ステップ応答

与えられた初期状態におけるシステムのステップ応答は、制御入力がヘビサイドのステップ関数である場合の出力の時間的変化から構成されます。電子工学と制御理論において、ステップ応答とは、入力が非常に短時間で 0 から 1 に変化するときの一般的なシステムの出力の時間的動作です。この概念は、変化パラメータを使用する動的システムの抽象的な数学的概念に拡張できます。

実用的な観点からは、システムが突然の入力にどのように反応するかを知ることは重要です。なぜなら、長期の定常状態からの大きく急激な逸脱は、コンポーネント自体と、このコンポーネントに依存するシステム全体の他の部分に極端な影響を及ぼす可能性があるからです。さらに、システム全体は、コンポーネントの出力が最終状態付近に落ち着くまで動作できず、システム全体の応答が遅れます。正式には、動的システムのステップ応答を知ることで、そのようなシステムの安定性、および別の定常状態から開始したときに 1 つの定常状態に到達する能力に関する情報が得られます。

このセクションでは、動的システム の抽象的な数学的概念に基づいて、ステップ応答の正式な数学的定義を示します。以下の説明に必要なすべての表記法と仮定がここにリストされています。 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

• ${\displaystyle t\in T}$システムの進化パラメータであり、簡単にするために「時間」と呼ばれる。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t}\in M}$は、時刻におけるシステムの状態であり、簡単にするために「出力」と呼ばれる。${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \Phi :T\times M\to M}$は力学系の進化関数であり、
• ${\displaystyle \Phi (0,{\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}_{0}\in M}$は力学系の初期状態であり、
• ${\displaystyle H(t)}$ヘヴィサイドステップ関数

一般的な動的システムの場合、ステップ応答は次のように定義されます。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t}=\Phi _{\{H(t)\}}\left(t,{{\boldsymbol {x}}_{0}}\right).}$

これは、制御入力（またはソース項、または強制入力）がヘヴィサイド関数である場合の進化関数です。表記法では、H ( t ) を下付き文字として表示してこの概念を強調しています。

線形 時不変（LTI）ブラックボックスの場合、表記の便宜上、ステップ応答はヘヴィサイドステップ関数制御とシステム自体の インパルス応答h（t ）の畳み込みによって得られる。${\displaystyle {\mathfrak {S}}\equiv S}$

${\displaystyle a(t)=(h*H)(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )H(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau .}$

LTI システムの場合、これは後者を単に積分することと同等です。逆に、LTI システムの場合、ステップ応答の微分はインパルス応答をもたらします。

${\displaystyle h(t)={\frac {d}{dt}}\,a(t).}$

しかし、これらの単純な関係は非線形システムや時間変動システムには当てはまりません。^[1]

周波数応答の代わりに、システム性能は応答の時間依存性を記述するパラメータによって指定される場合がある。ステップ応答は、その時間挙動に関連する次の量によって記述できる。

• オーバーシュート
• 立ち上がり時間
• 沈降時間
• 鳴っている

線形動的システムの場合、これらの特性からシステムについて多くのことが推測できます。以下に、単純な 2 極アンプのステップ応答を示し、これらの用語のいくつかを説明します。

LTI システムでは、オーバーシュートやリンギングを生じない最も急峻なスルー レートを持つ関数はガウス関数です。これは、フーリエ変換が同じ形状を持つ唯一の関数であるためです。

このセクションでは、図 1 に示す単純な負帰還アンプのステップ応答について説明します。フィードバック アンプは、ゲインA _{OLのメイン}オープン ループアンプと、フィードバック係数βによって制御されるフィードバック ループで構成されます。このフィードバック アンプを分析して、そのステップ応答がメイン アンプの応答を制御する時定数と、使用されるフィードバックの量にどのように依存するかを判断します。

