クレッチマンスカラー

ローレンツ多様体の理論、特に一般相対性理論への応用の文脈において、クレッチマンスカラーは2次スカラー不変量である。これはエーリッヒ・クレッチマンによって導入された。^[1]

クレッチマンの不変量は^{[1] [2]です。}

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}}$

ここで、はリーマン曲率テンソル、 はクリストッフェル記号です。 これはテンソル成分の二乗の和なので、2次不変量です。 ${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}=\partial _{c}\Gamma ^{a}{}_{db}-\partial _{d}\Gamma ^{a}{}_{cb}+\Gamma ^{a}{}_{ce}\Gamma ^{e}{}_{db}-\Gamma ^{a}{}_{de}\Gamma ^{e}{}_{cb}}$${\displaystyle \ガンマ}$

この記事全体を通して、アインシュタインの指数の上げ下げによる和の慣例が使用されています。明示的な和の表現は

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}=\sum _{a=0}^{3}\sum _{b=0}^{3}\sum _{c=0}^{3}\sum _{d=0}^{3}R_{abcd}\,R^{abcd}{\text{ ただし }}R^{abcd}=\sum _{i=0}^{3}g^{ai}\,\sum _{j=0}^{3}g^{bj}\,\sum _{k=0}^{3}g^{ck}\,\sum _{\ell =0}^{3}g^{d\ell }\,R_{ijk\ell }.\,}$

質量 のシュワルツシルトブラックホールの場合、クレッチマンスカラーは^[1]${\displaystyle M}$

${\displaystyle K={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$

は重力定数です。 ${\displaystyle G}$

計量を持つ 一般的なFRW時空の場合

${\displaystyle ds^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} r^{2}}{ 1-kr^{2}}}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right),}$

クレッチマンスカラーは

${\displaystyle K={\frac {12\left[a(t)^{2}a''(t)^{2}+\left(k+a'(t)^{2}\right)^{2}\right]}{a(t)^{4}}}.}$

もう一つの可能​​な不変量（例えば、いくつかの高次重力理論のラグランジアンの重力項を記述する際に使用されている）は

${\displaystyle C_{abcd}\,C^{abcd}}$

ここで、ワイルテンソルは共形曲率テンソルであり、リーマンテンソルの完全にトレースのない部分でもある。次元において、これはクレッチマン不変量と^{[3]によって関連付けられる。}${\displaystyle C_{abcd}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=C_{abcd}\,C^{abcd}+{\frac {4}{d-2}}R_{ab}\,R^{ab}-{\frac {2}{(d-1)(d-2)}}R^{2}}$

ここで、はリッチ曲率テンソル、はリッチスカラー曲率（リーマンテンソルの連続トレースを取ることで得られる）です。リッチテンソルは真空時空では消えます（上記のシュワルツシルト解など）。そのため、リーマンテンソルとワイルテンソルは一致し、それらの不変量も一致します。 ${\displaystyle R^{ab}}$${\displaystyle R}$

クレッチマン スカラーとチャーン・ポントリャギン スカラー

${\displaystyle R_{abcd}\,{{}^{\star }\!R}^{abcd}}$

はリーマンテンソルの左双対であり、数学的には（ある程度は物理的にも）電磁場テンソルのよく知られた不変量と類似している。${\displaystyle {{}^{\star }R}^{abcd}}$

${\displaystyle F_{ab}\,F^{ab},\;\;F_{ab}\,{{}^{\star }\!F}^{ab}.}$

電磁気学のゲージ理論から一般非可換ゲージ理論に 一般化すると、これらの不変量の最初のものは${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle {\text{Tr}}(F_{ab}F^{ab})}$、

ヤン・ミルズ・ラグランジアンに比例する表現。ここで は共変微分の曲率であり、 はトレース形式です。クレッチマン スカラーは、接続をフレーム バンドル上にあると見なすことから生じます。 ${\displaystyle F_{ab}}$${\displaystyle {\text{Tr}}}$

• カルミナティ・マクレナハン不変量、不変量の集合
• 電磁場の分類、電磁場テンソルの不変量の詳細については、
• 曲率不変量、リーマン幾何学および擬リーマン幾何学一般における曲率不変量
• 曲率不変量（一般相対性理論）
• リッチ分解、リーマンテンソルとワイルテンソルの詳細については、

• Grøn, オイヴィンド; Hervik、Sigbjørn (2007)、アインシュタインの一般相対性理論、ニューヨーク: Springer、ISBN 978-0-387-69199-2
• BFシュッツ（2009）、一般相対性理論入門（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88705-2
• ミスナー、チャールズ W. ;ソーン、キップ S. ;ウィーラー、ジョン A. (1973)、重力、WH フリーマン、ISBN 978-0-7167-0344-0