空間周波数

グリーンシーシェル画像

グリーンシーシェル画像の空間周波数表現

画像とその空間周波数：周波数領域の振幅は対数スケールで表示され、ゼロ周波数は中央に位置します。元の画像は、2次元離散フーリエ変換によって周波数領域に変換されています。注目すべきは、低周波数領域にコンテンツが集中していることで、これは自然画像によく見られる特徴です。

数学、物理学、工学において、空間周波数は、空間内の位置に対して周期的な構造の特性です。空間周波数は、構造の正弦波成分（フーリエ変換によって決定される）が単位距離あたりにどのくらいの頻度で繰り返されるかを示す尺度です。

空間周波数のSI単位はメートルの逆数（m ⁻¹）^{[ 1 ]}ですが、サイクル/メートル（c/m）もよく使われます。画像処理アプリケーションでは、空間周波数はサイクル/ミリメートル（c/mm）またはラインペア/ミリメートル（LP/mm）の単位で表されることがよくあります。

波動伝播において、空間周波数は波数とも呼ばれる。通常の波数は波長の逆数として定義される。${\displaystyle \lambda }$一般的には、${\displaystyle \xi }$^{[ 2 ]}または時々${\displaystyle \nu }$: ^{[ 3 ]}${\displaystyle \xi ={\frac {1}{\lambda }}.}$ 角波数${\displaystyle k}$ラジアン毎メートル (rad/m)で表される は、通常の波数と波長と次の関係にある。 ${\displaystyle k=2\pi \xi ={\frac {2\pi }{\lambda }}.}$

視覚認知の研究において、正弦波格子はコントラスト感度などの視覚系の能力を調べるためによく用いられます。これらの刺激では、空間周波数は視角1度あたりのサイクル数として表されます。正弦波格子は、振幅（明暗の縞の強度の差の大きさ）、方向、位相においても互いに異なります。

空間周波数が数式における変数として用いられる場合、その関数はk空間にあると言われます。2次元k空間は、生データ格納空間としてMRIに導入されています。k空間における各データ点の値は、1/メートル、すなわち空間周波数の単位で測定されます。

k空間の生データが周期関数の特徴を示すことは非常に一般的です。周期性は空間周波数ではなく、時間周波数です。MRI生データ行列は、一連の位相可変スピンエコー信号で構成されています。各スピンエコー信号は時間のsinc関数であり、次のように記述できます。 $${\displaystyle {\text{Spin-Echo}}={\frac {M_{\mathrm {0} }\sin \omega _{\mathrm {r} }t}{\omega _{\mathrm {r} }t}}}$$ どこ $${\displaystyle \omega _{\mathrm {r} }=\omega _{\mathrm {0} }+{\bar {\gamma }}rG}$$ ここ${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$は磁気回転比定数であり、${\displaystyle \omega _{\mathrm {0} }}$はスピンの基本共鳴周波数です。勾配Gの存在により、空間情報rは周波数に符号化されます。${\displaystyle \omega }$MRI生データに見られる周期性は、まさにこの周波数である。${\displaystyle \omega _{\mathrm {r} }}$これは基本的に自然界における時間周波数である。

回転するフレームでは、${\displaystyle \omega _{\mathrm {0} }=0}$、 そして${\displaystyle \omega _{\mathrm {r} }}$簡略化して${\displaystyle {\bar {\gamma }}rG}$ただ、${\displaystyle k={\bar {\gamma }}Gt}$スピンエコー信号は別の形で表現される $${\displaystyle {\text{Spin-Echo}}={\frac {M_{\mathrm {0} }\sin rk}{rk}}}$$

さて、スピンエコー信号はk空間にあります。これはkの周期関数となり、 rはk空間周波数ですが、「空間周波数」ではありません。「空間周波数」は実空間rで見られる周期性を表すために予約されているからです。

k空間領域と空間領域はフーリエ対を形成します。それぞれの領域には、空間情報と空間周波数情報という2つの情報が含まれています。すべての医師にとって非常に重要な空間情報は、k空間領域では周期関数として、空間領域では画像として表されます。一方、MRIエンジニアにとって興味深いかもしれない空間周波数情報は、空間領域では容易には把握できませんが、k空間領域ではデータ点として容易に把握できます。

• フーリエ解析
• スーパーレンズ
• 視覚
• 周辺部の視認性
• 逆空間

• 「チュートリアル：画像の空間周波数」。ハカン・ハベルダー、ヒューストン大学。 2012年3月22日取得。
• Kalloniatis, Michael; Luu, Charles (2007). "Webvision: Part IX Psychophysics of Vision. 2 Visual Acuity, Contrast Sensitivity" . ユタ大学. 2009年7月19日取得.