発振器の表現

数学において、振動子表現はシンプレクティック群の射影ユニタリ表現であり、アーヴィング・シーガル、デイヴィッド・シェール、アンドレ・ヴェイユによって初めて研究された。表現の自然な拡張は縮約作用素の半群につながり、1988年にロジャー・ハウによって振動子半群として導入された。半群は以前にも他の数学者や物理学者、最も有名なのは1960年代のフェリックス・ベレジンによって研究されていた。1次元における最も単純な例はSU(1,1)で与えられる。これは拡張された複素平面上のメビウス変換として機能し、単位円は不変である。その場合、振動子表現はSU(1,1)の二重被覆のユニタリ表現であり、振動子半群は単位円をそれ自身に取り込むメビウス変換に対応するSL(2, C )における半群の縮約作用素による表現に対応する。

符号までしか決定されない縮約演算子は、ガウス関数である核を持ちます。無限小レベルでは、半群は、SU(1,1) のリー代数の円錐によって記述され、光円錐と同一視できます。同じフレームワークは、無限次元での類似物を含む、より高次元のシンプレクティック群に一般化されます。この記事では、SU(1,1) の理論を詳細に説明し、理論を拡張する方法をまとめます。

ヴェルナー・ハイゼンベルクとエルヴィン・シュレーディンガーによる量子力学の数学的定式化は、もともとヒルベルト空間上の非有界自己随伴作用素に関するものでした。位置と運動量に対応する基本作用素は、ハイゼンベルクの交換関係を満たします。調和振動子を含むこれらの作用素の2次多項式も、交換子を取る条件で閉じています。

1920年代から1930年代にかけて、量子力学の厳密な基礎を築くために、大量の作用素理論が開発された。理論の一部は、ヘルマン・ワイル、マーシャル・ストーン、ジョン・フォン・ノイマンの貢献により、作用素のユニタリ群の観点から定式化された。数理物理学におけるこれらの結果は、1933年のノーバート・ウィーナーの講義ノートに始まり、調和振動子の熱核を使用してフーリエ変換の特性を導出した数学的解析に組み込まれた。

ストーン-フォン・ノイマンの定理で定式化されたハイゼンベルクの交換関係の一意性は、後に群表現論、特にジョージ・マッキーによって提唱された誘導表現の理論の中で解釈された。二次演算子は、群 SU(1,1) の射影ユニタリ表現とそのリー代数の観点から理解された。アーヴィング・シーガルとデイヴィッド・シェールは、この構成を有限次元と無限次元のシンプレクティック群に一般化した。物理学では、これはしばしばボゾン量子化と呼ばれる。これは、無限次元空間の対称代数として構成される。シーガルとシェールは、無限次元ヒルベルト空間の外代数として構成されるフェルミオン量子化の場合も扱っている。1+1 次元の共形場理論の特殊なケースでは、いわゆる「ボゾン-フェルミオン対応」によって 2 つのバージョンは同等になる。これは、ボゾンとフェルミオンのヒルベルト空間の間にユニタリ演算子がある解析だけでなく、頂点演算子代数の数学的理論にも当てはまります。頂点演算子自体は、もともと1960年代後半に理論物理学、特に弦理論で生まれました。

アンドレ・ヴェイユは後にこの構成をp進リー群に拡張し、この考え方を数論にどのように応用できるかを示し、特にシータ関数と二次の相互性に対する群論的説明を与えた。数人の物理学者と数学者は、調和振動子に対応する熱核演算子がSU(1,1)の複素化に関連付けられていることを観察した。これはSL(2, C )全体ではなく、自然な幾何学的条件によって定義される複素半群であった。この半群の表現論と有限次元および無限次元への一般化は、数学と理論物理学の両方に応用されている。^[1]

グループ:

${\displaystyle G=\operatorname {SU} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\right||\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\},}$

は、行列式が1である複素2×2行列の群であるG _c = SL(2, C )の部分群である。G _{1 =} SL (2, R )のとき、

${\displaystyle G=CG_{1}C^{-1},\qquad C={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}.}$

これは、対応するメビウス変換が、上半平面を単位円に、実数直線を単位円に 移すケーリー変換であるためです。

群SL(2, R )は抽象群として次のように生成される。

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

下三角行列の部分群

${\displaystyle \left\{\left.{\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbf {R} ,a>0\right\}.}$

実際、ベクトルの 軌道は

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

これらの行列によって生成される部分群の下では、 R ²の全体であることが容易にわかり、G ₁におけるvの安定子はこの部分群の内側にあります。

SU(1,1)の リー代数は行列から構成される${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ix&w\\{\overline {w}}&-ix\end{pmatrix}},\quad x\in \mathbf {R} .}$

G _cの周期2自己同型σ

${\displaystyle \sigma (g)=M{\overline {g}}M^{-1},}$

と

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},}$

不動点群Gは

${\displaystyle \sigma {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overline {d}}&{\overline {c}}\\{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}.}$

同様に同じ式は、トレースゼロの複素行列であるG _cのリー代数の周期2自己同型 σ を定義する。C上の標準基底は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}}$

${\displaystyle L_{0}={\begin{pmatrix}{1 \over 2}&0\\0&-{1 \over 2}\end{pmatrix}},\quad L_{-1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad L_{1}={\begin{pmatrix}0&0\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

したがって、−1 ≤ m、n ≤ 1

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(mn)L_{m+n}.}$

直和分解 がある

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}},}$

ここで、σ の +1 固有空間と–1 固有空間です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$

行列Xは次の形式をとる 。${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x&w\\-{\overline {w}}&-x\end{pmatrix}}.}$

ご了承ください

${\displaystyle -\det X=x^{2}-|w|^{2}.}$

の円錐C は2 つの条件によって定義されます。1 つ目は、定義により、この条件はGによる共役の下で維持されます。G は連結であるため、x > 0 とx < 0の 2 つの成分は不変です。2 つ目の条件は、${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \det X<0.}$${\displaystyle x<0.}$

群G ^{c は、}拡張された複素平面上のメビウス変換として作用します。部分群Gは単位円板Dの自己同型として作用します。Olshanskii (1981) によって最初に考えられたG ^cの半群H は、幾何学的条件によって定義できます。

${\displaystyle g({\overline {D}})\subset D.}$

半群は円錐Cを用いて明示的に記述することができる：^[2]

${\displaystyle H=G\cdot \exp(C)=\exp(C)\cdot G.}$

実際、行列XはGの要素によって行列に 共役化することができる。

${\displaystyle Y={\begin{pmatrix}-y&0\\0&y\end{pmatrix}}}$

と

${\displaystyle y={\sqrt {x^{2}-|w|^{2}}}>0.}$

exp Yに対応するメビウス変換はz をe ^{−2 y} zに送るので、右辺は半群に属することになります。逆に、g がHに属する場合、閉じた単位円板はその内部にあるより小さな閉じた円板に移動します。 Gの要素と共役すると、より小さな円板の中心が 0 であるとみなすことができます。しかし、適切なyに対して、要素はD をそれ自身に移動するため、 Gに属します。 ${\displaystyle e^{-Y}g}$

同様の議論から、半群である Hの閉包は次のように与えられることがわかる。

${\displaystyle {\overline {H}}=\{g\in \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )|gD\subseteq D\}=G\cdot \exp {\overline {C}}=\exp {\overline {C}}\cdot G.}$

上記の共役に関する記述から、

${\displaystyle H=GA_{+}G,}$

どこ

${\displaystyle A_{+}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{-y}&0\\0&e^{y}\end{pmatrix}}\right|y>0\right\}}.}$

もし

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in H}$

それから

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {a}}&{\overline {b}}\\{\overline {c}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}a&-c\\-b&d\end{pmatrix}}\in H,}$

後者は転置行列を取り、±1の要素を持つ対角行列で共役させることによって得られる。したがってHには

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {a}}&-{\overline {c}}\\-{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}。 }$

元の行列がSU(1,1)にある場合は逆行列を与えます。

共役性に関するさらなる結果は、Hのあらゆる元がDの点を固定しなければならないことに注目することで得られ、これはGの元との共役によって0 になることができる。すると、 Hの元は次の形になる。

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}},\qquad |a|<1\quad {\text{and}}\quad |b|<|a|^{-1}-|a|.}$

このような下三角行列の集合はHの部分半群H ₀を形成します。

以来

${\displaystyle M{\begin{pmatrix}x&0\\0&x^{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x&0\\ba^{-1}(x-x^{-1})&x^{-1}\end{pmatrix}}M,}$

H ₀内のあらゆる行列は、H ₀内の行列Mによって対角行列と共役になります。

同様に、 Hのすべての 1 パラメータ半群S ( t ) はDの同じ点を固定するため、 Gの要素によってH ₀の 1 パラメータ半群と共役になります。

すると、H ₀には次のような 行列Mが存在する。

${\displaystyle MS(t)=S_{0}(t)M,}$

S ₀ ( t ) 対角行列である。同様に、 H ₀には次のような 行列 Nが存在する。

${\displaystyle S(t)N=NS_{0}(t),}$

半群H _{0 は}、行列式が 1 である複素下三角行列の部分群Lを生成します(上記の式でa ≠ 0 として与えられます)。そのリー代数は、次の形式の行列で構成されます。

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}z&0\\w&-z\end{pmatrix}}.}$

特に、1パラメータ半群exp tZがすべてのt > 0に対してH ₀に存在するのは、次の場合のみであり、${\displaystyle \Re z<0}$${\displaystyle |\Re z|>{\tfrac {1}{2}}|w|.}$

これはHの基準から、または直接式から 導かれる。

${\displaystyle \exp Z={\begin{pmatrix}e^{z}&0\\f(z)w&e^{-z}\end{pmatrix}},\qquad f(z)={\sinh z \over z}.}$

指数写像は、群L全体では全射であるにもかかわらず、この場合には全射ではないことが知られている。これは、平方演算がHでは全射ではないためである。実際、元の平方が 0 を固定するのは元の元が 0 を固定する場合のみであるため、これをH ₀で証明すれば十分である。|α| < 1 の α を取り、

${\displaystyle \left|\alpha +\alpha ^{-1}\right|<|\alpha |+|\alpha ^{-1}|.}$

a = α ²かつ

${\displaystyle b=(1-\delta )(|a|^{-1}-|a|),}$

と

${\displaystyle (1-\delta )^{2}={|\alpha +\alpha ^{-1}| \over |\alpha |+|\alpha ^{-1}|},}$

次にマトリックス

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}}}$

H ₀には平方根がない。平方根は次の形になる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &0\\\beta &\alpha ^{-1}\end{pmatrix}}.}$

一方で、

${\displaystyle |\beta |={b \over |\alpha +\alpha ^{-1}|}={|\alpha |^{-1}-|\alpha | \over 1-\delta }>|\alpha |^{-1}-|\alpha |.}$

閉半群はSL(2, C )において最大である。より大きな半群はSL(2, C )全体でなければならない。^{[3] [4] [5] [6] [7]}${\displaystyle {\overline {H}}}$

理論物理学に動機づけられた計算を用いて、Ferrara ら (1973) は、一連の不等式によって定義される半群 を導入した。圧縮半群としての同一視なしに、彼らは の最大性を確立した 。圧縮半群としての定義を用いると、最大性は に新しい分数変換を加えたときに何が起こるかを調べることに帰着する。証明の考え方は、2 つの円板との位置を考慮することに依存する。重要なケースでは、一方の円板がもう一方の円板を含むか、またはそれらが互いに素であるかのいずれかである。最も単純なケースでは、はスケーリング変換または の逆である。どちらの場合も、 および は1 の開近傍を生成し、したがって SL(2,C) 全体を生成する。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle g(D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(z)=-1/z}$${\displaystyle g}$${\displaystyle H}$

