プレンティス・ホール。
• スミス、エッゲン、セントアンドレ (2006)。『上級数学への移行』（第 6 版）。トムソン (ブルックス/コール)。
• シューマッハ (1996)。第 0 章: 抽象数学の基本概念。Addison-Wesley。
• O'Leary (2003)。『証明の構造：論理と集合論』Prentice-Hall。
• モラッシュ。抽象数学への架け橋。ランダムハウス。
• マドックス (2002)。『数学的思考と文章法』ハーコート/アカデミック・プレス。
• Lay (2001)。「分析と証明の入門」Prentice Hall。
• ギルバート、ヴァンストーン (2005)。『数学的思考入門』ピアソン・プレンティス・ホール。
• フレッチャー、パティ。高等数学の基礎。PWS-ケント。
• イグレヴィッツ、ストイル。数学的推論入門。マクミラン。
• デブリン、キース (2004)。集合、関数、論理：抽象数学入門。チャップマン＆ホール/CRC プレス。
• D'Angelo、West (2000)。数学的思考：問題解決と証明。Prentice Hall。
• クピラーリ(1989)。『証明の要点』。ワズワース。ISBN 9780534103200。
• ボンド。抽象数学入門。ブルックス/コール。
• バニエ、フェルドマン (2000)。『上級数学入門』、プレンティス ホール。
• アッシュ。抽象数学入門。MAA。

ウィキメディア・コモンズには、全単射性に関連するメディアがあります。

• 「全単射」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「Bijection」。MathWorld。
• 数学用語の最も古い使用法: 単射、全射、全単射の項目には、単射と関連用語の歴史が記載されています。