アイデンティティ（数学）

数学において、恒等式とは、ある数式A を別の数式 Bに関連付ける等式であり、AとB (いくつかの変数を含む場合がある) は、特定の議論領域内で変数のすべての値に対して同じ値を生成します。^{[1] [2]}言い換えると、AとB が同じ関数を定義する場合、 A  =  Bは恒等式であり、恒等式は定義が異なる関数間の等式です。たとえば、 と は恒等式です。^[3]恒等式は、等号=の代わりに三重棒記号≡で示されることがあります。^[4]正式には、恒等式は普遍的に量化された等式です。 ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$${\displaystyle \cos^{2}\theta +\sin^{2}\theta =1}$

やなどの特定の恒等式は代数の基礎を形成します。^[5]一方、やなどの他の恒等式は代数式の簡略化や展開に役立ちます。^[6]${\displaystyle a+0=a}$${\displaystyle a+(-a)=0}$${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}$

幾何学的には、三角関数の恒等式は、 1つ以上の角度の特定の関数を含む恒等式です。^{[7]これらは、}三角形の角度と辺の長さの両方を含む恒等式である三角形の恒等式とは異なります。この記事では前者についてのみ説明します。

これらの恒等式は、三角関数を含む式を簡略化する必要がある場合に便利です。もう 1 つの重要な応用は、非三角関数の積分です。これは、最初に三角関数で置換規則を使用し、次に結果として得られる積分を三角恒等式で簡略化するという一般的な手法です。

三角関数の等式の最も顕著な例の1つは、のすべての実数値に対して成り立つ方程式です。一方、方程式 ${\displaystyle \sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta =1,}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \cos \theta =1}$

は、すべての値に対してではなく、特定の値に対してのみ当てはまります。たとえば、この式は の場合には当てはまりますが、 の場合には偽になります。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta =0,​​}$${\displaystyle \theta =2}$

三角関数の恒等式の別のグループは、いわゆる加減法の公式（例えば、二倍角の恒等式、の加法公式）に関係しており、これを使用して、大きな角度の式をより小さな構成要素を持つ式に分解することができます。 ${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$${\displaystyle \tan(x+y)}$

底がゼロでない場合、 すべての整数指数に対して次の恒等式が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

加算や乗算とは異なり、指数は可換ではありません。たとえば、2 + 3 = 3 + 2 = 5であり、2 · 3 = 3 · 2 = 6ですが、2 ³ = 8 であるのに対し3 ² = 9です。

また、加算や乗算とは異なり、累乗も結合法則に従っていません。たとえば、(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9および(2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24ですが、2 ³の 4 乗は 8 ⁴ (または 4,096) であるのに対し、2 3 の 4 乗は² 81 (または 2,417,851,639,229,258,349,412,352) です^。括弧が書かれていない場合、慣例により順序は上から下であり、下から上ではありません。

${\displaystyle b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},}$   一方   ${\displaystyle (b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.}$

いくつかの重要な公式は、対数恒等式または対数法則とも呼ばれ、対数を互いに関連付けます。^[a]

積の対数は、掛け算される数の対数の合計です。2 つの数の比の対数は、対数の差です。数のp乗の対数は、数自体の対数のp倍です。p乗根の対数は、数をpで割った対数です。次の表は、これらの恒等式を例とともに示しています。各恒等式は、対数の定義 および/または左辺の 代入によって導出できます。${\displaystyle x=b^{\log _{b}x},}$${\displaystyle y=b^{\log _{b}y},}$

対数 log _b ( x ) は、次の式を使用して、 任意の底kに対するxとbの対数から計算できます。

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.}$

一般的な科学計算機は、 10 とeを底とする対数を計算します。^{[8]任意の底}bに関する対数は、前の式を使用してこれら 2 つの対数のいずれかを使用して決定できます。

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.}$

数xとその対数 log _b ( x ) (底bは不明) が与えられた場合、底は次のように与えられます。

${\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.}$

双曲関数は多くの恒等式を満たし、それらはすべて三角関数の恒等式と形が似ています。実際、オズボーンの規則^[9]によれば、任意の三角関数の恒等式を正弦と余弦の整数乗で完全に展開し、正弦をsinhに、余弦をcoshに変更し、偶数個の双曲正弦の積を含むすべての項の符号を入れ替えることで、双曲関数の恒等式に変換できます。^[10]

グーデルマン関数は、複素数を含まない三角関数と双曲関数の間の直接的な関係を示します。

形式的には、恒等式は、 sとtが他の自由変数を持たない項である形式の真の普遍量化 式である。式が恒等式であると述べられている場合、量化子の接頭辞は暗黙のままであることが多い。例えば、モノイドの公理は、式として与えられることが多い 。${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}.}$${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle \forall x,y,z:x*(y*z)=(x*y)*z,\quad \forall x:x*1=x,\quad \forall x:1*x=x,}$

あるいは、簡単に言えば、

${\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x,\qquad 1*x=x.}$

したがって、これらの式はあらゆるモノイドにおいて恒等式である。あらゆる等式と同様に、量指定子のない式はしばしば方程式と呼ばれる。言い換えれば、恒等式は変数のすべての値に対して真となる方程式である。^{[11] [12]}

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• 代数的恒等式のコレクション 2011-10-01 にWayback Machineにアーカイブされました