クロス乗算

数学、特に初等算術と初等代数では、2つの分数または有理式の間の方程式が与えられた場合、たすき掛けを行うことで方程式を簡略化したり、変数の値を求めたりすることができます。

この方法は、掛け合わせるものを覚えるためにハートの形に似た線を引くことができることから、「胸に十字を切る」方法とも呼ばれることがある。

次のような方程式が与えられた場合

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

bとdがゼロでない場合、たすき掛けをして次の式を得ることができます。

${\displaystyle ad=bc\quad {\text{または}}\quad a={\frac {bc}{d}}.}$

ユークリッド幾何学では、相似な三角形の比率として考えることで、同じ計算を行うことができます。

実際には、たすき掛けの方法とは、各（または一方の）辺の分子に他方の辺の分母を掛け、項を交差させることを意味します。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}},\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.}$

この方法の数学的正当性は、以下のより長い数学的手順から得られます。基本方程式から始めると、

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

両辺の項に同じ数を掛けても、項は等しくなります。したがって、両辺の分数を両辺の分母の積bdで掛けると、次のようになります。

$\displaystyle {\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.}$

左辺のbの 2 回が相殺され、右辺のdの 2 回も相殺されることに注目すると、分数を最小項に簡約することができ、

${\displaystyle ad=bc,}$

そして、この方程式の両辺を任意の要素で割ると、この式が得られます。この場合はdを使用します。

${\displaystyle a={\frac {bc}{d}}.}$

クロス乗算のもう一つの正当化は次のとおりです。与えられた方程式から始めます。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

左辺に⁠ d / d ⁠ = 1を、右辺に⁠ b / b ⁠ = 1 を掛けると、

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}},}$

など

${\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.}$

共通分母bd = dbを消去すると、

${\displaystyle ad=cb.}$

これらの手順の各ステップは、方程式の単一の基本的な性質に基づいています。たすき掛けは、生徒に教えるのに適した、理解しやすい手順であり、近道となります。

これは数学でよく使われる手順で、分数を約分したり、分数内の特定の変数の値を計算したりするのに使われます。方程式がある場合

${\displaystyle {\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}},}$

ここで、xは私たちが解きたい変数であり、たすき掛けを使って次のように決定できます。

${\displaystyle x={\frac {bc}{d}}.}$

例えば、車 の速度が一定で、 過去3 時間で既に90マイル走行したとすると、7時間で車がどれだけ走行するかを知りたいとします。この文章問題を比率に変換すると、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {x}{7\ {\text{hours}}}}={\frac {90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}}.}$

たすき掛けすると

${\displaystyle x={\frac {7\ {\text{hours}}\times 90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}},}$

など

${\displaystyle x=210\ {\text{miles}}.}$

代替ソリューション

90マイル/ 3時間= 時速30マイル

つまり、時速30マイル×7時間＝210マイル。

次のような単純な方程式でも

${\displaystyle a={\frac {x}{d}}}$

欠けているb項は暗黙のうちに1に等しいので、クロス乗算を使用して解くことができます。

${\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.}$

分数や有理式を含む方程式は、両辺に最小公倍数を掛けることで簡略化できます。この手順を分数の消去といいます。

3の法則[ ^{1 ]は}、特定の形式のたすき掛けを簡略化した歴史的な方法で、生徒に暗記で教えることができました。これは植民地時代の数学教育の頂点と考えられており^{[ 2 ]}、現在でもフランスの中等教育の国家カリキュラム^{[ 3 ]やスペインの初等教育カリキュラム[ 4 ]}に含まれています。

形式の方程式の場合

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}},}$

評価対象の変数が右辺の分母にある場合、3の法則によれば、

${\displaystyle x={\frac {bc}{a}}.}$

この文脈では、a は比率の極値と呼ばれ、 bとcは平均値と呼ばれます。

この規則は西暦2世紀以前から中国の数学者には知られていたが^{[ 5 ]} 、ヨーロッパではずっと後になってから使われるようになった。

17世紀の最高峰の教科書であるコッカーの『算術』 [6]は、3の法則^{[ 6 ]} に関する議論を「布4ヤードが12 シリングなら、同じ値段で6ヤードはいくらになるか？」という問題から始めています。3の法則はこの問題に直接答えを与えますが、現代の算術では、 6ヤードの布の値段を表す変数xを導入し、方程式を書き出すこと でこの問題を解きます。 

${\displaystyle {\frac {4\ {\text{yards}}}{12\ {\text{shillings}}}}={\frac {6\ {\text{yards}}}{x}}}$

そして、たすき掛けを使ってxを計算します。

${\displaystyle x={\frac {12\ {\text{shillings}}\times 6\ {\text{yards}}}{4\ {\text{yards}}}}=18\ {\text{shillings}}.}$

1570年の匿名の写本^{[ 7 ]}には、「掛け算は厄介で、割り算も同じくらい厄介だ。3の法則は私を困惑させ、練習は私を狂わせる」と書かれている。

チャールズ・ダーウィンは、新たに発見された属の種の数を推定する際に、3の法則を用いたことに言及している。^{[ 8 ]} 1855年にウィリアム・ダーウィン・フォックスに宛てた手紙の中で、チャールズ・ダーウィンは「実際の測定と3の法則以外のものには信頼を置いていない」と宣言した。^{[ 9 ]}カール・ピアソンはこの宣言を、彼が新たに創刊した雑誌『バイオメトリカ』のモットーとして採用した。^{[ 10 ]}

• 交差比率
• オッズ比
• トライラシカ
• 回転（角度）
• ユニタリ法

• ブライアン・バレル著：『メリアム・ウェブスターの日常数学ガイド：家庭とビジネスのための参考書』メリアム・ウェブスター、1998年、ISBN 9780877796213、 85-101ページ
• 「数学博士」、三の法則
• 「数学博士」、エイブラハム・リンカーン、そして三の法則
• パイクの算術体系（要約版）：数の科学の研究を容易にするために考案されたもので、最も明快で正確な規則を、有用な例を用いて解説している。さらに、学者の試験のための適切な問題と、簡略化された簿記体系も加えられている。 1827年- 関連部分のファクシミリ
• 15世紀にロードスのミカエルによって適用された「三の法則」
• マザーグースにおける三の法則
• ラドヤード・キプリング：分数や単純な三の法則で計算することはできるが、トゥイードルダムのやり方はトゥイードルディーのやり方ではない。

• ウィキメディア・コモンズにある、相互乗算に関連するメディア