後に Lawson (1998) は、まずSにgがあり、それがD をディスクD ^cに送り込むこと、| z | > 1 を示すことにより、最大性を証明する別の直接的な方法を示しました。実際、 の場合、Dに小さなディスクD ₁があり、xD _{1 が}D ^cに含まれます。この場合、Hにあるhに対して、D ₁ = hDです。同様に、Hにあるyに対して、 yxD ₁ = D ^{c です}。したがって、g = yxh はSに含まれ、D をD ^cに送ります。したがって、g ^{2 は}単位ディスクD を固定するので、 SU(1,1) に含まれます。したがって、 g ^{−1 は}Sに含まれます。t がHに含まれる場合、 tgDにはgD が含まれます。したがって、t ^{−1 は}Sに含まれるため、S には 1 の開近傍が含まれます。したがって、S = SL(2, C ) です。 ${\displaystyle x\in S\setminus {\overline {H}},}$${\displaystyle g^{-1}t^{-1}g\in {\overline {H}}.}$

全く同じ議論が、R ⁿ上のメビウス変換と、閉単位球面 || x || ≤ 1 を開単位球面 || x || < 1 に取り込む開半群にも当てはまります。閉包は、すべてのメビウス変換の群における最大の固有半群です。n = 1 のとき、閉包は、閉区間 [–1,1] をそれ自身に取り込む実数直線のメビウス変換に対応します。^[8]

半群Hとその閉包はGから継承された構造をさらに持っています。つまり、G上の反転はHとその閉包の反自己同型にまで拡張され、exp Cとその閉包の要素を固定します。

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

反自己同型性は次のように与えられる。

${\displaystyle g^{+}={\begin{pmatrix}{\overline {a}}&-{\overline {c}}\\-{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}}$

SL(2, C )の反自己同型に拡張される。

同様に反自己同型性

${\displaystyle g^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\overline {d}}&-{\overline {b}}\\-{\overline {c}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}}$

G _{1 は}不変のままで、 exp C ₁の要素とその閉包を固定するので、 G ₁の半群に対しても同様の特性を持ちます。

をR上のシュワルツ関数の空間とする。これはR上の平方可積分関数のヒルベルト空間L ² ( R )に稠密である。量子力学の用語に従って、「運動量」演算子Pと「位置」演算子Q は次のように 定義される。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle Pf(x)=if'(x),\qquad Qf(x)=xf(x).}$

これらの演算子はハイゼンベルクの交換関係を満たす。

${\displaystyle PQ-QP=iI.}$

PとQは両方ともL2 ( R )から継承された上の内積に対して自己随伴で^ある。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

2つの1パラメータユニタリ群U ( s )とV ( t )は、およびL ² ( R )上で次のように定義できます。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle U(s)f(x)=f(x-s),\qquad V(t)f(x)=e^{ixt}f(x).}$

定義上

${\displaystyle {d \over ds}U(s)f=iPU(s)f,\qquad {d \over dt}V(t)f=iQV(t)f}$

は、正式には ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle U(s)=e^{iPs},\qquad V(t)=e^{iQt}.}$

定義から、1パラメータ群UとVがワイル交換関係を満たすことは明らかである。

${\displaystyle U(s)V(t)=e^{-ist}V(t)U(s).}$

UとVをL ² ( R )上で実現したものをシュレーディンガー表現と呼びます。

フーリエ変換は^[9]によって定義される。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }\,dx.}$

それは、その自然なトポロジーに対して、 の連続マップを自身に定義します。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

等高線積分は関数

${\displaystyle H_{0}(x)={e^{-x^{2}/2} \over {\sqrt {2\pi }}}}$

独自のフーリエ変換です。

一方、部分積分や積分による微分では、

${\displaystyle {\widehat {Pf}}=-Q{\widehat {f}},\qquad {\widehat {Qf}}=P{\widehat {f}}.}$

上の演算子は次のように定義される 。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle Tf(x)={\widehat {\widehat {f}}}(-x)}$

はQ (およびP )と可換である 。一方、

${\displaystyle TH_{0}=H_{0}}$

そして

${\displaystyle g(x)={f(x)-f(a)H_{0}(x)/H_{0}(a) \over x-a}}$

にあるので、 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle T(x-a)g|_{x=a}=(x-a)Tg|_{x=a}=0}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle Tf(a)=f(a).}$

これはフーリエ反転公式を意味する：

${\displaystyle f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{ix\xi }\,d\xi }$

そして、フーリエ変換が のそれ自身への同型であることを示します。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

フビニの定理により

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\widehat {g}}(x)\,dx={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\iint f(x)g(\xi )e^{-ix\xi }\,dxd\xi =\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )g(\xi )\,d\xi .}$

これを反転公式と組み合わせると、フーリエ変換は内積を保存することを意味する。

${\displaystyle \left({\widehat {f}},{\widehat {g}}\right)=(f,g)}$

したがって、 の等長変換がそれ自身に定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

密度により、プランシュレルの定理によって主張されているように、 L ² ( R )上のユニタリ演算子に拡張されます。

U ( s ) とV ( t ) がワイル交換関係を満たす ヒルベルト空間上の1パラメータユニタリ群であるとする。${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle U(s)V(t)=e^{-ist}V(t)U(s).}$

^{[10] [11]}については${\displaystyle F(s,t)\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} \times \mathbf {R} ),}$

${\displaystyle F^{\vee }(x,y)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(t,y)e^{-itx}\,dt}$

そして、有界演算子を次のよう に定義する。${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T(F)=\iint F^{\vee }(x,x+y)U(x)V(y)\,dxdy.}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}T(F)T(G)&=T(F\star G)\\T(F)^{*}&=T(F^{*})\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}(F\star G)(x,y)&=\int F(x,z)G(z,y)\,dz\\F^{*}(x,y)&={\overline {F(y,x)}}\end{aligned}}}$

演算子T ( F )は重要な非退化特性を持ちます。つまり、すべてのベクトルT ( F )ξの線形範囲はにおいて稠密です。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

実際、fdsとgdtがコンパクトなサポートを持つ確率測度を定義する場合、スミア演算子

${\displaystyle U(f)=\int U(s)f(s)\,ds,\qquad V(g)=\int V(t)g(t)\,dt}$

満足する

${\displaystyle \|U(f)\|,\|V(g)\|\leq 1}$

そして、測度のサポートが 0 に減少すると、 強演算子トポロジーで恒等演算子に収束します。

U ( f ) V ( g )はT ( F )の形をとるので非退化が起こります。

がL ² ( R )上のシュレーディンガー表現であるとき、演算子T ( F )は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T(F)f(x)=\int F(x,y)f(y)\,dy.}$

この式から、 UとV はシュレーディンガー表現に対して共同で不可分に作用することがわかります。これは、シュワルツ関数であるカーネルによって与えられた演算子に対して当てはまります。具体的な記述は、線形標準変換によって提供されます。

逆に、 上のワイル交換関係の表現が与えられると、核演算子の *-代数の非退化表現が生じます。しかし、そのような表現はすべて、各コピーに対する作用が上記のとおりであるL ² ( R ) のコピーの直交直和上にあります。これは、 N × N行列の表現がC ^N上の標準表現の直和上であるという基本的事実をそのまま一般化したものです。行列単位を使用した証明は、無限次元でも同様に機能します。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

1パラメータユニタリ群UとVは各成分を不変のままにし、シュレーディンガー表現に対する標準作用を誘導します。

特に、これはストーン・フォン・ノイマンの定理を意味します。シュレーディンガー表現は、ヒルベルト空間上のワイル交換関係の唯一の既約表現です。

ワイル交換関係を満たす UとVが与えられたとき、定義する。

${\displaystyle W(x,y)=e^{\frac {ixy}{2}}U(x)V(y).}$

それから

${\displaystyle W(x_{1},y_{1})W(x_{2},y_{2})=e^{i(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}W(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),}$

すると、WはR ²の射影ユニタリ表現を定義し、そのコサイクルは次のように与えられる。

${\displaystyle \omega (z_{1},z_{2})=e^{iB(z_{1},z_{2})},}$

ここで、BはR ²上のシンプレクティック形式であり 、${\displaystyle z=x+iy=(x,y)}$

${\displaystyle B(z_{1},z_{2})=x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}=\Im z_{1}{\overline {z_{2}}}.}$

ストーン・フォン・ノイマンの定理によれば、このコサイクルに対応する唯一の既約表現が存在します。

したがって、g がR ²の自己同型で形式B を保存する場合、つまり SL(2, R )の元である場合、共分散関係を満たす L ² ( R ) 上のユニタリ π( g )が存在する。

${\displaystyle \pi (g)W(z)\pi (g)^{*}=W(g(z)).}$

シュアーの補題により、ユニタリπ( g )は|ζ|=1であるスカラーζによる乗算を除いて一意であり、πはSL(2, R )の射影ユニタリ表現を定義します。

これはシュレーディンガー表現の既約性のみを使って直接証明できる。既約性は、演算子

${\displaystyle \iint K(x,y)U(x)V(y)\,dxdy,}$

Kの場合、シュワルツ関数はシュワルツ関数を持つカーネルによって与えられる演算子に正確に対応します。

これらはヒルベルト・シュミット作用素の空間に密であり、有限階数の作用素を含むため、既約に作用します。

πの存在はシュレーディンガー表現の既約性のみを使って証明できる。演算子は符号を除いて一意であり、

${\displaystyle \pi (gh)=\pm \pi (g)\pi (h),}$

したがって、SL(2, R )の射影表現の2コサイクルは±1の値を取る。

実際、群SL(2, R )は次のような形式の行列によって生成される。

${\displaystyle g_{1}={\begin{pmatrix}a&0\\0&a^{-1}\end{pmatrix}},\,\,g_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}},\,\,g_{3}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$

そして、以下の演算子が上記の共分散関係を満たすことは直接検証できる。

${\displaystyle \pi (g_{1})f(x)=\pm a^{-{\frac {1}{2}}}f(a^{-1}x),\,\,\pi (g_{2})f(x)=\pm e^{-ibx^{2}}f(x),\,\,\pi (g_{3})f(x)=\pm e^{\frac {i\pi }{8}}{\widehat {f}}(x).}$

生成元g _{i は}次のBruhat関係式を満たし、これは群SL(2, R )を一意に特定する: ^[12]

${\displaystyle g_{3}^{2}=g_{1}(-1),\,\,g_{3}g_{1}(a)g_{3}^{-1}=g_{1}(a^{-1}),\,\,g_{1}(a)g_{2}(b)g_{1}(a)^{-1}=g_{2}(a^{-2}b),\,\,g_{1}(a)=g_{3}g_{2}(a^{-1})g_{3}g_{2}(a)g_{3}g_{2}(a^{-1}).}$

これらの関係は対応する演算子の符号まで満たされていることを直接計算によって検証することができ、これによりコサイクルが ±1 の値を取ることが証明されます。

より概念的な説明としては、メタプレクティック群をSL(2, R )の二重被覆として明示的に構成する方法がある。^[13] SL(2, R )は上半平面 H上でメビウス変換として作用する。さらに、

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

それから

${\displaystyle {dg(z) \over dz}={1 \over (cz+d)^{2}}.}$

機能

${\displaystyle m(g,z)=cz+d}$

1-コサイクル関係を満たす

${\displaystyle m(gh,z)=m(g,hz)m(h,z).}$

各gに対して、関数m ( g , z ) はH上でゼロではないため、2つの正則平方根が存在する。メタプレクティック群は、次の群として定義される。

${\displaystyle \operatorname {Mp} (2,\mathbf {R} )=\{(g,G)|G(z)^{2}=m(g,z)\}.}$

定義により、これはSL(2, R )の二重被覆であり、連結である。乗算は次のように与えられる。

${\displaystyle (g,G)\cdot (h,H)=(gh,K),}$

どこ

${\displaystyle K(z)=G(hz)H(z).}$

したがって、メタプレクティック群の元gに対して、 1-コサイクル関係を満たす 一意に決定された関数m ( g , z ) ^{1/2が存在する。}

もし、 ${\displaystyle \Im z>0}$

${\displaystyle f_{z}(x)=e^{izx^{2}/2}}$

L ²にあり、コヒーレント状態と呼ばれます。

これらの関数はSL(2, R ) の単一軌道上にあり、

${\displaystyle f_{i}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$

g がSL(2, R ) に属するため

${\displaystyle \pi ((g^{t})^{-1})f_{z}(x)=\pm m(g,z)^{-1/2}f_{gz}(x).}$

より具体的には、gがMp(2, R ) に属する場合、

${\displaystyle \pi ((g^{t})^{-1})f_{z}(x)=m(g,z)^{-1/2}f_{gz}(x).}$

実際、これがgとhに当てはまるなら、それらの積にも当てはまります。一方、g ^tがg _{i の}形式を持ち、これらがジェネレーターである場合、式は簡単に確認できます。