負帰還増幅器のゲインは次のように表されます（負帰還増幅器を参照）。

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{OL}}{1+\beta A_{OL}}},}$

ここで、A _OL =開ループゲイン、A _FB =閉ループゲイン（負帰還が存在する場合のゲイン）、β =フィードバック係数です。

多くの場合、フォワードアンプは、時定数τの単一の支配的な極で十分にモデル化することができ、次のように表されるオープンループゲインとして表すことができます。

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{1+j\omega \tau }},}$

ゼロ周波数ゲインA ₀および角周波数ω = 2π fである。このフォワード増幅器は単位ステップ応答を持つ。

${\displaystyle S_{OL}(t)=A_{0}(1-e^{-t/\tau })}$、

0 からA ₀の新しい平衡値に向かう指数関数的なアプローチ。

単極アンプの伝達関数は閉ループゲインにつながります。

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau }{1+\beta A_{0}}}}}.}$

この閉ループゲインは、開ループゲインと同じ形式、つまり 1 極フィルタです。ステップ応答も同じ形式で、新しい平衡値に向かって指数関数的に減少します。ただし、閉ループステップ関数の時定数はτ / (1 + β A _{0 ) であるため、フォワードアンプの応答よりも 1 +} β A ₀倍高速です。

${\displaystyle S_{FB}(t)={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\left(1-e^{-t(1+\beta A_{0})/\tau }\right),}$

フィードバック係数βが増加すると、ステップ応答は高速になり、1 つの支配的な極の元の仮定は正確ではなくなります。2 番目の極がある場合、閉ループの時定数が 2 番目の極の時定数に近づくため、2 極解析が必要になります。

オープンループゲインに 2 つの極 (2 つの時定数、τ ₁、τ ₂ )がある場合、ステップ応答は少し複雑になります。オープンループゲインは次のように表されます。

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})}},}$

ゼロ周波数ゲインA ₀および角周波数ω = 2πf。

2 極アンプの伝達関数は、閉ループ ゲインにつながります。

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}+(j\omega )^{2}{\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}}}.}$

増幅器の時間依存性は、変数をs = j ω に切り替えることで簡単に検出できます。この場合、ゲインは次のようになります。

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\;\cdot \;{\frac {1}{s^{2}+s\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)+{\frac {1+\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}}}$

この式の極（つまり、分母のゼロ）は次の場所で発生します。

${\displaystyle 2s=-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}},}$

これは、 βA ₀の値が十分に大きい場合、平方根は負の数の平方根、つまり虚数になり、極の位置は複素共役数s ₊またはs _{− に}なることを示しています。図 2 を参照してください。

${\displaystyle s_{\pm }=-\rho \pm j\mu ,}$

と

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right),}$

そして

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}}}.}$

極座標を使用し、根の半径の大きさを | s | で表すと次のようになります (図 2)。

${\displaystyle |s|=|s_{\pm }|={\sqrt {\rho ^{2}+\mu ^{2}}},}$

角座標φは次のように表される。

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {\rho }{|s|}},\sin \phi ={\frac {\mu }{|s|}}.}$

ラプラス変換の表は、このようなシステムの時間応答が 2 つの関数の組み合わせで構成されていることを示しています。

${\displaystyle e^{-\rho t}\sin(\mu t)\quad {\text{and}}\quad e^{-\rho t}\cos(\mu t),}$

つまり、解は時間的に減衰した振動である。特に、システムの単位ステップ応答は次のようになる。^[2]

${\displaystyle S(t)=\left({\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\right)\left(1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}\right)\ ,}$

これは次のように単純化される

${\displaystyle S(t)=1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}}$

A _{0 が}無限大に近づき、フィードバック係数βが 1 の場合。

応答の減衰は ρ、つまりオープンループ アンプの時間定数によって設定されることに注意してください。対照的に、振動の周波数は μ、つまり β A _{0 を介したフィードバック パラメータによって設定されます。ρ は時間定数の逆数の合計であるため、ρ は 2 つのうち}短い方によって支配されていることに注目すると興味深いです。

図 3 は、パラメータ μ の 3 つの値に対する単位ステップ入力に対する時間応答を示しています。振動の周波数は μ とともに増加しますが、振動は指数 [ 1 − exp(− ρt ) ]と [ 1 + exp(−ρt) ] によって設定される 2 つの漸近線の間に収まっていることがわかります。これらの漸近線は ρ によって決定され、したがってフィードバックとは無関係にオープン ループ アンプの時定数によって決定されます。

最終値を中心とした振動現象はリンギングと呼ばれます。オーバーシュートは最終値を超える最大振幅で、μ とともに明らかに増加します。同様に、アンダーシュートは最終値未満の最小振幅で、これも μ とともに増加します。整定時間は、最終値からの偏差が、たとえば最終値の 10% などの特定のレベルを下回るまでの時間です。

