連分数を使った二次方程式を解く

数学において、二次方程式は2次の多項式方程式である。一般的な形式は次の通りである。

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$

ここでa ≠0です。

ある数に関する二次方程式は、平方完成によって導かれるよく知られた二次方程式の公式を使用して解くことができます。その公式は常に二次方程式の根を与えますが、その解は、多くの場合、二次無理数を含む形式で表現されます。二次無理数は代数的分数であり、追加の根抽出アルゴリズムを適用することによってのみ小数として評価できます。 ${\displaystyle x}$

根が実数の場合、方程式を直接操作して根の 1 つに有理近似値を取得する代替手法があります。この方法は多くの場合に有効であり、昔、連分数の解析理論のさらなる発展を促しました。

連分数を使った2次方程式の解法を示す簡単な例を示します。まず、次の式から始めます。

${\displaystyle x^{2}=2}$

直接操作することができます。両辺から1を引くと、

${\displaystyle x^{2}-1=1.}$

これは簡単に考慮できる

${\displaystyle (x+1)(x-1)=1}$

そこから得られる

${\displaystyle (x-1)={\frac {1}{1+x}}}$

そして最後に

${\displaystyle x=1+{\frac {1}{1+x}}.}$

ここで重要なステップが来ます。この式をxに代入して再帰的に計算すると、

${\displaystyle x=1+{\cfrac {1}{1+\left(1+{\cfrac {1}{1+x}}\right)}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+x}}}}.}$

しかし、同じ再帰的置換を何度も何度も繰り返して、未知の量xを好きなだけ下と右に押し下げ、極限で無限の単純連分数を得ることができます。

${\displaystyle x=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}}={\sqrt {2}}.}$

基本的な漸化式を適用することで、この連分数の連続収束式を 1、3/2、7/5、17/12、41/29、99/70、239/169、… と簡単に計算できます。ここで、連続収束式はそれぞれ、前の項の分子と分母を次の項の分母として取り、前の分母を加算して新しい分子を形成することによって形成されます。この分母のシーケンスは、ペル数として知られる特定のルーカス シーケンスです。

この単純な例についてさらに理解を深めるために、

${\displaystyle \omega ={\sqrt {2}}-1.}$

その連続した力の順序は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{2}&=3-2{\sqrt {2}},&\omega ^{3}&=5{\sqrt {2}}-7,&\omega ^{4}&=17-12{\sqrt {2}},\\\omega ^{5}&=29{\sqrt {2}}-41,&\omega ^{6}&=99-70{\sqrt {2}},&\omega ^{7}&=169{\sqrt {2}}-239,\,\end{aligned}}}$

以下同様です。√2の逐次近似値として導出された分数がこの等比数列にどのように現れるかに注目してください。

0 < ω < 1 なので、よく知られている正の実数の特性により、シーケンス { ω ⁿ } は明らかにゼロに近づきます。この事実は、上記の簡単な例で説明した収束が実際に極限で √ 2に収束することを厳密に証明するために使用できます。

これらの分子と分母は、次の累乗にも現れています。

${\displaystyle \omega ^{-1}={\sqrt {2}}+1.}$

連続するべき乗のシーケンス { ω ^{− n} } はゼロに近づきません。代わりに、無制限に増加します。ただし、この簡単な例では、収束値を取得するために使用できます。

また、aとbが整数であるときに、すべての組み合わせa + b √ 2を形成することによって得られる集合は、抽象代数学では環、より具体的には積分領域として知られるオブジェクトの例であることにも注意してください。数 ω はその積分領域内の単位です。代数的数体も参照してください。

連分数は、単項多項式の形で表現される一般的な二次方程式を解くのに最も便利に適用される。

${\displaystyle x^{2}+bx+c=0}$

これは、元の方程式をその主係数で割ることで常に得られます。このモニック方程式から、

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+bx&=-c\\x+b&={\frac {-c}{x}}\\x&=-b-{\frac {c}{x}}\,\end{aligned}}}$

しかし、最後の式をそれ自身に再帰的に適用すると、

${\displaystyle x=-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-\ddots \,}}}}}}}}}$