これは、メタプレクティック群の通常のユニタリ表現を定義します。

元(1,–1)はL2 ( R )上の–1の乗算として作用し、SL(2, R )上のコサイクルは±1の値のみを取ることに^なる。

Lion & Vergne (1980)で説明されているように、メタプレクティック表現に関連付けられたSL(2, R )上の2コサイクルは±1の値を取り、マスロフ指数によって決定されます。

平面上の3つの非ゼロベクトルu、v、wが与えられたとき、それらのマスロフ指数は 、次のように定義される R ³上の2次形式の符号として定義される。${\displaystyle \tau (u,v,w)}$

${\displaystyle Q(a,b,c)=abB(u,v)+bcB(v,w)+caB(w,u).}$

マスロフ指数の特性:

• それはベクトルが張る1次元部分空間に依存する
• SL(2, R )の下で不変である
• 引数が交互に変わる、つまり引数のうち2つが入れ替わると符号が変わる
• 2つの部分空間が一致すると消える
• 値は-1、0、+1です。uとvがB ( u 、 v ) =1かつw = au + bvを満たす場合、 ab =0のときはマスロフ指数は0で、それ以外の場合はabの符号を引いた値になります。
• ${\displaystyle \displaystyle {\tau (v,w,z)-\tau (u,w,z)+\tau (u,v,z)-\tau (u,v,w)=0}}$

非ゼロベクトルu ₀を選ぶと、関数

${\displaystyle \Omega (g,h)=\exp -{\pi i \over 4}\tau (u_{0},gu_{0},ghu_{0})}$

SL(2, R )上の8乗根の値を持つ 2-コサイクルを定義します。

2コサイクルの修正は、メタプレクティックコサイクルに接続された±1の値を持つ2コサイクルを定義するために使用することができます。^[14]

実際、平面上の非ゼロベクトルu、vが与えられたとき、 f ( u、v ) を次のように 定義します。

• uとvが比例しない場合は、 i をB ( u , v )の符号倍する
• u = λ vの場合の λ の符号。

もし

${\displaystyle b(g)=f(u_{0},gu_{0}),}$

それから

${\displaystyle \Omega (g,h)^{2}=b(gh)b(g)^{-1}b(h)^{-1}.}$

メタプレクティック表現における 代表π( g )は、

${\displaystyle \pi (gh)=\omega (g,h)\pi (g)\pi (h)}$

ここで2-コサイクルωは次のように与えられる。

${\displaystyle \omega (g,h)=\Omega (g,h)\beta (gh)^{-1}\beta (g)\beta (h),}$

と

${\displaystyle \beta (g)^{2}=b(g).}$

正則フォック空間（シーガル・バーグマン空間とも呼ばれる）は、 C上の正則関数f（z ）のベクトル空間として定義され、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }|f(z)|^{2}e^{-|z|^{2}}\,dxdy}$

有限。内積を持つ

${\displaystyle (f_{1},f_{2})={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }f_{1}(z){\overline {f_{2}(z)}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy.}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は正規直交基底を持つ ヒルベルト空間である

${\displaystyle e_{n}(z)={z^{n} \over {\sqrt {n!}}},\quad n\geq 0.}$

さらに、Cにおける正則関数のべき級数展開は、この基底に関する展開を与える。^{[15]したがって、} Cにおけるzに対して${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle |f(z)|=\left|\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}\right|\leq \|f\|e^{|z|^{2}/2},}$

となるので、 zにおける評価は、実際に は${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

${\displaystyle f(a)=(f,E_{a})}$

ここで^[16]

${\displaystyle E_{a}(z)=\sum _{n\geq 0}{(E_{a},e_{n})z^{n} \over {\sqrt {n!}}}=\sum _{n\geq 0}{z^{n}{\overline {a}}^{n} \over n!}=e^{z{\overline {a}}}.}$

したがって、特に再生核ヒルベルト空間となります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

C のfとzについて定義 する${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(z)f(w)=e^{-|z|^{2}/2}e^{w{\overline {z}}}f(w-z).}$

それから

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(z_{1})W_{\mathcal {F}}(z_{2})=e^{-i\Im z_{1}{\overline {z_{2}}}}W_{\mathcal {F}}(z_{1}+z_{2}),}$

これはワイル交換関係のユニタリ表現を与える。^[17]さて、

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(a)E_{0}=e^{-|a|^{2}/2}E_{a}.}$

したがって、表現は還元不可能であることがわかります。 ${\displaystyle W_{\mathcal {F}}}$

実際、すべてのE _aに直交する関数は必ず消えるので、それらの線形スパンは で稠密になります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

PがW ( z )と可換な直交射影である場合、 f = PE ₀とする。すると

${\displaystyle f(z)=(PE_{0},E_{z})=e^{|z|^{2}}(PE_{0},W_{\mathcal {F}}(z)E_{0})=(PE_{-z},E_{0})={\overline {f(-z)}}.}$

この条件を満たす唯一の正則関数は定数関数である。したがって

${\displaystyle PE_{0}=\lambda E_{0},}$

λ = 0 または 1 です。E 0 は巡回的であるため、P ₌ 0またはIとなります。

ストーン・フォン・ノイマン定理によれば、 L ² ( R )から へのユニタリ演算子は、スカラー倍を除いて一意であり、ワイル交換関係の2つの表現を絡み合わせている。シューアの補題とゲルファンド・ナイマーク構成 により、任意のベクトルの行列係数は、スカラー倍を除いてベクトルを決定する。F = E 0とf = H ₀の行列係数は_等しいので、ユニタリは、次の特性によって一意に決定される。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(a){\mathcal {U}}={\mathcal {U}}W(a)}$

そして

${\displaystyle {\mathcal {U}}H_{0}=E_{0}.}$

したがって、L ² ( R ) のfについて

${\displaystyle {\mathcal {U}}f(z)=({\mathcal {U}}f,E_{z})=(f,{\mathcal {U}}^{*}E_{z})=e^{-|z|^{2}}(f,{\mathcal {U}}^{*}W_{\mathcal {F}}(z)E_{0})=e^{-|z|^{2}}(W(-z)f,H_{0}),}$

となることによって

${\displaystyle {\mathcal {U}}f(z)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}e^{-2ixy}f(t+x)e^{-t^{2}/2}\,dt={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }B(z,t)f(t)\,dt,}$

どこ

${\displaystyle B(z,t)=\exp[-z^{2}-t^{2}/2+zt].}$

この演算子はセガル・バーグマン変換^[18]と呼ばれ、Bはバーグマン核^[19]と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

の随伴関数は次の式で与えられます。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{*}F(t)={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }B({\overline {z}},t)F(z)\,dxdy.}$

SU(1,1)の正則フォック空間への作用はBargmann (1970)とItzykson (1967)によって記述された。

SU(1,1)のメタプレクティック二重被覆は、( g ,γ)の ペアとして明示的に構成することができ、

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle \gamma ^{2}=\alpha .}$

g = g ₁ g ₂ならば、

${\displaystyle \gamma =\gamma _{1}\gamma _{2}\left(1+{\beta _{1}{\overline {\beta _{2}}} \over \alpha _{1}\alpha _{2}}\right)^{1/2},}$

(1 + z ) ^1/2のべき級数展開を| z | < 1 に対して使用します。

メタプレクティック表現は、共分散関係を満たすこの群の ユニタリ表現π( g ,γ)である。

${\displaystyle \pi (g,\gamma )W_{\mathcal {F}}(z)\pi (g,\gamma )^{*}=W_{\mathcal {F}}(g\cdot z),}$

どこ

${\displaystyle g\cdot z=\alpha z+\beta {\overline {z}}.}$

は再生核ヒルベルト空間なので、その上の任意の有界作用素Tはその2つの引数のべき級数で与えられる核に対応する。実際、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle K_{T}(a,b)=(TE_{\overline {b}},E_{a}),}$

そしてFが​ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle TF(a)=(TF,E_{a})=(F,T^{*}E_{a})={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z){\overline {(T^{*}E_{a},E_{z})}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }K_{T}(a,{\overline {z}})F(z)e^{-|z|^{2}}\,dxdy.}$

共分散関係とカーネルの解析性は、S = π( g , γ)に対して、

${\displaystyle K_{S}(a,z)=C\cdot \exp \,{1 \over 2\alpha }({\overline {\beta }}z^{2}+2az-\beta a^{2})}$

ある定数Cに対して直接計算すると、

${\displaystyle C=\gamma ^{-1}}$

二重カバーの通常の表現につながる。^[20]

コヒーレント状態は、メタプレクティック群の下でのE ₀の軌道として再び定義できます。

w複素数 の場合、

${\displaystyle F_{w}(z)=e^{wz^{2}/2}.}$

そのとき、| w | < 1のときのみ。特にF ₀ = 1 = E ₀である。さらに、 ${\displaystyle F_{w}\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \pi (g,\gamma )F_{w}=({\overline {\alpha }}+{\overline {\beta }}w)^{-{\frac {1}{2}}}F_{gw}={\frac {1}{\overline {\gamma }}}\left(1+{{\overline {\beta }} \over {\overline {\alpha }}}w\right)^{-1/2}F_{gw},}$

どこ

${\displaystyle gw={\alpha w+\beta \over {\overline {\beta }}w+{\overline {\alpha }}}.}$

同様に関数zF _{w は}メタプレクティック群の軌道 内にあり、その軌道を形成します。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \pi (g,\gamma )[zF_{w}](z)=({\overline {\alpha }}+{\overline {\beta }}w)^{-3/2}zF_{gw}(z).}$

( F _w , E ₀ ) = 1なので、関数E ₀ = 1の行列係数は^[21]で与えられる。

${\displaystyle (\pi (g,\gamma )1,1)=\gamma ^{-1}.}$

SL(2, R )のL ² ( R ) 上または上の射影表現は、 xまたはzの偶関数と奇関数に対応する 2 つの既約表現の直和として分解されます。2 つの表現は、単位円上の正則関数のヒルベルト空間上で実現できます。または、ケーリー変換を使用して上半平面上で実現できます。^{[22] [23]}${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

偶関数は正則関数F ₊に対応し、

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\iint |F_{+}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{-1/2}\,dxdy+{2 \over \pi }\iint |F'_{+}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{\frac {1}{2}}\,dxdy}$

は有限であり、奇関数は正則関数Fとなる _。

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\iint |F_{-}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{-1/2}\,dxdy}$

は有限です。これらの式の偏極形式は内積を定義します。

メタプレクティックグループの作用は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{\pm }(g^{-1})F_{\pm }(z)&=\left({\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}\right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm }(gz)\\&=\left(-{\overline {\beta }}z+\alpha \right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm }\left({{\overline {\alpha }}z-\beta \over -{\overline {\beta }}z+\alpha }\right)&&g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

これらの表現の既約性は標準的な方法で確立されています。^[24]各表現は、回転群の1次元固有空間の直和として分解され、各固有空間は、グループ全体のC∞ベクトルによって生成されます。したがって、^任意の閉じた不変部分空間は、それに含まれる固有空間の代数的直和によって生成され、この和はリー代数の無限小作用に対して不変です。一方、その作用は既約ではありません。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

