ディラック演算子

数学と量子力学において、ディラック演算子は、ラプラシアンなどの2次演算子の形式的な平方根、または半反復である微分演算子です。ポール・ディラックが関わった最初のケ​​ースは、ミンコフスキー空間の演算子を形式的に因数分解して、特殊相対性理論と互換性のある形式の量子論を得ることでした。関連するラプラシアンを1次演算子の積として得るために、彼はスピノルを導入しました。これは1928年にディラックによって初めて発表されました。^[1]

一般に、Dをリーマン多様体M上のベクトル束 Vに作用する1階微分作用素とする。

${\displaystyle D^{2}=\Delta ,\,}$

ここで∆はVのラプラシアンであり、Dはディラック演算子と呼ばれます。

高エネルギー物理学では、この要件は緩和されることが多く、 D ²の 2 次部分のみがラプラシアンと等しくなければなりません。

D = − i ∂ _{x は}直線上の 接束上のディラック作用素です。

物理学において特に重要な単純な束、すなわちスピンを持つ粒子の配置空間を考えてみましょう。1/2⁠平面上に限定され、平面は基本多様体でもある。これは波動関数ψ  : R ² → C ^{2で表される。}

${\displaystyle \psi (x,y)={\begin{bmatrix}\chi (x,y)\\\eta (x,y)\end{bmatrix}}}$

ここで、xとyはR ²上の通常の座標関数である。χは粒子がスピンアップ状態になる確率振幅を指定し、 ηも同様である。いわゆるスピンディラック演算子は次のように書ける。

${\displaystyle D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y},}$

ここで、σ _{i は}パウリ行列です。パウリ行列の反交換関係により、上記の定義特性の証明は自明になることに注意してください。これらの関係はクリフォード代数の概念を定義します。

スピノル場に対するディラック方程式の解は、しばしば調和スピノルと呼ばれる。^[2]

ファインマンのディラック演算子は、3次元における自由フェルミオンの伝播を記述し、簡潔に記述される。

${\displaystyle D=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\ \equiv \partial \!\!\!/,}$

ファインマンのスラッシュ記法を用いる。量子場理論の入門書では、これは次の形式で現れる。

${\displaystyle D=c{\vec {\alpha }}\cdot (-i\hbar \nabla _{x})+mc^{2}\beta }$

ここで、は非対角ディラック行列であり、 であり、残りの定数は光速、プランク定数、フェルミオン（たとえば電子）の質量である。 これは、4 成分波動関数、つまり滑らかで平方積分可能な関数のソボレフ空間に作用する。 この領域上の自己随伴演算子に拡張できる。 この場合の平方はラプラシアンではなく、代わりに（ と設定した後） ${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=\beta \gamma _{i}}$${\displaystyle \beta =\gamma _{0}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \psi (x)\in L^{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} ^{4})}$${\displaystyle D^{2}=\Delta +m^{2}}$${\displaystyle \hbar =c=1.}$

クリフォード解析では別のディラック演算子が出現する。ユークリッドn空間ではこれは

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

ここで、{ e _j : j = 1, ..., n }はユークリッドn空間の正規直交基底であり、R ^nはクリフォード代数に埋め込まれていると考えられます。

これは、スピノル束のセクションに作用するアティヤ・シンガー・ディラック演算子の特殊なケースです。

スピン多様体Mに対して、アティヤ・シンガー・ディラック演算子は次のように局所的に定義される。x ∈ MおよびxにおけるMの接空間の局所正規直交基底e ₁ ( x ), ..., e _j ( x ) に対して、アティヤ・シンガー・ディラック演算子は次のように定義される。

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)},}$

ここでスピン接続は、M上のレヴィ・チヴィタ接続をM上のスピノル束に持ち上げたものである。この場合の正方形はラプラシアンではなく、接続のスカラー曲率である。 ^[3]${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}}$${\displaystyle D^{2}=\Delta +R/4}$${\displaystyle R}$

レヴィ・チヴィタ接続と正規直交基底を持つ次元のリーマン多様体 上で、外微分と共微分を次のように 定義できる。${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle n=dim(M)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1}^{n}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle d=e^{a}\wedge \nabla _{e_{a}},\quad \delta =e^{a}\lrcorner \nabla _{e_{a}}}$。

^{次に、ディラック・ケーラー演算子[4] [5] [6]} を次のように 定義できる。${\displaystyle D}$

${\displaystyle D=e^{a}\nabla _{e_{a}}=d-\delta }$。

この演算子は一般にクリフォード束の切断部分に作用し、クリフォード束のイデアルであるスピノル束に制限できるのは、そのイデアル上の射影演算子が平行である場合に限られる。^{[4] [5] [6]}

クリフォード解析では、次^式で定義されるスピノル値関数 ^に作用^する演算子D  : C∞ ( Rk⊗Rn ^, S ) → C∞ ( Rk⊗Rn , Ck⊗S ⁾は^、

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})\mapsto {\begin{pmatrix}\partial _{\underline {x_{1}}}f\\\partial _{\underline {x_{2}}}f\\\ldots \\\partial _{\underline {x_{k}}}f\\\end{pmatrix}}}$

は、 k 個のクリフォード変数のディラック演算子と呼ばれることもあります。表記法では、Sはスピノルの空間、はn次元変数、はi番目の変数のディラック演算子です。これは、ディラック演算子 ( k = 1 ) とドルボー演算子( n = 2、k は任意) の一般的な一般化です。これは不変微分演算子であり、群SL( k ) × Spin( n )の作用に対して不変です。Dの分解は、いくつかの特殊な場合にのみ知られています。 ${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})}$${\displaystyle \partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}}$