山辺不変量

数学において、微分幾何学の分野において、山辺不変量（やまべふへんか、シグマ定数とも呼ばれる）は、微分同相写像の下で保存される滑らかな多様体に関連付けられた実数不変量である。これは、O. Kobayashi とR. Schoenによって独立に最初に記述され、 H. Yamabeにちなんで名付けられた。Vincent Moncriefと Arthur Fischer によって、アインシュタインの方程式の 簡約ハミルトニアンを研究するために使用された。

を次元 のコンパクトで滑らかな多様体（境界なし）とします。正規化されたアインシュタイン・ヒルベルト関数は、実数 の各リーマン計量に次のように割り当てられます。${\displaystyle M}$${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)={\frac {\int _{M}R_{g}\,dV_{g}}{\left(\int _{M}\,dV_{g}\right)^{\frac {n-2}{n}}}},}$

ここで、 はのスカラー曲率、は計量 に関連付けられた体積密度です。分母の指数は、汎関数がスケール不変となるように選択されます。つまり、すべての正の実定数 に対して、 が成り立ちます。 はにおけるの平均スカラー曲率を測定していると考えることができます。山辺は、すべての共形計量クラスには定数スカラー曲率の計量が含まれていると推測しました (いわゆる山辺問題)。山辺、トゥルーディンガー、オービン、およびショーエンは、各共形計量クラスで の最小値が達成され、特にこの最小値は定数スカラー曲率の計量によって達成されること を証明しました。${\displaystyle R_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle dV_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(cg)={\mathcal {E}}(g)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)}$

私たちは定義します

${\displaystyle Y(g)=\inf _{f}{\mathcal {E}}(e^{2f}g),}$

ここで、最小値は上の滑らかな実数値関数に取られます。この最小値は有限です（ ではありません）。ヘルダーの不等式はを意味します。この数はの共形山辺エネルギーと呼ばれることもあります（共形類では定数です）。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle Y(g)\geq -\left(\textstyle \int _{M}|R_{g}|^{n/2}\,dV_{g}\right)^{2/n}}$${\displaystyle Y(g)}$${\displaystyle g}$

オービンの比較論によれば、任意の計量 に対して、は （ は -球面上の標準計量）によって上界が定められる。したがって、次のように定義する。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle Y(g)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(g_{0})}$${\displaystyle g_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle \sigma (M)=\sup _{g}Y(g),}$

ここで、上のすべての計量について上限が取られている場合、 （特に有限）となります。実数はの山部不変量と呼ばれます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \sigma (M)\leq {\mathcal {E}}(g_{0})}$${\displaystyle \sigma (M)}$${\displaystyle M}$

の場合（つまりMが閉曲面の場合）、アインシュタイン・ヒルベルト関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)=\int _{M}R_{g}\,dV_{g}=\int _{M}2K_{g}\,dV_{g},}$

ここで はgのガウス曲率です。しかし、ガウス・ボネ定理により、ガウス曲率の積分は で与えられます。ここではMのオイラー特性です。特に、この数はメトリックの選択に依存しません。したがって、曲面については、次のように結論付けられます。 ${\displaystyle K_{g}}$${\displaystyle 2\pi \chi (M)}$${\displaystyle \chi (M)}$

${\displaystyle \sigma (M)=4\pi \chi (M).}$

たとえば、2 次元球面の山部不変量は に等しく、2 次元トーラスの山部不変量は 0 に等しくなります。 ${\displaystyle 8\pi }$

1990 年代後半、クロード・ルブランと彼の協力者らは、4 次元多様体の大規模なクラスに対して山辺不変量を計算しました。特に、ほとんどのコンパクトな複素曲面は負の、正確に計算可能な山辺不変量を持つこと、および負のスカラー曲率の任意のケーラー・アインシュタイン計量が 4 次元で山辺不変量を実現することが示されました。また、 の山辺不変量はフビニ・スタディ計量によって実現されるため、4 次元球面の不変量よりも小さいことも示されました。これらの議論のほとんどはザイバーグ・ウィッテン理論を伴うため、次元 4 に特有です。 ${\displaystyle CP^{2}}$

Petean による重要な結果は、が単連結で次元 を持つ場合、 となることを述べています。ポアンカレ予想の Perelman の解決を考慮すると、単連結 -多様体は の場合にのみ負の山辺不変量を持つことができます。一方、すでに示したように、単連結 -多様体は実際には負の山辺不変量を持つことがよくあります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle \sigma (M)\geq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle 4}$

以下は、山辺不変量がわかっている 3 次元の滑らかな多様体の表です。 3 次元では、数はに等しく、 と表記されることが多いです。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}(g_{0})}$${\displaystyle 6(2\pi ^{2})^{2/3}}$${\displaystyle \sigma _{1}}$

アンダーソンによる議論によれば、 リッチフローに関するペレルマンの結果は、任意の双曲型 3 次元多様体上の定曲率計量が山辺不変量を実現することを意味します。これにより、不変量が負で正確に計算可能な 3 次元多様体の例は無限に得られます。

の山辺不変量の符号は重要な位相情報を保持している。例えば、が正であるためには、が正のスカラー曲率の計量を許容する必要がある。^[2] この事実の重要性は、正のスカラー曲率の計量を持つ多様体の位相について多くのことが分かっているということである。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \sigma (M)}$${\displaystyle M}$

• ヤマベの流れ
• 山辺問題
• 小幡の定理

• MTアンダーソン、「3次元多様体と4次元多様体上の標準計量」、Asian J. Math. 10 127–163 (2006)。
• K. Akutagawa、M. Ishida、C. LeBrun、「滑らかな多様体のペレルマン不変量、リッチフロー、および山辺不変量」、Arch. Math. 88、71–76 (2007)。
• H. Bray と A. Neves、「山辺不変量がより大きい素数 3 次元多様体の分類」、Ann. of Math. 159、407–424 (2004)。${\displaystyle \mathbb {RP} ^{3}}$
• MJ Gursky と C. LeBrun、「Yamabe の不変量と構造」、Geom. Funct. Anal. 8 965–977 (1998)。${\displaystyle スピン^{c}}$
• 小林 修、「単位体積を持つ計量のスカラー曲率」、Math. Ann. 279、253–265、1987年。
• C. LeBrun、「アインシュタイン計量を持たない4次元多様体」、Math. Res. Lett. 3 133–147 (1996)。
• C. LeBrun、「小平次元と山辺問題」、 Comm. Anal. Geom. 7 133–156 (1999)。
• J. Petean、「単純連結多様体の山辺不変量」、J. Reine Angew. Math. 523 225–231 (2000)。
• R. Schoen、「リーマン計量と関連トピックの全スカラー曲率関数の変分理論」、変分法のトピック、Lect. Notes Math. 1365、Springer、ベルリン、120–154、1989年。