の偶関数と奇関数との同型性は、対応する表現における1とzに関連付けられた行列係数が比例するため、ゲルファント・ナイマーク構成を使用して証明できます。Itzykson (1967)は、写像から出発する別の方法を示しました。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle U_{+}(F)(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z)e^{{\frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

${\displaystyle U_{-}(F)(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z){\overline {z}}e^{{\frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

偶数部と奇数部から単位円板上の関数への写像。これらの写像は、上で与えられたメタプレクティック群の作用を絡み合わせ、z ^{n を}w ⁿの倍数に送る。U _{± がユニタリでなければならないと規定することで、円板上の関数の内積が決まり、それは上記}の形式で表現できる。^[25]

これらの表現では、演算子L _{0は正のスペクトル（SU(1,1)の正則}離散級数表現を区別する特徴）を持ちますが、表現はメタプレクティック群の離散級数には存在しません。実際、Kashiwara & Vergne（1978）は、行列係数は2乗積分可能ではないが、その3乗は積分可能であると指摘しました。^[26]

L ² ( R ) の次の部分空間を考えます。

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{f\in L^{2}(\mathbf {R} )\left|f(x)=p(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},p(x)\in \mathbf {R} [x]\right.\right\}.}$

オペレーター

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=Q-iP={d \over dx}+x\\Y&=Q+iP=-{d \over dx}+x\end{aligned}}}$

Xに作用する作用素は消滅作用素、Yに作用する作用素は生成作用素と呼ばれる。これらは ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=Y^{*}\\XY&=D+I&&D=-{d^{2} \over dx^{2}}+x^{2}\\XY-YX&=2I\\XY^{n}-Y^{n}X&=2nY^{n-1}&&{\text{by induction}}\end{aligned}}}$

機能を定義する

${\displaystyle F_{n}(x)=Y^{n}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

これらは調和振動子Dの固有関数であると主張します。これを証明するために、上記の交換関係を使用します。

${\displaystyle {\begin{aligned}DF_{n}&=DY^{n}F_{0}\\&=(XY-I)Y^{n}F_{0}\\&=\left(XY^{n+1}-Y^{n}\right)F_{0}\\&=\left(\left((2n+2)Y^{n}+Y^{n+1}X\right)-Y^{n}\right)F_{0}\\&=\left((2n+1)Y^{n}+Y^{n+1}X\right)F_{0}\\&=(2n+1)Y^{n}F_{0}+Y^{n+1}XF_{0}\\&=(2n+1)F_{n}&&XF_{0}=0\end{aligned}}}$

次は:

${\displaystyle \|F_{n}\|_{2}^{2}=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}.}$

これはn = 0の場合に知られており、上記の交換関係は次式を与える。

${\displaystyle (F_{n},F_{n})=\left(XY^{n}F_{0},Y^{n-1}F_{0}\right)=2n(F_{n-1},F_{n-1}).}$

n次のエルミート関数は次のように定義される 。

${\displaystyle H_{n}(x)=\|F_{n}\|^{-1}F_{n}(x)=p_{n}(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}.}$

p _{n は}n番目のエルミート多項式と呼ばれます。

させて

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={1 \over {\sqrt {2}}}Y={1 \over {\sqrt {2}}}\left(-{d \over dx}+x\right)\\A^{*}&={1 \over {\sqrt {2}}}X={1 \over {\sqrt {2}}}\left({d \over dx}+x\right)\end{aligned}}}$

したがって

${\displaystyle AA^{*}-A^{*}A=I.}$

演算子P、Qまたは同等のA、A *は標準的な議論によって不可分に作用する。 ^{[27] [28]}${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

実際、ユニタリ同型の下では、正則フォック空間はzの多項式空間C [ z ]と同一視でき、 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle A={\frac {\partial }{\partial z}},\qquad A^{*}=z.}$

AおよびA*による部分空間不変量が非ゼロ多項式p ( z ) を含む場合、A * の累乗を適用すると、非ゼロ定数が含まれ、Aの累乗を適用すると、すべてのz ^{n が}含まれます。

同型性のもとで、F _{n は}z ⁿの倍数に送られ、演算子D は次のように与えられる。

${\displaystyle D=2A^{*}A+I.}$

させて

${\displaystyle L_{0}={1 \over 2}(A^{*}A+{1 \over 2})={1 \over 2}(z{\partial \over \partial z}+{1 \over 2})}$

となることによって

${\displaystyle L_{0}z^{n}={1 \over 2}(n+{1 \over 2})z^{n}.}$

物理学の用語では、 A、A * は単一のボソンを与え、L ₀はエネルギー演算子です。これは、それぞれ重複度 1 の固有値 1/2、1、3/2、... で対角化可能です。このような表現は、正のエネルギー表現と呼ばれます。

さらに、

${\displaystyle [L_{0},A]=-{1 \over 2}A,[L_{0},A^{*}]={1 \over 2}A^{*},}$

したがって、L _{0を伴うリー括弧は、} A、A * 、およびIによって張られるリー代数の微分を定義します。L _{0 を追加すると、}半直積が得られます。 ストーン–フォンノイマンの定理の無限小バージョンは、C [ z ] 上の上記の表現が、 L ₀ = A * A + 1/2を伴うこのリー代数の唯一の既約な正のエネルギー表現であることを述べています。A はエネルギーを低下させ、A * はエネルギーを増加させます。したがって、任意の最低エネルギーベクトルv はAによって消滅し、モジュールはvに適用されたA * の累乗によって使い果たされます。したがって、これはC [ z ]の非ゼロの商であり、したがって既約性によってそれと同一視できます。

させて

${\displaystyle L_{-1}={1 \over 2}A^{2},L_{1}={1 \over 2}A^{*2},}$

となることによって

${\displaystyle [L_{-1},A]=0,\,\,\,[L_{-1},A^{*}]=A,\,\,\,[L_{1},A]=-A^{*},\,\,\,[L_{1},A^{*}]=0.}$

これらの演算子は以下を満たします。

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}}$

そして、 A、A * 、Iによって張られるリー代数上の微分によって作用する。

これらはSU(1,1)のメタプレクティック表現に対応する無限小演算子である。

関数F _{n は}次のように定義される 。

${\displaystyle F_{n}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)^{n}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x^{2}}\right)=\left(2^{n}x^{n}+\cdots \right)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}.}$

したがって、エルミート関数は、グラム・シュミット正規直交化プロセスをの基底x ⁿ exp - x ² /2に適用することによって得られる正規直交基底になります。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

エルミート関数の完全性は、バーグマン変換がユニタリであり、正則フォック空間の正規直交基底e _n ( z ) をH _n ( x ) 上に移すという事実から導かれます。

調和振動子の熱作用素はL ² ( R )上の対角作用素として定義される。

${\displaystyle e^{-Dt}H_{n}=e^{-(2n+1)t}H_{n}.}$

これはメーラーの公式で与えられる熱核に対応する。

${\displaystyle K_{t}(x,y)\equiv \sum _{n\geq 0}e^{-(2n+1)t}H_{n}(x)H_{n}(y)=(4\pi t)^{-{1 \over 2}}\left({2t \over \sinh 2t}\right)^{1 \over 2}\exp \left(-{1 \over 4t}\left[{2t \over \tanh 2t}(x^{2}+y^{2})-{2t \over \sinh 2t}(2xy)\right]\right).}$

これは次の式から導かれる。

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}s^{n}H_{n}(x)H_{n}(y)={1 \over {\sqrt {\pi (1-s^{2})}}}\exp {4xys-(1+s^{2})(x^{2}+y^{2}) \over 2(1-s^{2})}.}$

この式を証明するには、 s = σ ^2のときテイラーの公式により

${\displaystyle F_{\sigma ,x}(z)\equiv \sum _{n\geq 0}\sigma ^{n}e_{n}(z)H_{n}(x)=\pi ^{-{1 \over 4}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\sum _{n\geq 0}{(-z)^{n}\sigma ^{n} \over 2^{n}n!}{d^{n}e^{x^{2}} \over dx^{n}}=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left(-{x^{2} \over 2}+{\sqrt {2}}xz\sigma -{z^{2}\sigma ^{2} \over 2}\right).}$

したがって、F _{σ, xは}正則フォック空間にあり、

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}s^{n}H_{n}(x)H_{n}(y)=(F_{\sigma ,x},F_{\sigma ,y})_{\mathcal {F}},}$

直接計算できる内積。

ウィーナー（1933、pp. 51-67）はメーラーの公式を直接確立し、古典的な議論を用いて次のことを証明した。

${\displaystyle \int K_{t}(x,y)f(y)\,dy}$

tが0に近づくにつれて、 L ² ( R )のfに近づく。これはエルミート関数の完全性を示しており、また、

${\displaystyle {\widehat {H_{n}}}=(-i)^{n}H_{n},}$

フーリエ変換の特性を導くために使用できます。

エルミート関数の完全性を証明するための他の基本的な方法、例えばフーリエ級数を使用する方法がある。^[29]

ソボレフ空間 H_は、エルミート・ソボレフ空間とも呼ばれ、ノルムに関するの 完備化として定義される。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \|f\|_{(s)}^{2}=\sum _{n\geq 0}|a_{n}|^{2}(1+2n)^{s},}$

どこ

${\displaystyle f=\sum a_{n}H_{n}}$

はエルミート関数におけるfの展開である。^[30]

したがって

${\displaystyle \|f\|_{(s)}^{2}=(D^{s}f,f),\qquad (f_{1},f_{2})_{(s)}=(D^{s}f_{1},f_{2}).}$

ソボレフ空間はヒルベルト空間である。さらに、H _sとH _{– s は}、ペアリングの下で​​双対性を持つ。

${\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle =\int f_{1}f_{2}\,dx.}$

s ≥ 0の場合、

${\displaystyle \|(aP+bQ)f\|_{(s)}\leq (|a|+|b|)C_{s}\|f\|_{\left(s+{1 \over 2}\right)}}$

ある正の定数C _sに対して。

実際、このような不等式はエルミート関数Hn_に作用する生成消滅演算子に対して確認することができ、これは一般的な不等式を意味します。^[31]

任意のsに対して双対性により従います。

その結果、 PとQの2次多項式Rに対して

${\displaystyle \|Rf\|_{(s)}\leq C'_{s}\|f\|_{(s+1)}.}$

ソボレフの不等式は、 s > 1/2のH _s内のfに対して成立します。

${\displaystyle |f(x)|\leq C_{s,k}\|f\|_{(s+k)}(1+x^{2})^{-k}}$

任意のk≥0に対して。

実際、一般的なkの結果は、k = 0をQ ^k fに適用した場合から得られます。

k = 0の場合、フーリエ反転公式

${\displaystyle f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(t)e^{itx}\,dt}$

暗示する

${\displaystyle |f(x)|\leq C\left(\int \left|{\widehat {f}}(t)\right|^{2}(1+t^{2})^{s}\,dt\right)^{1 \over 2}=C\left(\left(I+Q^{2}\right)^{s}{\widehat {f}},{\widehat {f}}\right)^{1 \over 2}\leq C'\left\|{\widehat {f}}\right\|_{(s)}=C'\|f\|_{(s)}.}$

s < tの場合、 Dの対角形式は、 H _tがH _sに含まれることがコンパクトであることを示します (レリッヒの補題)。

ソボレフの不等式から、空間H _sの交差はであることがわかります。 の関数は、エルミート係数a _nが急速に減少する特徴があります。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

標準的な議論によれば、各ソボレフ空間は演算子W ( z )とメタプレクティック群の下で不変である。^{[32]実際、} gが恒等式に十分近いときに不変性を確認すれば十分である。その場合、

${\displaystyle gDg^{-1}=D+A}$

D + Aはからへの同型である${\displaystyle H_{t+2}}$${\displaystyle H_{t}.}$

すると、

${\displaystyle \|\pi (g)f\|_{(s)}^{2}=\left|((D+A)^{s}f,f)\right|\leq \left\|(D+A)^{s}f\right\|_{(-s)}\cdot \|f\|_{(s)}\leq C\|f\|_{(s)}^{2}.}$

