対数極座標

2次元におけるラプラス方程式は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$

デカルト座標系では、同じ方程式を極座標系で書くと、より複雑な方程式になります。

${\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

または同等に

${\displaystyle \left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}u+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

しかし、関係から${\displaystyle r=e^{\rho }}$したがって、${\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}={\frac {\partial }{\partial \rho }}}$したがって、対数極座標におけるラプラス方程式は、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

は、直交座標系と同じ単純な式で表されます。これは、直交座標系への変換が等角写像によって与えられるすべての座標系に当てはまります。したがって、回転対称性を持つ平面の一部（例えば円盤）のラプラス方程式を考える場合、対数極座標が自然な選択となります。

解析関数を考える場合にも同様の状況が生じる。解析関数${\displaystyle f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)}$デカルト座標で記述された式は、コーシー・リーマン方程式を満たす。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

関数が極形式で表現されている場合${\displaystyle f(re^{i\theta })=Re^{i\Phi }}$コーシー・リーマン方程式はより複雑な形をとる。

${\displaystyle r{\frac {\partial \log R}{\partial r}}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial \log R}{\partial \theta }}=-r{\frac {\partial \Phi }{\partial r}},}$

ラプラス方程式の場合と同様に、デカルト座標の単純な形式は、極座標を対数極座標に変換することによって回復される（${\displaystyle P=\log R}$):

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial \rho }}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial P}{\partial \theta }}=-{\frac {\partial \Phi }{\partial \rho }}}$

コーシー・リーマン方程式は、次のように1つの方程式で表すこともできます。

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)f(x+iy)=0}$

表現することによって${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}}$そして${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}}$に関しては${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \rho }}}$そして${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$この方程式は、同等の形式で記述できます。

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial \rho }}+i{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f(e^{\rho +i\theta })=0}$

回転対称性を持つ領域でディリクレ問題を解く場合、通常はラプラス方程式の極座標形式に対する偏微分方程式の変数分離法を用います。つまり、次のように記述します。${\displaystyle u(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )}$ラプラス方程式は、2つの常微分方程式に分離される。

${\displaystyle {\begin{cases}\Theta ''(\theta )+\nu ^{2}\Theta (\theta )=0\\r^{2}R''(r)+rR'(r)-\nu ^{2}R(r)=0\end{cases}}}$

どこ${\displaystyle \nu }$は定数です。最初の式は定数係数を持ち、簡単に解けます。2番目の式はオイラー方程式の特殊な場合です。

${\displaystyle r^{2}R''(r)+crR'(r)+dR(r)=0}$

どこ${\displaystyle c,d}$は定数です。この方程式は通常、次の仮説によって解かれます。${\displaystyle R(r)=r^{\lambda }}$しかし、対数極半径を用いることで、定数係数を持つ方程式に変換することができる。

${\displaystyle P''(\rho )+(c-1)P'(\rho )+dP(\rho )=0}$

ラプラス方程式を考えると、${\displaystyle c=1}$そして${\displaystyle d=-\nu ^{2}}$したがって、方程式は${\displaystyle r}$シンプルな形をとる

${\displaystyle P''(\rho )-\nu ^{2}P(\rho )=0}$

デカルト座標系でディリクレ問題を解く場合、これらはまさに次の式です。 ${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$したがって、回転対称性を持つ領域にとって自然な選択は、やはり極座標ではなく、対数極座標である。

後者の座標系は、例えばディリクレ問題やノイマン問題を扱うのに適している。離散座標系を単位円盤上の無向グラフとして解釈すると、電気回路のモデルとみなすことができる。グラフ内の各線分には、関数で与えられるコンダクタンスが関連付けられている。${\displaystyle \gamma }$電気回路網は、単位円盤内のディリクレ問題の離散モデルとして機能し、ラプラス方程式はキルヒホッフの法則の形をとります。円の境界上の節点には電位（ディリクレデータ）が定義され、境界節点を通して電流（ノイマンデータ）を誘導します。線形演算子${\displaystyle \Lambda _{\gamma }}$ディリクレデータからノイマンデータへの変換はディリクレ-ノイマン演算子と呼ばれ、ネットワークのトポロジーとコンダクタンスに依存します。

連続円盤の場合、伝導率が均一であれば、${\displaystyle \gamma =1}$あらゆる場所で、ディリクレ-ノイマン演算子は次の式を満たす。

${\displaystyle \Lambda _{\gamma }^{2}+{\frac {\partial ^{2}\ }{\partial \theta ^{2}}}=0}$

1970年代末にはすでに、離散螺旋座標系の応用が画像解析（画像レジストレーション）で示されていました。画像をデカルト座標ではなくこの座標系で表現すると、画像の回転やズームインの際に計算上の利点が得られます。また、人間の目の網膜にある光受容体は、螺旋座標系と非常によく似た方法で分布しています。^{[ 1 ]}これはマンデルブロ集合のフラクタルにも見られます（右の図を参照）。

対数極座標は、ラドン変換とその逆変換の高速な方法を構築するためにも使用できます。^{[ 2 ]}