外接四辺形

ユークリッド幾何学では、外接四辺形は、4辺すべての延長線が四辺形の外側の円に接する凸 四辺形です。 ^{[1]これは、}外接四辺形とも呼ばれています。 [2]円は外円、半径は外半径、中心は外心（図のE）と呼ばれます。外心は、6つの角の二等分線の交点にあります。これらは、 ^2つの反対の頂点角における内角の二等分線、他の2つの頂点角における外角の二等分線（補助角の二等分線）、および反対の辺の延長線が交差する場所で形成される角度における外角の二等分線です（右の図を参照してください。この6つのうち4つは点線です）。外接四辺形は、接四辺形（4辺が円に接する）と密接に関連しています。

外接円の別名は内接円であるが^[3]、この名前は凸四辺形の1辺と隣接する2辺の延長線に接する円にも使用されている。その文脈では、すべての凸四辺形は4つの内接円を持つが、外接円は最大で1つである。^[4]

凧は、外接四辺形の例です。平行四辺形（正方形、菱形、長方形を含む）は、次のセクションの特徴を満たすため、無限外半径を持つ外接四辺形と見なすことができますが、外円は、反対側の辺の延長線の両方のペアに接することはできません（平行であるため）。^{[4]辺の長さが}等差数列を形成する凸四辺形は、隣接する辺の長さについて以下の特徴を満たすため、常に外接四辺形です。

凸四辺形が外接線となるのは、 6つの角の二等分線が同時に存在する場合のみです。これらは、2つの反対の頂点角における内角二等分線、他の2つの頂点角における外角二等分線、および反対辺の延長線が交差する角度における外角二等分線です。^[4]

計算の目的上、より有用な特徴付けは、連続する 2 つの辺a、b、c、dを持つ凸四辺形が接線外となるのは、隣接する 2 つの辺の合計が他の 2 つの辺の合計に等しい場合のみである、というものです。これは、次の 2 つの異なる方法で可能です。

${\displaystyle a+b=c+d}$

または

${\displaystyle a+d=b+c.}$

これは1846年にヤコブ・シュタイナーによって証明された。^[5]最初のケースでは、外接円は頂点AまたはCのうち最大のものの外側にあり、2番目のケースでは、四辺形ABCDの辺が

${\displaystyle a=|AB|,\ b=|BC|,\ c=|CD|,\ d=|DA|.}$

これらの辺に関する特徴を組み合わせる方法は、反対側の辺の差の絶対値が2組の反対側の辺に対して等しいというものである。 ^[4]

${\displaystyle |ac|=|bd|.}$

これらの方程式は、2 組の対辺の対辺の合計が等しい 接線四辺形のピトーの定理と密接に関連しています。

凸四辺形ABCDの対辺がEとFで交わる場合、

${\displaystyle |AB|+|BC|=|AD|+|DC|\quad \Leftrightarrow \quad |AE|+|EC|=|AF|+|FC|.}$

右辺への含意はLM Urquhart (1902–1966)にちなんで名付けられましたが、これは1841年にAugustus De Morganによって証明されていました。Daniel Pedoeは、これが直線と距離のみに関係することから、これをユークリッド幾何学における最も基本的な定理と名付けました。 ^[6] 実際に同値性があることはMowaffac Hajjaによって証明され、^[6]これにより、右辺への等式は、四辺形が外接線であるための もう1つの必要かつ十分な条件となります。

接線四辺形（表の左の列）のメトリック特性のいくつかは、下の表に示すように、外接四辺形（表の中央と右の列）の対応するものと非常によく似ています。 ^[4]したがって、凸四辺形は、以下の5つの必要かつ十分な条件のいずれかが満たされる場合にのみ、適切な頂点（列によって異なります）の外側に内接円または外接円を持ちます。

この表の表記は次のとおりです。凸四辺形ABCDでは、対角線はPで交差します。

• R ₁、R ₂、R ₃、R _{4 は}三角形△ ABP、△ BCP、△ CDP、△ DAPの外接半径である。
• h ₁、h ₂、h ₃、h ₄は、それぞれ同じ 4 つの三角形の辺a = | AB |、 b = | BC |、 c = | CD |、 d = | DA |までの高さです
• e、f、g、hはそれぞれ頂点A、B、C、DからPまでの距離である。
• x、y、z、w はそれぞれ角度∠ ABD、∠ ADB、∠ BDC、∠ DBCです。
• R a 、R _b、R _c、R _{d は、}それぞれ辺a、b、c、dに外接する円の半径と、各辺の隣接する 2 辺の延長です。

辺a、b、c、dを持つ外接四辺形ABCDの面積は

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

これは接線四辺形の面積の公式と同じであり、同様に ブレトシュナイダーの公式からも導かれることに注意してください。

連続する辺a、b、c、dを持つ外接四辺形の外半径は^[4]で与えられる。

${\displaystyle r={\frac {K}{|ac|}}={\frac {K}{|bd|}}}$

ここで、K は四辺形の面積です。辺が与えられた外接四辺形の場合、外半径は、四辺形が円周状(つまり外二心四辺形) のときに最大になります。これらの式は、すべての平行四辺形の外半径が無限大である理由を説明しています。

外接四辺形に外接円もある場合、外接二心四辺形と呼ばれます。^{[1]そして、2つの反対の}補角を持つので、その面積は次のように表されます。

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}}$

これは二心四辺形の場合と同じです。

xを外心と外心の間の距離とすると、 ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{(Rx)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

ここで、R、rはそれぞれ外半径と外半径である。これは、二心四辺形に対するFussの定理と同じ式である。しかし、 xについて解くとき、二心四辺形と比較した外二心四辺形の二次方程式のもう一方の根を選択する必要があります。したがって、外二心四辺形については、^[1]

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}+r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

この式から次のことが分かります

${\displaystyle \displaystyle x>R+r,}$

つまり、外接円と外接円は決して交差しないということです。

• 完全な四角形
• 循環四辺形