もしそうなら ${\displaystyle f\in H_{s},}$

${\displaystyle {d \over ds}U(s)f=iPU(s)f,\qquad {d \over dt}V(t)f=iQV(t)f,}$

デリバティブはどこにあるのか${\displaystyle H_{s-1/2}.}$

同様に、 U ( s ) V ( t ) fの全次数kの偏微分は、s - k /2の位数のソボレフ空間に存在します。

その結果、 fに適用されたPとQの2k次の単項式はH _{s – k}にあり、0で評価されたU(s)V(t)fの次数≤2kの偏微分の線形結合として表すことができます。

ワイル交換関係の滑らかなベクトルは、L ² ( R )内のuで、写像

${\displaystyle \Phi (z)=W(z)u}$

は滑らかです。一様有界性定理により、これは各行列係数(W(z)u,v)が滑らかであるという要件と同等です。

ベクトルが滑らかであるためには、それが に含まれる必要がある。^{[33]十分性は明らかである。必然的に、滑らかであるということは、} W(z)uの偏微分がL ² ( R )に含まれることを意味し、したがって、すべての正のkに対してD ^k uも含まれる。したがって、u はH _kの交点に含まれるので、 に含まれる 。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

したがって、滑らかなベクトルはメタプレクティック グループに対しても滑らかになります。

さらに、ベクトルがSU(1,1) の回転部分群の滑らかなベクトルである場合に限り、ベクトルは SU(1,1) に含まれます。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Π( t )が1パラメータユニタリ群であり、fが${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \Pi (f)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\Pi (t)\,dt,}$

すると、ベクトルΠ( f )ξはΠの滑らかなベクトルの稠密な集合を形成します。

実際に

${\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-x^{2}/2\varepsilon }}$

ベクトルv = Π( f _ε )ξはεが0に近づくにつれてξに収束し、

${\displaystyle \Phi (t)=\Pi (t)v}$

は、 C上の完全な関数に拡張されるtの解析関数です。

このベクトルはΠの完全ベクトルと呼ばれます。

調和振動子に関連する波動演算子は次のように定義される。

${\displaystyle \Pi (t)=e^{it{\sqrt {D}}}.}$

この演算子はエルミート関数H _nを固有関数とする対角演算子です。

${\displaystyle \Pi (t)H_{n}=e^{i(2n+1)^{1 \over 2}t}H_{n}.}$

Dと可換なので、ソボレフ空間を保存します。

上で構築された解析ベクトルは、エルミート半群を用いて次のように書き直すことができる。

${\displaystyle v=e^{-\varepsilon D}\xi .}$

vがΠの整ベクトルである という事実は、総和可能性条件と同等である。

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{r^{n}\|D^{n \over 2}v\| \over n!}<\infty }$

すべてのr > 0に対して。

そのようなベクトルはU(s)V(t)の完全なベクトルでもあり、つまり写像である 。

${\displaystyle F(s,t)=U(s)V(t)v}$

R ²上で定義された写像はC ²上の解析写像に拡張されます。

これはべき級数の推定値に還元される。

${\displaystyle \left\|\sum _{m,n\geq 0}{1 \over m!n!}z^{m}w^{n}P^{m}Q^{n}v\right\|\leq C\sum _{k\geq 0}{(|z|+|w|)^{k} \over k!}\|D^{k \over 2}v\|<\infty .}$

したがって、これらはU(s)V(t)の完全なベクトルの密な集合を形成します。これはメーラーの公式を使用して直接確認することもできます。

U(s)V(t)の滑らかなベクトルと整ベクトルの空間は、定義により、メタプレクティック群とエルミート半群の作用に対して不変です。

させて

${\displaystyle W(z,w)=e^{-izw/2}U(z)V(w)}$

をR ^2からC ²への演算子W ( x , y )の解析接続とし、

${\displaystyle e^{-izw/2}F(z,w)=W(z,w)v.}$

するとWはベクトル全体の空間を不変にし、

${\displaystyle W(z_{1},w_{1})W(z_{2},w_{2})=e^{i(z_{1}w_{2}-w_{1}z_{2})}W(z_{1}+z_{2},w_{1}+w_{2}).}$

さらに、SL(2, R ) のgに対して

${\displaystyle \pi (g)W(u)\pi (g)^{*}=W(gu),}$

SL(2, R )のC ²への自然な作用を使用する。

正式には

${\displaystyle W(z,w)^{*}=W(-{\overline {z}},-{\overline {w}}).}$

オルシャンスキー半群Hの自然な二重被覆と、メタプレクティック群に対応する SU(1,1) の二重被覆を拡張するその閉包が存在する。これは、ペア ( g , γ) で与えられ、gはHの元またはその閉包 である。${\displaystyle {\overline {H}}}$

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

γ はaの平方根です。

このような選択は、

${\displaystyle \left(-{\overline {b}}z+{\overline {d}}\right)^{1 \over 2}}$

| z | < 1 の場合。

SL(2, R ) におけるgのユニタリ作用素π( g )は、

${\displaystyle \pi (g)W(u)=W(g\cdot u)\pi (g),\,\,\,\pi (g)^{*}W(u)=W(g^{-1}\cdot u)\pi (g)^{*}}$

C ²のuについて。

複素化SL(2, C )の元gは、有界演算子Tが存在し、それとその随伴演算子がWに対してベクトル全体の空間を不変に残し、両方とも稠密な像を持ち、共分散関係を満たす場合、 実装可能であると言われる。

${\displaystyle TW(u)=W(g\cdot u)T,\,\,\,T^{*}W(u)=W(g^{\dagger }\cdot u)T^{*}}$

C ²のuの場合。実装演算子T は、非ゼロのスカラーによる乗算まで一意に決定されます。

実装可能な要素はSL(2, R )を含む半群を形成する。表現は正のエネルギーを持つため、有界コンパクト自己随伴演算子

${\displaystyle S_{0}(t)=e^{-tL_{0}}}$

t > 0の場合、 exp C ₁のグループ要素を実装します。

オルシャンスキー半群とその閉包のすべての要素が実装されることになります。

オルシャンキ半群の最大性は、SL(2, C ) の他の要素が実装されていないことを意味します。実際、そうでなければ、SL(2, C ) のすべての要素が有界演算子によって実装され、 t > 0に対する演算子S ₀ ( t )の非可逆性と矛盾します。

シュレーディンガー表現では、 t > 0 の演算子S ₀ ( t )はメーラーの公式によって与えられます。これらは、あらゆるシャッテン類において正であり、である収縮演算子です。さらに、これらは各ソボレフ空間を不変のままにします。解析接続により、 同じ式が にも当てはまります。${\displaystyle \Re \,t>0}$

フォック模型では、実装演算子は、上で構築されたHの二重被覆の通常の表現を定義するように選択できることが直接わかります。縮約演算子の対応する半群は、振動子半群と呼ばれます。拡張振動子半群は、演算子W ( u )との半直積をとることによって得られます。これらの演算子はすべてのシャッテン類に存在し、ソボレフ空間とWの全体ベクトルの空間を不変にします。

分解

${\displaystyle {\overline {H}}=G\cdot \exp {\overline {C}}}$

演算子レベルでは、有界演算子の極分解に対応します。

さらに、 Hの任意の行列はHまたはH ⁻¹の要素による対角行列と共役であるため、振動子半群のすべての演算子はを持つ演算子S ₀ ( t )と準相似です。特に、単純な固有値からなる同じスペクトルを持ちます。 ${\displaystyle \Re t>0}$

フォック模型では、オルシャンキ半群Hの元gが行列

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

対応する演算子は次のように与えられる。

${\displaystyle \pi (g,\gamma )f(w)={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }K(w,{\overline {z}})f(z)e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

どこ

${\displaystyle K(w,z)=\gamma ^{-1}\cdot \exp \,{1 \over 2a}(cz^{2}+2wz-bw^{2})}$

γ はaの平方根である。半群Hにおけるgの作用素 π( g ,γ)は、ヒルベルト・シュミット作用素であり、次の形式の核に対応する。

${\displaystyle K(w,z)=C\cdot \exp \,{1 \over 2}(pz^{2}+2qwz+rw^{2})}$

複素対称行列

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&r\end{pmatrix}}}$

演算子ノルムは厳密に 1 未満 です。

拡張振動子半群の演算子は、指数関数に現れる zとwの追加の線形項を持つ同様の式で与えられます。

メタプレクティック表現の2つの既約成分のディスクモデルでは、対応する演算子は次のように与えられる。

${\displaystyle \pi _{\pm }(g)F_{\pm }(z)=(-{\overline {b}}z+{\overline {d}})^{-1\pm 1/2}F_{\pm }\left({{\overline {a}}z-{\overline {c}} \over -{\overline {b}}z+{\overline {d}}}\right).}$

シュレーディンガー表現におけるHのgに対応する収縮演算子の明示的な式を与えることも可能である。この式によってハウ(1988)はL2 ( R )上の演算子の明示的な族として振動子^半群を導入した。^[34]

実際、正定値の実部を持つ対称複素 2x2 行列からなる シーゲル上半平面を考えてみましょう。

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}A&B\\B&D\end{pmatrix}}}$

カーネルを定義する

${\displaystyle K_{Z}(x,y)=e^{-(Ax^{2}+2Bxy+Dy^{2})}.}$

対応する演算子

${\displaystyle T_{Z}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }K_{Z}(x,y)f(y)\,dy}$

f がL ² ( R ) の場合。

すると直接計算で

${\displaystyle T_{Z_{1}}T_{Z_{2}}=(D_{1}+A_{2})^{-1/2}T_{Z_{3}}}$

どこ

${\displaystyle Z_{3}={\begin{pmatrix}A_{1}-B_{1}^{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}&-B_{1}B_{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}\\-B_{1}B_{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}&D_{2}-B_{2}^{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}\end{pmatrix}}.}$

さらに、

${\displaystyle T_{Z}^{*}=T_{Z^{+}}}$

どこ

${\displaystyle Z^{+}={\begin{pmatrix}{\overline {D}}&{\overline {B}}\\{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}.}$

メーラーの公式によれば${\displaystyle \Re \,t>0}$

${\displaystyle e^{-t(P^{2}+Q^{2})}=(\mathrm {cosech} \,2t)^{1 \over 2}\cdot T_{Z(t)}}$

と

${\displaystyle Z(t)={\begin{pmatrix}\coth 2t&-\mathrm {cosech} \,2t\\-\mathrm {cosech} \,2t&\coth 2t\end{pmatrix}}.}$

振動子半群は、B ≠ 0 の行列のみを取ることによって得られます。以上から、この条件は合成に関して閉じています。

正規化された演算子は次のように定義できる。

${\displaystyle S_{Z}=B^{1 \over 2}\cdot T_{Z}.}$

平方根の選択により二重カバーが決定されます。

この場合、S _Zは要素に対応する。

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}-DB^{-1}&DAB^{-1}-B\\B^{-1}&-AB^{-1}\end{pmatrix}}}$

オルシャンキイ半群Hの。

さらに、S _{Z は}厳密な短縮形です。

${\displaystyle \|S_{Z}\|<1.}$

また、

${\displaystyle S_{Z_{1}}S_{Z_{2}}=\pm S_{Z_{3}}.}$

R ² = C上の関数a ( x , y )について、

${\displaystyle \psi (a)={1 \over 2\pi }\int {\widehat {a}}(x,y)W(x,y)\,dxdy.}$

それで

${\displaystyle \psi (a)f(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}$

どこ

${\displaystyle K(x,y)=\int a(t,{x+y \over 2})e^{i(x-y)t}\,dt.}$

一般的な定義

${\displaystyle W(F)={1 \over 2\pi }\int F(z)W(z)\,dxdy,}$

このような2つの演算子の積は、次の式で与えられる。

${\displaystyle W(F)W(G)=W(F\star G),}$

ここで、ねじれ畳み込みまたはモヤル積は次のように表される。

${\displaystyle F\star G(z)={1 \over 2\pi }\int F(z_{1})G(z_{2}-z_{1})e^{i(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}\,dx_{1}dy_{1}.}$

