規定スカラー曲率問題

数学の一分野であるリーマン幾何学では、規定のスカラー曲率問題は次のようになります。閉じた滑らかな多様体 M と M 上の滑らかな実数値関数 ƒ が与えられたときに、スカラー曲率がƒに等しいM上のリーマン計量を構築します。この問題は、主に 1970 年代のJ. Kazdanと F. Warner の研究により、よく理解されています。

Mの次元が 3 以上の場合、どこかで負の値をとる滑らかな関数ƒは、何らかのリーマン計量のスカラー曲率です。 ƒ がどこかで負になるという仮定は、一般に必要です。なぜなら、すべての多様体が厳密に正のスカラー曲率を持つ計量を許容するわけではないからです (たとえば、3 次元トーラスはそのような多様体です)。ただし、Kazdan と Warner は、M が厳密に正のスカラー曲率を持つ計量を許容する場合、滑らかな関数ƒ は何らかのリーマン計量のスカラー曲率であることを証明しました。

• 規定されたリッチ曲率問題
• 山辺問題

• Aubin, Thierry.リーマン幾何学におけるいくつかの非線形問題。Springer Monographs in Mathematics、1998 年。
• Kazdan, J., Warner F.スカラー曲率とリーマン構造の共形変形Journal of Differential Geometry. 10 (1975). 113–134.