セトリング時間の μ への依存性は明らかではなく、2 極システムの近似は、セトリング時間のフィードバック依存性について現実的な結論を出すにはおそらく十分正確ではありません。ただし、漸近線 [ 1 − exp(− ρt )] と [ 1 + exp (− ρt )] は明らかにセトリング時間に影響し、オープン ループ アンプの時定数、特に 2 つの時定数のうち短い方によって制御されます。これは、セトリング時間の仕様は、オープン ループ アンプの適切な設計によって満たされる必要があることを示唆しています。

この分析から得られた 2 つの主要な結論は次のとおりです。

1. フィードバックは、与えられたオープンループアンプと与えられたオープンループ時間定数 τ ₁および τ ₂の値の最終値を中心に振動の振幅を制御します。
2. オープンループ アンプはセトリング時間を決定します。図 3 の時間スケールを設定し、オープンループ アンプが高速であるほど、この時間スケールは高速になります。

余談ですが、現実世界でこの線形 2 極モデルから逸脱するのは、2 つの大きな複雑さのためです。1 つ目は、実際のアンプには 2 つ以上の極とゼロがあること、2 つ目は、実際のアンプは非線形であるため、ステップ応答が信号振幅によって変化することです。

次に、適切なパラメータの選択によってオーバーシュートを制御する方法について説明します。

上記の式を使用して、ステップ応答を微分し、その最大値を見つけることでオーバーシュートの量を求めることができます。最大ステップ応答S _maxの結果は次のとおりです。^[3]

${\displaystyle S_{\max }=1+\exp \left(-\pi {\frac {\rho }{\mu }}\right).}$

ステップ応答の最終値は 1 なので、指数関数は実際のオーバーシュートそのものです。条件が μ = 0の場合、オーバーシュートはゼロであることは明らかです。

${\displaystyle {\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}=\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}.}$

この二次方程式は、 x = ( τ ₁ / τ ₂ ) ^1/2と設定して時定数の比について解くことができ、結果は次のようになる。

${\displaystyle x={\sqrt {\beta A_{0}}}+{\sqrt {\beta A_{0}+1}}.}$

β A ₀ ≫ 1なので、平方根の1は省略でき、結果は

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=4\beta A_{0}.}$

言葉で言えば、最初の時定数は 2 番目の時定数よりもはるかに大きくなければなりません。オーバーシュートを許容しない設計よりも大胆にするには、上記の関係に 係数αを導入します。

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=\alpha \beta A_{0},}$

そして、α は許容可能なオーバーシュート量によって設定されます。

図 4 に手順を示します。上のパネル (α = 4) と下のパネル (α = 0.5) を比較すると、α の値が低いほど応答速度は速くなりますが、オーバーシュートが大きくなることがわかります。α = 2 の場合 (中央のパネル) は、ボード ゲイン対周波数プロットでピークが見られない、最大限に平坦な設計です。この設計には、複数の極 (またはゼロ)、非線形性 (信号振幅依存性)、製造のばらつきなど、いずれも過度のオーバーシュートにつながる可能性のある非理想的な現実に対処するための安全マージンが組み込まれています。極間隔の調整 (つまり、α の設定) は周波数補正の対象であり、そのような方法の 1 つが極分割です。

図3のステップ応答におけるリンギングの振幅は、減衰係数exp(−ρt)によって決まります。つまり、最終値からの許容可能なステップ応答偏差をΔと指定した場合、次のようになります。

${\displaystyle S(t)\leq 1+\Delta ,}$

この条件は、β A _OLの値に関係なく、時間が整定時間（例えばt _{S ）}より長い限り満たされ、次のように表される：^[4]

${\displaystyle \Delta =e^{-\rho t_{S}}{\text{ or }}t_{S}={\frac {\ln {\frac {1}{\Delta }}}{\rho }}=\tau _{2}{\frac {2\ln {\frac {1}{\Delta }}}{1+{\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}}}\approx 2\tau _{2}\ln {\frac {1}{\Delta }},}$

ここで、 τ ₁  ≫ τ _{2 は}、オーバーシュート制御条件によりτ ₁  =  αβA _OL τ ₂となるため適用可能です。セトリング時間条件は、セトリング期間がユニティゲイン帯域幅に反比例すると言われることがよくあります。これは、一般的なドミナントポール補償を備えたアンプの場合、1/(2 π  τ ₂ ) がこの帯域幅に近いためです。ただし、この結果はこの経験則よりも正確です。この式の例として、Δ = 1/e ⁴ = 1.8 % の場合、セトリング時間条件は t _S  = 8  τ ₂となります。