平滑化演算子は、R ^2上のFまたはaシュワルツ関数を持つW ( F ) または ψ( a )に対応します。対応する演算子T は、シュワルツ関数である核を持ちます。それらは、各ソボレフ空間をシュワルツ関数に持ち込みます。さらに、この特性を持つL ² ( R ) 上のすべての有界演算子はこの形式を持ちます。

演算子 ψ( a ) に対して、モヤル積はワイル記号計算に変換されます。実際、 aとbのフーリエ変換がコンパクトな台を持つ場合、

${\displaystyle \psi (a)\psi (b)=\psi (a\circ b),}$

どこ

${\displaystyle a\circ b=\sum _{n\geq 0}{i^{n} \over n!}\left({\partial ^{2} \over \partial x_{1}\partial y_{2}}-{\partial ^{2} \over \partial y_{1}\partial x_{2}}\right)^{n}a\otimes b|_{\mathrm {diagonal} }.}$

この場合、b はPaley-Wiener の定理によってC ²上の完全な関数に拡張される必要があるため、このようになります。

この計算は幅広い記号のクラスに拡張できますが、最も単純なものは、すべてT + S の形式を持つ関数または分布のクラスによる畳み込みに対応します。ここで、 T は0 に集中した特異台を持つコンパクトな分布であり、Sはシュワルツ関数です。このクラスには、演算子P、Q 、およびD ^1/2とD ^−1/2が含まれます。ここで、Dは調和振動子です。

m次の記号S m^は滑らかな関数 aによって与えられ、

${\displaystyle |\partial ^{\alpha }a(z)|\leq C_{\alpha }(1+|z|)^{m-|\alpha |}}$

すべての α および Ψ ^mに対して、そのようなaに対するすべての演算子 ψ( a )で構成されます。

aがS ^mに属し 、χが0付近で1に等しいコンパクトな台を持つ滑らかな関数である 場合、

${\displaystyle {\widehat {a}}=\chi {\widehat {a}}+(1-\chi ){\widehat {a}}=T+S,}$

TとSは上記と同じです。

これらの演算子はシュワルツ関数を保存し、次を満たします。

${\displaystyle \Psi ^{m}\cdot \Psi ^{m}\subseteq \Psi ^{m+n},\,\,\,\,[\Psi ^{m},\Psi ^{n}]\subseteq \Psi ^{m+n-2}.}$

演算子PとQ はΨ ¹にあり、D はΨ ²にあります。

プロパティ:

• ゼロ次記号はL2(R)上の有界演算子^を定義します。
• D ^{−1 は}Ψ ^{−2にある}
• R = R * が平滑化されている場合、D + Rには、 ( D + R ) f _n = λ _n f _{n を}満たす完全な固有ベクトルの集合f _nがあり、λ _{n は}≈に近づき、 nは≈ に近づきます。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• D ^{1/2 はΨ 1}にあり、したがってD ^{−1/2 は}Ψ ⁻¹にあります。なぜならD ^−1/2 = D ^1/2 · D ^{−1だからです。}
• Ψ ^{−1 は}コンパクト演算子から構成され、 Ψ ^{− s は}s > 1のトレースクラス演算子から構成され、 Ψ ^{k は}H _{m を}H _{m – k}に持ち込みます。
• ${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\psi (a)=\int a}$

ハウ（1980）の有界性の証明は特に単純である。

${\displaystyle T_{a,b}v=(v,b)a,}$

それから

${\displaystyle T_{W(z)a,b}=e^{|z|^{2}/2}[W(z)T_{a,E_{0}}W(z)^{-1}T_{E_{0},b}],}$

ここで括弧内の演算子のノルムは より小さい。したがって、Fが | z | ≤ Rでサポートされている場合、 ${\displaystyle \|a\|\cdot \|b\|}$

${\displaystyle \|W(F)\|\leq e^{R^{2}/2}\|{\widehat {F}}\|_{\infty }.}$

D ⁻¹の性質は、

${\displaystyle S=\psi (a)}$

と

${\displaystyle a(z)={1 \over |z|^{2}+1}.}$

すると、R = I – DSはΨ ⁻¹に含まれるので、

${\displaystyle A\sim S+SR+SR^{2}+\cdots }$

Ψ ⁻²にあり、T = DA – Iは平滑化である。したがって

${\displaystyle D^{-1}=A-D^{-1}T}$

D ⁻¹ Tは平滑化 なので、 Ψ ⁻²にあります。

D ^1/2の特性は、 D – B ⁴が平滑化演算子となるような実数記号を持つΨ ^1/2のB を構築することによって同様に確立されます。正則関数計算を使用すると、D ^1/2 – B ²が平滑化演算子である ことを確認できます。

上記の有界性の結果は、 アルベルト・カルデロンとレミ・ヴァイヤンクールの擬微分作用素に対するより一般的な不等式を確立するためにハウ（1980）によって使用されました。フーリエ積分作用素にもっと一般的に適用される別の証明はハウ（1988）によって与えられました。彼は、そのような作用素が振動子半群上の積分として表現され、コトラー・スタイン補題を使用して推定できることを示しました。^[35]

ヴェイユ（1964）は、ストーン・フォン・ノイマンの定理とシンプレクティック群の振動子表現の形式論は、実数Rから任意の局所コンパクトアーベル群に拡張されると指摘した。特に単純な例は有限アーベル群であり、その証明はRの証明の基本的または簡略化のいずれかである。^{[36] [37]}

A を加法的に記述された有限アーベル群とし、Q をA上の非退化二次形式でTに値を持つものとする。したがって

${\displaystyle (a,b)=Q(a)Q(b)Q(a+b)^{-1}}$

はA上の非退化な対称双線型形式なので、 Aとその双対群 A * = Hom ( A , T )との同一視が可能である。

をA上の複素数値関数の空間とし、その内積を ${\displaystyle V=\ell ^{2}(A)}$

${\displaystyle (f,g)=\sum _{x\in A}f(x){\overline {g(x)}}.}$

V上の演算子を次のように 定義する。

${\displaystyle U(x)f(t)=f(t-x),\,\,\,V(y)f(t)=(y,t)f(t)}$

Aのx、yに対して、U ( x ) とV ( y ) は、交換関係を満たす V上のAのユニタリ表現である。

${\displaystyle U(x)V(y)=(x,y)V(y)U(x).}$

このアクションは、還元不可能であり、これらの関係の唯一の還元不可能な表現です。

G = A × Aとし、 Gの z = ( x , y )に対して

${\displaystyle W(z)=U(x)V(y).}$

それから

${\displaystyle W(z_{1})W(z_{2})=B(z_{1},z_{2})W(z_{2})W(z_{1}),}$

どこ

${\displaystyle B(z_{1},z_{2})=(x_{1},y_{2})(x_{2},y_{1})^{-1},}$

G上の非退化交代双線型形式。上記の一意性の結果は、W' ( z ) がGの射影 表現を与える別のユニタリー族で、

${\displaystyle W'(z_{1})W'(z_{2})=B(z_{1},z_{2})W'(z_{2})W'(z_{1}),}$

すると、位相を除いて一意な ユニタリUが存在し、

${\displaystyle W'(z)=\lambda (z)UW(z)U^{*},}$

T内の何らかの λ( z )に対して。

特に、g がB を保存するGの自己同型である場合、本質的に唯一のユニタリ π( g ) が存在し、

${\displaystyle W(gz)=\lambda _{g}(z)\pi (g)W(z)\pi (g)^{*}.}$

このような自己同型全体の群はBのシンプレクティック群と呼ばれ、 π はV上のGの射影表現を与えます。

群SL(2. Z )はシンプレクティック自己同型によってG = A x Aに自然に作用する。これは行列によって生成される。

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\qquad R={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}.}$

Z = – Iの場合、Zは中心であり、

${\displaystyle {S^{2}=Z,\,\,\,(SR)^{3}=Z,\,\,\,Z^{2}=I.}}$

Gのこれらの自己同型は、次の演算子によって V上で実装されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (S)f(t)&=|A|^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{x\in A}(-x,t)f(x)&&{\text{the Fourier transform for }}A\\\pi (Z)f(t)&=f(-t)\\\pi (R)f(t)&=Q(t)^{-1}f(t)\\\end{aligned}}}$

すると、

${\displaystyle (\pi (S)\pi (R))^{3}=\mu \pi (Z),}$

ここでμはTにある。直接計算すると、μはガウス和で与えられることがわかる。

${\displaystyle \mu =|A|^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{x\in A}Q(x).}$

メタプレクティックグループは、

${\displaystyle \operatorname {Mp} (2,\mathbf {R} )=\left\{\left(\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},G\right)\right|G(\tau )^{2}=c\tau +d,\tau \in \mathbf {H} \right\},}$

一貫性のある状態

${\displaystyle f_{\tau }(x)=e^{{\frac {1}{2}}i\tau x^{2}}}$

を満たすHからL ² ( R ) への正則写像を定義する。

${\displaystyle \pi ((g^{t})^{-1})f_{\tau }=(c\tau +d)^{-{\frac {1}{2}}}f_{g\tau }.}$

これは実際には各ソボレフ空間H _kへの正則写像であり、したがって でもあります。 ${\displaystyle H_{\approx }={\mathcal {S}}}$

一方、（実際はH _{–1 ）にはSL(2,} Z )で不変で、 A = Z / N ZのN次元振動子表現と同型な有限次元の超関数空間が存在する。 ${\displaystyle H_{-\approx }={\mathcal {S}}'}$${\displaystyle \ell ^{2}(A)}$

実際には、m > 0 とし、N = 2 mとします。

${\displaystyle M={\sqrt {2\pi m}}\cdot \mathbf {Z} .}$

Mに属するxとyを持つ演算子U ( x )、V ( y )はすべて可換であり、超関数によって形成される固定ベクトルの有限次元部分空間を持つ。

${\displaystyle \Psi _{b}=\sum _{x\in M}\delta _{x+b}}$

bはM ₁であり、

${\displaystyle M_{1}={1 \over 2m}M\supset M.}$

Ψ _{b を}定義する和はM ₁ / Mで収束し、 bの類にのみ依存する。一方、M ₁の' x , yを持つ演算子U ( x ) とV ( y ) は、 Mのすべての対応する演算子と可換である。したがって、M _{1 は}Ψ _b不変量によって張られる部分空間V _{0 を}残す。したがって、群A = M _1はV ₀に作用する。この作用は、 Aに関連付けられたN次元振動子表現のVへの作用と直ちに同一視できる。 ${\displaystyle H_{-1}\subset {\mathcal {S}}'}$

${\displaystyle U(b)\Psi _{b'}=\Psi _{b+b'},\qquad V(b)\Psi _{b'}=e^{-imbb'}\Psi _{b'}.}$

演算子 π( R ) と π( S ) は、 MとM ₁に対応する2 つの演算子UとVの集合を正規化するため、V _{0 は}不変となり、V _0上ではAの振動子表現に関連付けられた演算子の定数倍になる。実際、それらは一致する。Rから、これは定義から直接得られ、定義は次のようになる。

${\displaystyle R(\Psi _{b})=e^{\pi imb^{2}}\Psi _{b}.}$

Sについては、ポアソン和公式と演算子U ) x )およびV ( y )との交換特性から従う。ポアソン和は次のように古典的に証明される。^[38]

a > 0かつlet のfの場合${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle F(t)=\sum _{x\in M}f(x+t).}$

Fは周期aのR上の滑らかな関数である:

${\displaystyle F(t+a)=F(t).}$

フーリエ級数の理論によれば、

${\displaystyle F(0)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }c_{n}}$

