リッチ分解

リーマン幾何学および擬リーマン幾何学の数学の分野において、リッチ分解は、リーマン多様体または擬リーマン多様体のリーマン曲率テンソルを、特別な代数的性質を持つ部分に分解する方法である。この分解は、リーマン幾何学および擬リーマン幾何学において根本的に重要である。

( M , g )をリーマン多様体または擬リーマン多様体とする。そのリーマン曲率を(0,4)テンソル体として考える。この記事では符号規則に従う。

${\displaystyle R_{ijkl}=g_{lp}{\Big (}\partial _{i}\Gamma _{jk}^{p}-\partial _{j}\Gamma _{ik}^{p} +\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jk}^{q}-\Gamma _{jq}^{p}\Gamma _{ik}^{q}{\Big )};}$

複数行で書かれる場合、これが慣例である

${\displaystyle \operatorname {Rm} (W,X,Y,Z)=g{\Big (}\nabla _{W}\nabla _{X}Y-\nabla _{X}\nabla _{W}Y-\nabla _{[W,X]}Y,Z{\Big )}.}$

この規則では、リッチテンソルはR _jk = g ^il R _ijklで定義される (0,2) テンソル場であり、スカラー曲率はR = g ^jk R _jkで定義されます。 (これはリッチテンソルのあまり一般的ではない符号規則であることに注意してください。1 番目と 3 番目、または 2 番目と 4 番目のインデックスのいずれかを縮約して定義する方が標準的で、これにより逆の符号のリッチテンソルが生成されます。このより一般的な規則では、以下の式でリッチテンソルとスカラーの符号を変更する必要があります。) トレースレス リッチテンソルを定義します。

${\displaystyle Z_{jk}=R_{jk}-{\frac {1}{n}}Rg_{jk},}$

そして、3つの(0,4)テンソル場S、E、Wを次のように 定義する。

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}&={\frac {R}{n(n-1)}}{\big (}g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{ jl}{\big )}\\E_{ijkl}&={\frac {1}{n-2}}{\big (}Z_{il}g_{jk}-Z_{jl}g_{ik}-Z_{ik}g_{jl}+Z_{jk}g_{il}{\big )}\\W_{ijkl}&= R_{ijkl}-S_{ijkl}-E_{ijkl}.\end{aligned}}}$

「リッチ分解」とは、

${\displaystyle R_{ijkl}=S_{ijkl}+E_{ijkl}+W_{ijkl}。}$

すでに述べたように、これはWの定義を単に再編成したものなので無意味です。分解の重要性は、 3 つの新しいテンソルS、E、およびWの特性にあります。

用語に関する注意。テンソルWはワイルテンソルと呼ばれます。数学文献ではW の表記が標準ですが、物理学文献ではC の表記がより一般的です。どちらでもR の表記が標準ですが、 S、Z、Eには標準化された表記はありません。

テンソルS、E、Wはそれぞれリーマンテンソルと同じ代数的対称性を持ちます。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}&=-S_{jikl}=-S_{ijlk}=S_{klij}\\E_{ijkl}&=-E_{jikl }=-E_{ijlk}=E_{klij}\\W_{ijkl}&=-W_{jikl}=-W_{ijlk}=W_{klij}\end{aligned}}}$

と共に

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}+S_{jkil}+S_{kijl}&=0\\E_{ijkl}+E_{jkil}+E_{kijl}&=0\\W_{ijkl}+W_{jkil}+W_{kijl}&=0.\end{aligned}}}$

ワイルテンソルには、完全にトレースがゼロであるという追加の対称性があります。

${\displaystyle g^{il}W_{ijkl}=0.}$

ヘルマン・ワイルは、少なくとも 4 次元で、Wはリーマン多様体または擬リーマン多様体の局所共形平坦性からの偏差を測定するという注目すべき特性を持つことを示しました。この特性がゼロの場合、M はチャートによって定義される何らかの関数fに対してg _ij =e ^f δ _ijという形式を持つチャートによって覆うことができます。

(3 次元未満では、すべての多様体は局所的に共形平坦ですが、3 次元では、コットン テンソルは局所的な共形平坦性からの偏差を測定します。)

リッチ分解が次の意味で直交していることを確認できる。

${\displaystyle S_{ijkl}E^{ijkl}=S_{ijkl}W^{ijkl}=E_{ijkl}W^{ijkl}=0,}$

一般的な定義を思い出すと、これは直接証明できる結果となる。 ${\displaystyle T^{ijkl}=g^{ip}g^{jq}g^{kr}g^{ls}T_{pqrs}.}$

${\displaystyle R_{ijkl}R^{ijkl}=S_{ijkl}S^{ijkl}+E_{ijkl}E^{ijkl}+W_{ijkl}W^{ijkl}.}$

この直交性は、インデックスなしで次のように表すことができます。

${\displaystyle \langle S,E\rangle _{g}=\langle S,W\rangle _{g}=\langle E,W\rangle _{g}=0,}$

と共に

${\displaystyle |\operatorname {Rm} |_{g}^{2}=|S|_{g}^{2}+|E|_{g}^{2}+|W|_{g}^{2}.}$

「ノルム式」を計算することができる

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}S^{ijkl}&={\frac {2R^{2}}{n(n-1)}}\\E_{ijkl}E^{ijkl}&={\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}-{\frac {4R^{2}}{n(n-2)}}\\W_{ijkl}W^{ijkl}&=R_{ijkl}R^{ijkl}-{\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}+{\frac {2R^{2}}{(n-1)(n-2)}}\end{aligned}}}$