この無限連分数が収束するとすれば、単項多項式x ² + bx + c = 0 の根の 1 つに収束する必要があります。残念ながら、この特定の連分数は、すべての場合に有限数に収束するわけではありません。これは、 2 次方程式の公式と実係数の単項多項式を考えれば簡単にわかります。このような多項式の判別式が負の場合、2 次方程式の両方の根に虚数部があります。特に、bとc が実数でb ² − 4 c < 0 の場合、この連分数の「解」の収束はすべて実数になり、実数直線上にないu + iv ( v ≠ 0)の形式の根に収束することはあり得ません。

1748年にオイラーが得た結果を適用することで、実係数を持つ一般のモニック2次方程式の連分数解が示される。

${\displaystyle x^{2}+bx+c=0}$

与えられた

${\displaystyle x=-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-\ddots \,}}}}}}}}}$

係数bと判別式b ² − 4 cの値に応じて収束するか発散するかが決まります。

b = 0の場合、一般連分数解は完全に発散します。収束は 0 と の間で交互に発生します。b ≠ 0の場合、3 つのケースを区別します。 ${\displaystyle \infty}$

1. 判別式が負の場合、分数は振動によって発散します。つまり、その収束は規則的または無秩序な形でさまよい、有限の限界に近づくことはありません。
2. 判別式がゼロの場合、分数は重複度 2 の単一の根に収束します。
3. 判別式が正の場合、方程式には 2 つの実根があり、連分数はそのうちの大きい方 (絶対値で) に収束します。収束率は 2 つの根の比の絶対値によって決まります。つまり、その比が 1 から離れるほど、連分数はより速く収束します。

実係数の単項二次方程式がx ² = cの形をしている場合、ゼロ除算が明確に定義されていないため、上記の一般解は役に立ちません。ただし、 c が正である限り、両辺から完全な平方数を減算し、上記の√ 2で示した線に沿って進むことで、方程式を変換することは常に可能です。記号で表すと、

${\displaystyle x^{2}=c\qquad (c>0)}$

正の実数pを選んで、

${\displaystyle p^{2}$

そして直接操作することで、

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-p^{2}&=cp^{2}\\(x+p)(xp)&=cp^{2}\\xp&={\frac {cp^{2}}{p+x}}\\x&=p+{\frac {cp^{2}}{p+x}}\\&=p+{\cfrac {cp^{2}}{p+\left(p+{\cfrac {cp^{2}}{p+x}}\right)}}&=p+{\cfrac {cp^{2}}{2p+{\cfrac {cp^{2}}{2p+\ddots \,}}}}}}\,\end{aligned}}}$

そして、この変換された連分数は、すべての部分分子と部分分母が正の実数であるため、必ず収束します。

代数の基本定理によれば、単項多項式方程式x ² + bx + c = 0 が複素係数を持つ場合、2 つの（必ずしも異なるとは限らない）複素根を持つ必要があります。残念ながら、判別式b ² − 4 c は複素数である可能性があるため、この状況ではそれほど役に立ちません。それでも、一般定理の修正版は証明できます。

複素係数を持つ一般の単項二次方程式の連分数解

${\displaystyle x^{2}+bx+c=0\qquad (b\neq 0)}$

与えられた

${\displaystyle x=-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-\ddots \,}}}}}}}}}$

判別式b ² − 4 cの値と、その2つの根の相対的な大きさに 応じて収束するかどうかが決まります。

2 つの根をr ₁とr ₂で表すと、3 つのケースを区別できます。

1. 判別式がゼロの場合、分数は重複度 2 の単一の根に収束します。
2. 判別式がゼロでなく、| r ₁ | ≠ | r ₂ | の場合、連分数は最大係数の根（つまり、絶対値が大きい根）に収束します。
3. 判別式がゼロでなく、| r ₁ | = | r ₂ | の場合、連分数は振動によって発散します。

ケース 2 では、収束率は 2 つの根の比の絶対値によって決まります。つまり、その比が 1 から離れるほど、連分数はより速く収束します。

複素係数を持つ単項二次方程式のこの一般解は、基準が循環的であるため（つまり、ほとんどの場合、分数が収束すると結論付ける前に、2 つの根の相対的な大きさがわかっていなければならない）、通常、根の有理近似値を得るのにはあまり役立ちません。しかし、この解は、複素要素を持つ連分数 の収束問題のさらなる分析に有効に応用できます。

• ルーカスシーケンス
• 平方根を計算する方法
• ペル方程式

• HS ウォール、連分数の解析理論、D. ヴァン ノストランド カンパニー、1948 年ISBN  0-8284-0207-8