和は絶対収束し、フーリエ係数は次のように与えられる。

${\displaystyle c_{n}=a^{-1}\int _{0}^{a}F(t)e^{-{\frac {2\pi int}{a}}}\,dt=a^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-{\frac {2\pi int}{a}}}\,dt={{\sqrt {2\pi }} \over a}{\widehat {f}}\left({\tfrac {2\pi n}{a}}\right).}$

したがって

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbf {Z} }f(na)={\frac {\sqrt {2\pi }}{a}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\widehat {f}}\left({\tfrac {2\pi n}{a}}\right),}$

通常のポアソン和公式。

この式はSが次のように作用すること を示している。

${\displaystyle S(\Psi _{b})=(2m)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{b'\in M_{1}/M}e^{-imbb'}\Psi _{b'},}$

そして、A上の振動子表現の式と正確に一致する。

AをZ /2 m Zと同一視すると、

${\displaystyle b(n)={\frac {{\sqrt {2\pi }}n}{2m}}}$

2mを法とする整数nにシータ関数を割り当てると、シータ関数は行列係数として直接定義できる。^[39]

${\displaystyle \Theta _{m,n}(\tau ,z)=(W(z)f_{\tau },\Psi _{b(n)}).}$

HのτとCのzについては

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau },\qquad u=e^{\pi iz}}$

したがって、| q | < 1 となる。シータ関数は、ヤコビ-リーマンシータ関数の標準的な古典的な公式と一致する。

${\displaystyle \Theta _{n,m}(\tau ,z)=\sum _{k\in {\frac {n}{2m}}+\mathbf {Z} }q^{mk^{2}}u^{2mk}.}$

定義により、それらはH × C上の正則関数を定義します。関数f _τと分布 Ψ _bの共分散特性から、次の変換法則が直ちに導かれます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{n,m}(\tau ,z+a)&=\Theta _{n,m}(\tau ,z)&&a\in \mathbf {Z} \\\Theta _{n,m}(\tau ,z+b\tau )&=q^{-b^{2}}u^{-b}\Theta _{n,m}(\tau ,z)&&b\in \mathbf {Z} \\\Theta _{n,m}(\tau +1,z)&=e^{\frac {\pi in^{2}}{m}}\Theta _{n,m}(\tau ,z)\\\Theta _{n,m}(-{\tfrac {1}{\tau }},{\tfrac {z}{\tau }})&=\tau ^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {i\pi }{8}}}(2m)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n'\in \mathbf {Z} /2m\mathbf {Z} }e^{-{\frac {\pi inn'}{m}}}\Theta _{n',m}(\tau ,z)\end{aligned}}}$

L ² ( R ) 上の演算子 π( S )、 π ( R )、 π( J ) は、 mの任意の選択に対してV ₀上の対応する演算子に制限されるため、コサイクルの符号はm = 1とすることで決定できます。この場合、表現は 2 次元であり、関係

${\displaystyle {(\pi (S)\pi (R))^{3}=\pi (J)}}$

L ² ( R )上の値はV ₀上で直接確認できます。

しかし、この場合

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{\frac {i\pi }{4}}+e^{-{\frac {i\pi }{4}}}\right)=1.}$

この関係は、両辺を基底状態 exp - x ² /2 に適用することで直接確認することもできます。

したがって、m ≥ 1の場合、ガウス和は次のように評価できる。^[40]

${\displaystyle \sum _{x\in \mathbf {Z} /2m\mathbf {Z} }e^{\pi ix^{2}/2m}={\sqrt {m}}(1+i).}$

mが奇数の場合、定義する

${\displaystyle {G(c,m)=\sum _{x\in \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} }e^{2\pi icx^{2}/m}.}}$

mが奇数の場合、前の合計を2つに分けると、mが 1 mod 4 に合同な場合はG (1, m )はm ^{1/2に等しく、そうでない場合は}i m ^1/2に等しくなります。pが奇数の素数でcがpで割り切れない場合は、次 のようになります。

${\displaystyle {G(c,p)=\left({c \over p}\right)G(1,p)}}$

ここで、ルジャンドル記号はcがpを法とする平方数であれば1 、そうでなければ-1となる。さらに、pとqが異なる奇数の素数であれば、 ${\displaystyle \left({c \over p}\right)}$

${\displaystyle {G(1,pq)/G(1,p)G(1,q)=\left({p \over q}\right)\left({q \over p}\right)}.}$

G (1, p )の式とこの関係から、二次の相互法則が成り立ちます。

${\displaystyle {\left({p \over q}\right)\left({q \over p}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}.}}$

振動子表現の理論は、群 SL(2, R ) をシンプレクティック群Sp(2n, R ) に置き換えることで、 RからR ⁿに拡張できます。結果は、Folland (1989) のように 1 次元の場合からの直接的な一般化によって、またはn次元の場合はn 個の 1 次元の場合のテンソル積であるという事実を使用して証明できます。これは、分解を反映しています。

${\displaystyle L^{2}({\mathbf {R} }^{n})=L^{2}({\mathbf {R} })^{\otimes n}.}$

をR ⁿ上のシュワルツ関数の空間、 L ² ( R ⁿ )の稠密な部分空間とします。R n内のs、tに対して、およびL ² ( R )^上のU ( s ) とV ( t ) を次のように 定義します。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle U(s)f(x)=f(x-s),\qquad V(t)f(tx)=e^{ix\cdot t}f(x).}$

定義からUとVはワイル交換関係を満たす

${\displaystyle U(s)V(t)=e^{-is\cdot t}V(t)U(s).}$

前述のように、これはシュレーディンガー表現と呼ばれます。

フーリエ変換は次のよう に定義される。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {{\widehat {f}}(t)={1 \over (2\pi )^{n/2}}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}f(x)e^{-ix\cdot t}\,dx.}}$

フーリエ反転公式

${\displaystyle {f(x)={1 \over (2\pi )^{n/2}}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}{\widehat {f}}(t)e^{ix\cdot t}\,dt}}$

フーリエ変換は、L ² ( R ⁿ )のユニタリ写像に拡張された、それ自体への の同型であることを示している (プランシュレルの定理)。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

ストーン・フォン・ノイマンの定理は、シュレーディンガー表現は既約であり、交換関係の唯一の既約表現であると主張しています。他の表現はすべて、この表現のコピーの直和です。

UとVがワイル交換関係を満たす 場合、定義する

${\displaystyle {W(x,y)=e^{ix\cdot y/2}U(x)V(y).}}$

それから

${\displaystyle {W(x_{1},y_{1})W(x_{2},y_{2})=e^{i(x_{1}\cdot y_{2}-y_{1}\cdot x_{2})}W(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),}}$

すると、WはR ^{2 n}の射影ユニタリ表現を定義し、そのコサイクルは次のように与えられる。

${\displaystyle \omega (z_{1},z_{2})=e^{iB(z_{1},z_{2})},}$

ここで、BはR ^{2 n}上のシンプレクティック形式であり 、${\displaystyle z=x+iy=(x,y)}$

${\displaystyle B(z_{1},z_{2})=x_{1}\cdot y_{2}-y_{1}\cdot x_{2}=\Im \,z_{1}\cdot {\overline {z_{2}}}.}$

シンプレクティック群Sp (2 n , R ) は、形式B を保存するR ^{2 n}の自己同型gの群として定義されます。ストーン–フォンノイマンの定理から、そのようなgごとに、共分散関係を満たす L ² ( R ) 上のユニタリ π( g )が存在することがわかります。

${\displaystyle \pi (g)W(z)\pi (g)^{*}=W(g(z)).}$

シュアーの補題により、ユニタリーπ( g )は|ζ| = 1のスカラーζによる乗算を除いて一意であり、πはSp( n )の射影ユニタリー表現を定義する。π( g )の代表は符号を除いて一意であり、Sp(2 n , R )の射影表現の2コサイクルは±1の値を取ることを示す。実際、群Sp( n , R )の要素は、2 n × 2 nの実数行列gで与えられ、

${\displaystyle {gJg^{t}=J,}}$

どこ

${\displaystyle {J={\begin{pmatrix}0&-I\\I&0\end{pmatrix}}.}}$

Sp(2 n , R )は、次の形式の行列によって生成される。

${\displaystyle g_{1}={\begin{pmatrix}A&0\\0&(A^{t})^{-1}\end{pmatrix}},\,\,g_{2}={\begin{pmatrix}I&0\\B&I\end{pmatrix}},\,\,g_{3}={\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}},}$

そしてオペレーター

${\displaystyle {\pi (g_{1})f(x)=\pm \det(A)^{-{\frac {1}{2}}}f(A^{-1}x),\,\,\pi (g_{2})f(x)=\pm e^{-ix^{t}Bx}f(x),\,\,\pi (g_{3})f(x)=\pm e^{in\pi /8}{\widehat {f}}(x)}}$

は上記の共分散関係を満たす。これにより、メタプレクティック群の通常のユニタリ表現、つまりSp(2 n , R )の二重被覆が得られる。実際、Sp( n , R )は、対称複素n × n行列Zからなる一般化ジーゲル上半平面 H _n上でメビウス変換として作用し、その虚部は

${\displaystyle {gZ=(AZ+B)(CZ+D)^{-1}}}$

もし

${\displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}}$

機能

${\displaystyle {m(g,z)=\det(CZ+D)}}$

1-コサイクル関係を満たす

${\displaystyle {m(gh,Z)=m(g,hZ)m(h,Z).}}$

メタプレクティック群Mp(2 n , R )は次のように定義される。

${\displaystyle {Mp(2,\mathbf {R} )=\{(g,G):\,G(Z)^{2}=m(g,Z)\}}}$

はSp(2n,R)の連結二重被覆群である。

ならば、それはコヒーレント状態を定義する。 ${\displaystyle \Im Z>0}$

${\displaystyle {f_{z}(x)=e^{ix^{t}Zx/2}}}$

L ²において、Sp(2 n ) の単一軌道上にあり、

${\displaystyle {f_{iI}(x)=e^{-x\cdot x/2}.}}$

gがMp(2n, R ) に属する場合、

${\displaystyle {\pi ((g^{t})^{-1})f_{Z}(x)=m(g,Z)^{-1/2}f_{gZ}(x)}}$

はメタプレクティック群の通常のユニタリ表現を定義し、これによりSp(2 n , R )上のコサイクルは±1の値のみを取ることが分かる。

正則フォック空間は、有限ノルムを持つ C _n上の正則関数f ( z )のヒルベルト空間である。${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle {{1 \over \pi ^{n}}\int _{{\mathbf {C} }^{n}}|f(z)|^{2}e^{-|z|^{2}}\,dx\cdot dy}}$

内積

${\displaystyle {(f_{1},f_{2})={1 \over \pi ^{n}}\int _{{\mathbf {C} }^{n}}f_{1}(z){\overline {f_{2}(z)}}e^{-|z|^{2}}\,dx\cdot dy.}}$

および正規直交基底

${\displaystyle {e_{\alpha }(z)={z^{\alpha } \over {\sqrt {\alpha !}}}}}$

α は多項式である。fがC nに、z がC ⁿにそれぞれ存在する場合、演算子 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle {W_{{\mathcal {F}}_{n}}(z)f(w)=e^{-|z|^{2}}e^{w{\overline {z}}}f(w-z).}}$

ワイル交換関係の既約なユニタリ表現を定義する。ストーン・フォン・ノイマン定理により、L ² ( R ⁿ )から2つの表現を絡み合わせるユニタリ演算子が存在する。これは、バーグマン変換によって与えられる。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle {{\mathcal {U}}f(z)={1 \over (2\pi )^{n/2}}\int B(z,t)f(t)\,dt,}}$

どこ

${\displaystyle B(z,t)=\exp[-z\cdot z-t\cdot t/2+z\cdot t].}$

その随伴関数は次の式で与えられます。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}^{*}}$

${\displaystyle {{\mathcal {U}}^{*}F(t)={1 \over \pi ^{n}}\int _{{\mathbf {C} }^{n}}B({\overline {z}},t)F(z)\,dx\cdot dy.}}$