一般的に、オーバーシュートの制御は時定数比を設定し、整定時間t _{S は}τ _{2 を}設定する。^{[5] [6] [7]}

この方法は、ステップ応答の重要な点を使用します。測定された信号の接線を推測する必要はありません。方程式は数値シミュレーションを使用して導出され、いくつかの重要な比率と非線形方程式のフィッティングパラメータを決定します。^{[8]も参照してください。}

手順は次のとおりです。

• 入力ステップ信号を使用してシステムのシステムステップ応答を測定します。${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$
• ステップ応答が定常状態の出力値の 25% と 75% に達する時間範囲と場所を決定します。${\displaystyle t_{25}}$${\displaystyle t_{75}}$
• システムの定常ゲインを決定する${\displaystyle k=A_{0}}$${\displaystyle k=\lim _{t\to \infty }{\dfrac {y(t)}{x(t)}}}$
• 計算する$${\displaystyle r={\dfrac {t_{25}}{t_{75}}}}$$ $${\displaystyle P=-18.56075\,r+{\dfrac {0.57311}{r-0.20747}}+4.16423}$$ $${\displaystyle X=14.2797\,r^{3}-9.3891\,r^{2}+0.25437\,r+1.32148}$$
• 2つの時間定数を決定する$${\displaystyle \tau _{2}=T_{2}={\dfrac {t_{75}-t_{25}}{X\,(1+1/P)}}}$$ $${\displaystyle \tau _{1}=T_{1}={\dfrac {T_{2}}{P}}}$$
• ラプラス領域内で識別されたシステムの伝達関数を計算する$${\displaystyle G(s)={\dfrac {k}{(1+s\,T_{1})\cdot (1+s\,T_{2})}}}$$

次に、極比τ ₁ / τ ₂の選択は、フィードバックアンプの位相マージンに関係します。^[9]ボード線図の記事 で概説されている手順に従います。図5は、2極アンプの2番目の極位置までの周波数範囲でのボードゲインプロットです。図5の背後にある仮定は、周波数f _{0 dBが}f ₁  = 1/(2πτ ₁ )の最低極とf ₂  = 1/(2πτ ₂ )の2番目の極の間にあるということです。図5に示すように、この条件はα ≥ 1の値に対して満たされます。

図5を使用すると、ループゲインβ A _0が次のように定義される単位ゲインまたは0 dB条件を満たす 周波数（f _{0 dBで示される）が見つかります。}

${\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 db}})|=1.}$

ゲイン プロットの下降方向の傾きは (20 dB/decade) です。周波数が 10 倍増加するごとに、ゲインは同じ倍数だけ低下します。

${\displaystyle f_{\text{0 dB}}=\beta A_{0}f_{1}.}$

位相マージンとは、 f _{0 dB}における位相が−180° からどれだけずれているかです。したがって、マージンは次のようになります。

${\displaystyle \phi _{m}=180^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{1})-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2}).}$

f _{0 dB} / f ₁ =  βA ₀ ≫ 1なので、 f ₁ の項は90° です。これにより位相余裕は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{m}&=90^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2})\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {\beta A_{0}f_{1}}{\alpha \beta A_{0}f_{1}}}\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {1}{\alpha }}=\arctan \alpha \,.\end{aligned}}}$

特に、α = 1の場合、 φ _m = 45°、α = 2の場合、φ _m = 63.4°です。Sansen ^[10]は、 α = 3、φ _m = 71.6°を「最初に行うのに適した安全な位置」として 推奨しています。

τ _{2 を}短くして α を増やすと、整定時間t _Sも短くなります。τ _{1 を長くして}αを増やしても、整定時間t _{S はほとんど変わりません。より一般的には、たとえば}極分割の手法が使用される と、 τ ₁とτ _{2 の}両方が変化します。

余談ですが、2つ以上の極を持つアンプの場合でも、図5の図は、 f _2を「等価第2極」位置と呼ばれるフィッティングパラメータにすることで、ボード線図に適合させることができます。^[11]

• インパルス応答
• オーバーシュート（信号）
• 極分割
• 立ち上がり時間
• 定着時間
• 時間定数

• Kuoのパワーポイントスライド、特に第7章