そして「トレース式」

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{il}S_{ijkl}&={\frac {1}{n}}Rg_{jk}\\g^{il}E_{ijkl}&=R_{jk}-{\frac {1}{n}}Rg_{jk}\\g^{il}W_{ijkl}&=0.\end{aligned}}}$

数学的には、リッチ分解は、リーマン テンソルの対称性を持つすべてのテンソルの空間を、直交群の作用に対する既約表現に分解することです(Besse 1987、第 1 章、§G)。Vを、計量テンソル(混合シグネチャの場合もある)を備えたn次元ベクトル空間とします。ここで、 Vは、ある点における余接空間でモデル化されるため、曲率テンソルR (すべてのインデックスが下がったもの) は、テンソル積V ⊗ V ⊗ V ⊗ Vの要素になります。曲率テンソルは、最初と最後の 2 つの要素で歪対称です。

${\displaystyle R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)\,}$

交換対称性に従う

${\displaystyle R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y),\,}$

すべてのx , y , z , w  ∈  V ^∗に対して成り立つ。その結果、R は部分空間 の要素、つまりVの2番目の外冪の2番目の対称冪となる。曲率テンソルはビアンキ恒等式も満たさなければならない。つまり、曲率テンソルは次式で与えられる 線型写像の核に含まれる。${\displaystyle S^{2}\Lambda ^{2}V}$${\displaystyle b:S^{2}\Lambda ^{2}V\to \Lambda ^{4}V}$

${\displaystyle b(R)(x,y,z,w)=R(x,y,z,w)+R(y,z,x,w)+R(z,x,y,w).\,}$

S ² Λ ² Vの空間R V  = ker bは代数曲率テンソルの空間である。リッチ分解はこの空間を既約因子に分解したものである。リッチ縮約写像は

${\displaystyle c:S^{2}\Lambda ^{2}V\to S^{2}V}$

は次のように与えられる。

${\displaystyle c(R)(x,y)=\operatorname {tr} R(x,\cdot ,y,\cdot ).}$

これは対称2形式を代数曲率テンソルに関連付ける。逆に、対称2形式hとkのペアが与えられた場合、hとkのKulkarni-Nomizu積

${\displaystyle (h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(x,y,z,w)=h(x,z)k(y,w)+h(y,w)k(x,z)-h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)}$

代数曲率テンソルを生成します。

n ≥ 4の場合、（一意の）既約部分空間への直交分解が存在する。

R V = S V ⊕ E V ⊕ C V

どこ

${\displaystyle \mathbf {S} V=\mathbb {R} g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g}$、実スカラー空間は${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbf {E} V=g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}S_{0}^{2}V}$、ここでS²
₀Vはトレースフリー対称2次元形式の空間である

${\displaystyle \mathbf {C} V=\ker c\cap \ker b.}$

与えられたリーマンテンソルRのリッチ分解の部分S、E、C は、これらの不変因子へのRの直交射影であり、それぞれリッチスカラー、トレース除去リッチテンソル、リーマン曲率テンソルのワイルテンソルに対応する。特に、

${\displaystyle R=S+E+C}$

は、次のような意味で直交分解である。

${\displaystyle |R|^{2}=|S|^{2}+|E|^{2}+|C|^{2}.}$

この分解は、リーマン対称性を持つテンソルの空間を、それぞれスカラーサブモジュール、リッチサブモジュール、およびワイルサブモジュールの直和として表現します。これらの各モジュールは、直交群の既約表現であるため (Singer & Thorpe 1969)、リッチ分解は、半単純リー群のモジュールをその既約因子に分割する特殊なケースです。次元 4 では、ワイルモジュールは、特殊直交群の既約因子のペア、つまり自己双対部分W ⁺と反自己双対部分W ⁻にさらに分解されます。

リッチ分解はアインシュタインの一般相対性理論で物理的に解釈することができ、ゲエニオー・デベバー分解と呼ばれることもある。この理論では、アインシュタイン場の方程式

${\displaystyle G_{ab}=8\pi \,T_{ab}}$

ここで、はすべての物質およびすべての非重力場エネルギーと運動量の大きさと動きを記述する応力エネルギーテンソルであり、リッチテンソル、または同等のアインシュタインテンソルは、非重力エネルギーと運動量の直接的な存在に起因する重力場の部分を表すと述べています。ワイルテンソルは、物質または非重力場を含まない領域を重力波として伝播できる重力場の部分を表します。ワイルテンソルがゼロになる時空領域には重力放射が含まれず、共形的に平坦でもあります。 ${\displaystyle T_{ab}}$

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• スハウテンテンソル
• トレースフリーリッチテンソル

• Besse、Arthur L. (1987)、アインシュタイン多様体、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 10、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. xii+510、ISBN 978-3-540-15279-8。
• Sharpe、RW (1997)、Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program、Springer-Verlag、ニューヨーク、ISBN 0-387-94732-96.1節では分解について論じます。分解のバージョンは、第7章と第8章の共形幾何学と射影幾何学の議論にも登場します。
• シンガー, IM ; ソープ, JA (1969)、「4次元アインシュタイン空間の曲率」、グローバル解析（小平功一名誉論文集）、東京大学出版会、pp. 355–365。