演算子K理論

数学において、作用素 K 理論はバナッハ代数に対する位相的 K 理論の非可換類似物であり、ほとんどの応用はC* 代数に使用されます。

作用素 K 理論は、代数 K 理論よりも位相 K 理論に似ています。特に、ボット周期性定理が成り立ちます。したがって、K 群は 2 つだけ、つまり代数K ₀と等しいK ₀とK ₁だけです。周期性定理の結果として、それは除去を満たします。つまり、それはC* 代数の長い正確なシーケンスへの拡張に関連付けられ、ボット周期性により、正確な巡回 6 項シーケンスに縮小されます。

作用素 K 理論は、局所コンパクトハウスドルフ空間上のベクトル束によって定義される位相 K 理論の一般化です。ここで、位相空間X上のベクトル束は、X上の行列値、つまり- 値連続関数の C* 代数への射影に関連付けられます。また、ベクトル束の同型性は、 K  ⊗  C ( X )における関連付けられた射影のマレー・フォン・ノイマン同値に変換されることが知られています。ここで、Kは可分ヒルベルト空間上のコンパクト作用素です。 ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$

したがって、（必ずしも可換ではない）C*-代数AのK _0群は、 K  ⊗  C ( X )の射影の Murray-von Neumann 同値類によって生成されるGrothendieck 群として定義されます。K ₀は、C*-代数と *-準同型のカテゴリから、アーベル群と群準同型のカテゴリへの関数です。 高次の K-関数は、サスペンションの C* バージョンを介して定義されます。K _n ( A ) =  K ₀ ( S ⁿ ( A ))、ただし SA  =  C ₀ (0,1) ⊗  Aです。

しかし、ボット周期性により、 K _{n +2} ( A ) とK _n ( A ) は各nに対して同型であることが判明し、したがってこの構成によって生成される唯一のグループはK ₀とK ₁になります。

K 理論的手法が C* 代数の研究に導入された主な理由は、フレドホルム指数でした。有限次元の核と余核を持つヒルベルト空間上の有界線型作用素が与えられた場合、それに整数を関連付けることができます。これは、結局のところ、作用素の「欠陥」、つまり、それが逆でない程度を反映しています。フレドホルム指数マップは、カルキン代数によって与えられた 6 項の正確なシーケンスに現れます。多様体の解析では、この指数とその一般化は、アティヤとシンガーの指数理論で重要な役割を果たしました。この理論では、多様体の位相指数は、その上の楕円型作用素の指数によって表現できます。後に、ブラウン、ダグラス、フィルモアは、フレドホルム指数は、ある自然な同値性まで本質的に正規な作用素を分類する際に欠けている要素であると指摘しました。これらのアイデアは、エリオットの K 理論によるAF C* 代数の分類と相まって、代数位相学の K 理論などの手法を作用素代数の研究に応用することに大きな関心を呼びました。

これは、Kホモロジー、カスパロフの二変量KK理論、そしてより最近では、コンヌとヒグソンのE理論につながりました。

• Rordam, M.; Larsen, Finn; Laustsen, N. (2000)、「C ^∗代数のためのK理論入門」 、ロンドン数学会学生テキスト、第 49 巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-78334-7