曲率フォーム

微分幾何学において、曲率形式は主バンドル上の接続の曲率を記述します。リーマン幾何学におけるリーマン曲率テンソルは特別なケースとして考えることができます。

G をリー代数を持つリー群とし、P → Bを主G束とする。 ω をP上のエーレスマン接続（これはP上の-値1形式） とする。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

すると、曲率形式はP上の -値2形式となり、次のように定義される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .}$

（別の慣例では、1/2は現れない。）ここで は外微分を表し、は記事「リー代数値形式」で定義され、D は外共変微分を表す。言い換えると、^[1]${\displaystyle d}$${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$

${\displaystyle \,\オメガ (X,Y)=d\オメガ (X,Y)+{1 \over 2}[\オメガ (X),\オメガ (Y)]}$

ここで、X、Y はPへの接線ベクトルです。

Ωには別の表現もある。X 、YがP上の水平ベクトル場である場合、^[2]

${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]}$

ここで、hZ はZの水平成分を意味し、右側では垂直ベクトル場とそれを生成するリー代数要素 (基本ベクトル場) を特定し、外微分に対する式で慣例的に使用される正規化係数の逆数です。 ${\displaystyle \sigma \in \{1,2\}}$

接続の曲率がゼロ (Ω = 0) の場合、その接続は平坦であると言われます。同様に、構造群を同じ基底群に縮小できるが離散トポロジを持つ場合、接続は平坦です。

E → Bがベクトル束である場合、ω を 1 形式の行列として考えることもでき、上記の式は E. Cartan の構造方程式になります。

${\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$

ここで はウェッジ積です。より正確には、と がそれぞれ ω と Ω の成分を表す場合（したがって、それぞれは通常の1形式であり、それぞれは通常の2形式です）、 ${\displaystyle \wedge}$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$${\displaystyle {\オメガ ^{i}}_{j}}$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$${\displaystyle {\オメガ ^{i}}_{j}}$

${\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d{\omega ^{i}}_{j}+\sum _{k}{\omega ^{i}}_{k}\wedge {\omega ^{k}}_{j}.}$

例えば、リーマン多様体の接束の場合、構造群はO( n )であり、ΩはO( n )のリー代数、すなわち反対称行列に値を持つ2次元形式である。この場合、形式Ωは曲率テンソルの別の記述であり、すなわち

${\displaystyle \,R(X,Y)=\オメガ (X,Y),}$

リーマン曲率テンソルの標準表記法を使用します。

がフレームバンドル上の標準ベクトル値1形式である場合、接続形式のねじれは構造方程式によって定義されるベクトル値2形式である。 ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \Theta}$ ${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

ここで、上記のようにDは外共変微分を表します。

最初のビアンキのアイデンティティは次のような形をとる。

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}$

2番目のビアンキ恒等式は次の形式をとる。

${\displaystyle \,D\Omega =0}$

そして、より一般的には主バンドル内の任意の接続に対して有効です。

ビアンキ恒等式はテンソル表記で次のように表すことができます。 ${\displaystyle R_{abmn;\ell}+R_{ab\ell m;n}+R_{abn\ell ;m}=0.}$

縮約されたビアンキ恒等式は、一般相対性理論の大部分を占めるアインシュタイン場の方程式におけるアインシュタインテンソルを導出するために使用されます。^{[説明が必要]}

• 小林昭七・野水勝美(1963) 『微分幾何学の基礎』第1巻、第2.5章「曲率形式と構造方程式」p 75、Wiley Interscience。

• 接続（主バンドル）
• 曲がった時空の数学の基礎入門
• 縮小されたビアンキのアイデンティティ
• アインシュタインテンソル
• アインシュタイン場の方程式
• 一般相対性理論
• チャーン・サイモンズ形式
• リーマン多様体の曲率
• ゲージ理論