ソボレフ空間では、滑らかなベクトルと解析的なベクトルは、調和振動子の n個のコピーの合計を使用して1次元の場合のように定義できます。

${\displaystyle \Delta _{n}=\sum _{i=1}^{n}-{\partial ^{2} \over \partial x_{i}^{2}}+x_{i}^{2}.}$

ワイル計算も同様にn次元の場合に拡張されます。

シンプレクティック群の複素化 Sp(2 n , C ) は同じ関係で定義されるが、行列A、B、C、Dが複素数になることを許す。ジーゲル上半平面をそれ自身に取り込む群要素の部分半群は、自然な二重被覆を持つ。L 2 ( R n ) 上の Mp(2 n , R ) の表現は、核によって^定義される縮約演算子によるこの^{半群の表現に自然に拡張され、核は 1 次元の場合を一般化する（必要な場合は行列式を取る）。コヒーレント状態に対する Mp(2} n , R )の作用は、このより大きな半群の演算子にも同様に適用できる。^[41]${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

1次元の場合、群SL(2, R )はケーリー変換で上半平面を単位円板に置き換えたSU(1,1)に対応するものを持つが、シンプレクティック群は複素対応物を持つ。実際、Cがユニタリ行列 である場合、

${\displaystyle {C={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}I&iI\\I&-iI\end{pmatrix}}}}$

するとC Sp(2n) C ⁻¹はすべての行列の群である。

${\displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}}}$

そのような

${\displaystyle {AA^{*}-BB^{*}=I,\,\,\,AB^{t}=BA^{t};}}$

または同等

${\displaystyle gKg^{*}=K,}$

どこ

${\displaystyle {K={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}.}}$

シーゲル一般化ディスクD _{n は、}演算子ノルムが 1 未満の 複素対称n x n行列Wの集合として定義されます。

これは、ジーゲルの一般化された上半平面の 点Zのケーリー変換から構成されます。

${\displaystyle {W=(Z-iI)(Z+iI)^{-1}.}}$

要素gはD _nに作用する

${\displaystyle {gW=(AW+B)({\overline {B}}W+{\overline {A}})^{-1}}}$

そして、1 次元の場合と同様に、この作用は推移的です。0 の安定化サブグループは、A がユニタリでB = 0 である行列で構成されます。

D _nのWに対して、正則フォック空間におけるメタプレクティックコヒーレント状態は次のように定義される。

${\displaystyle {f_{W}(z)=e^{z^{t}Wz/2}.}}$

このような2つの状態の内積は次のように表される。

${\displaystyle {(f_{W_{1}},f_{W_{2}})=\det(1-W_{1}{\overline {W_{2}}})^{-1/2}.}}$

さらに、メタプレクティック表現πは

${\displaystyle {\pi (g)f_{W}=\det({\overline {A}}+{\overline {B}}W)^{-1/2}f_{gW}.}}$

これらの状態の閉じた線形スパンは、正則フォック空間の偶数部を与える。Sp(2 n )のSp(2( n +1))への埋め込みと、互換性のある識別 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}^{+}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n+1}^{+}={\mathcal {F}}_{n}^{+}\oplus {\mathcal {F}}_{n}^{-}}$

全体に対する作用をもたらす。これは演算子W ( z )の作用と互換性があることを直接検証することができる。^[42]${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

複素半群はシロフ境界としてシンプレクティック群を持つので、この表現が半群への明確に定義された縮小拡張を持つという事実は、最大モジュラス原理と半群演算子が随伴作用素の下で閉じているという事実から導かれる。実際、メタプレクティックコヒーレント状態に比例する2つのそのような演算子S、T、およびベクトルv _iについて、次の ことをチェックするだけで十分である。

${\displaystyle \left|\sum _{i,j}(STv_{i},v_{j})\right|\leq \|\sum _{i}v_{i}\|^{2},}$

これは、和が境界上でユニタリである SとTに正則に依存するためである。

S をC n^の単位球面とし、ハーディ空間H ² ( S ) を座標z ₁ , ..., z _nにおける多項式の制限のL ² ( S )における閉包と定義する。P をハーディ空間への射影とする。m ( f )がS上の連続関数fによる乗算を表す場合、交換子 [P, m ( f )] はコンパクトであることが知られている。したがって、テプリッツ演算子を次のように 定義すると、

${\displaystyle {T(f)=Pm(f)P}}$

ハーディ空間上では、連続なfとgに対してT ( fg ) – T ( f ) T ( g ) がコンパクトとなる。 fとg が行列値関数の場合も同様である（つまり、対応するテプリッツ作用素は H ² ( S ) 上の作用素の行列となる）。特に、fがS上の関数で、逆行列に値を取る場合、

${\displaystyle {T(f)T(f^{-1})-I,\qquad T(f^{-1})T(f)-I}}$

はコンパクトであり、したがってT ( f )は次のように定義されるインデックスを持つ フレドホルム演算子である。

${\displaystyle \operatorname {ind} T(f)=\dim \ker T(f)-\dim \ker T(f)^{*}.}$

この指数は、Coburn (1973) によるK 理論の方法を使用して計算されており、 Sから一般線型群への 連続写像として、fの次数と符号まで一致します。

ヘルトンとハウ（1975）は、この指数定理を証明する解析的な方法を提示し、後にハウによって簡略化された。彼らの証明は、fが滑らかであれば指数はマッキーンとシンガーの公式で与えられるという事実に依存している：^[43]

${\displaystyle \operatorname {ind} T(f)=\operatorname {Tr} (I-T(f^{-1})T(f))^{n}-\operatorname {Tr} (I-T(f)T(f^{-1}))^{n}.}$

ハウ（1980）は、テプリッツ演算子を適用した H ² ( S )とL ² ( R ⁿ )の間に自然なユニタリ同型性があることに気づいた。

${\displaystyle {T_{j}=T(z_{j})}}$

オペレーターに

${\displaystyle {(P_{j}+iQ_{j})\Delta ^{-1/2}.}}$

これらはワイル計算で構築されたゼロ次演算子の例である。マッキーン・シンガー公式のトレースはワイル計算を使って直接計算することができ、指数定理の別の証明につながる。^{[44]この指数定理を証明する方法は、}巡回コホモロジーの枠組みの中でアラン・コヌによって一般化された。^[45]

無限次元における振動子表現の理論は、アーヴィング・シーガルとデイヴィッド・シェールによるものである。^{[46]グレアム・シーガルはこれを用いて、}ループ群の射影表現と円の微分同相写像群の厳密な数学的構成を与えた。無限小レベルでは、リー代数、この場合はアフィン Kac–Moody 代数とVirasoro 代数の表現の構成は、双対共鳴理論と後の弦理論を通じて物理学者にはすでに知られていた。ここでは、円の U(1) = Tへの滑らかな写像のループ群 LU(1) を含む最も単純なケースのみを検討する。ネレティンとシーガルが独立に開発した振動子半群により、単位円のそれ自体への一価正則写像の半群に対して縮約演算子を定義できるようになり、円の微分同相写像に対応するユニタリー演算子を拡張できる。これを微分同相群のサブグループSU(1,1)に適用すると、L2 ( R )上の振動子表現の一般化とオルシャンスキー半群への拡張 ^{が得られる。}

フォック空間上の交換表現は、C ⁿ（またはその双対空間）を任意の複素ヒルベルト空間Hに置き換えることで無限次元に一般化される。対称群 S _{k は}H ^{⊗ k}に作用する。S ^k ( H ) はS k_の不動点部分空間として定義され、対称代数は代数直和である。

${\displaystyle {\bigoplus _{k\geq 0}S^{k}(H).}}$

^これはH⊗kから継承された自然な内積を^持つ:

${\displaystyle {(x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{k},y_{1}\otimes \cdots \otimes y_{k})=k!\cdot \prod _{i=1}^{k}(x_{i},y_{i}).}}$

成分S ^k ( H )が互いに直交すると仮定すると、対称フォック空間 S ( H )はこの直和のヒルベルト空間完備化として定義されます。

Hのξに対してコヒーレント状態eξを^次のように 定義する。

${\displaystyle {e^{\xi }=\sum _{k\geq 0}(k!)^{-1}\xi ^{\otimes k}.}}$

すると、それらの線形スパンはS ( H )に稠密であり、n個の異なるベクトルに対応するコヒーレント状態は線形独立であり、

${\displaystyle {(e^{\xi },e^{\eta })=e^{(\xi ,\eta )}.}}$

Hが有限次元のとき、 S ( H )はH *の正則フォック空間と自然に同一視できる。なぜなら、標準的な方法ではSk ( H )はH *上のk次の斉次多項式であり、内積は一致するからである。さらに、S ( ^H )は関数的性質を持つ。最も重要なのは、

${\displaystyle S(H_{1}\oplus H_{2})=S(H_{1})\otimes S(H_{2}),\qquad e^{x_{1}\oplus x_{2}}=e^{x_{1}}\otimes e^{x_{2}}.}$

同様の結果は有限直交直和に対しても成り立ち、フォン・ノイマンの無限テンソル積と S ⁰ ( H _i )の参照単位ベクトル 1 の定義を使用して、無限直交直和に拡張されます。ヒルベルト空間間の任意の縮約演算子は、対応する対称フォック空間間の縮約演算子を関数的に誘導します。

S ( H )上のユニタリ作用素は、コヒーレント状態上のその値によって一意に決定される。さらに、任意の 割り当てv _{ξに対して、}

${\displaystyle {(v_{\xi },v_{\eta })=e^{(\xi ,\eta )}}}$

S ( H )上の唯一のユニタリ作用素Uが存在し、

${\displaystyle {v_{\xi }=U(e^{\xi }).}}$

有限次元の場合と同様に、これによりH内のxに対してユニタリ演算子W ( x )を定義することができる。

${\displaystyle {W(x)e^{y}=e^{-\|x\|^{2}/2}e^{-(x,y)}e^{x+y}.}}$

有限次元の場合、これらの演算子はユニタリであり、

${\displaystyle {W(x)W(y)=e^{-{i \over 2}\Im (x,y)}W(x+y).}}$

特に、ワ​​イル交換関係が満たされる：

${\displaystyle {W(x)W(y)=e^{-i\Im (x,y)}W(y)W(x).}}$

Hの正規直交基底e _nをとると、S ( H ) はS ( C e _n )の無限テンソル積として表すことができます。これらの各空間でのWの既約性は、 S ( H )全体におけるWの既約性を意味します。 W は複素波動表現と呼ばれます。

無限次元のシンプレクティック群を定義するために、H _{R を}シンプレクティック形式を持つ Hの基礎となる実ベクトル空間とする。

${\displaystyle {B(x,y)=-\Im (x,y)}}$

および実数内積

${\displaystyle {(x,y)_{\mathbf {R} }=\Re (x,y).}}$

複素構造は直交演算子によって定義される。

${\displaystyle {J(x)=ix}}$

となることによって

${\displaystyle {B(x,y)=-(Jx,y)_{\mathbf {R} }.}}$

H _R上の有界可逆演算子実線型演算子T がシンプレクティック群に属するとは、その演算子とその逆演算子がB を保存する場合である。これは次の条件と同等である。

${\displaystyle {TJT^{t}=J=T^{t}JT.}}$

演算子Tは、ユニタリπ( T ) が存在し、

${\displaystyle \pi (T)W(x)\pi (T)^{*}=W(Tx).}$

実装可能な演算子は、シンプレクティック群のサブグループ、制限シンプレクティック群を形成します。シューアの補題により、π( T ) はTのスカラーまで一意に決定されるため、π はこのサブグループの射影ユニタリ表現を与えます。

シーガル・シェール量子化基準は、交換子TJ - JTがヒルベルト・シュミット演算子である場合に限り、 Tが実装可能である、つまり制限シンプレクティック群に存在することを述べています。

有限次元の場合、符号まで乗法となるように π を持ち上げることができますが、無限次元の場合はこれは不可能です。(これは、以下で構築された円の微分同相群の射影表現の例を使用して直接確認できます。)

制限シンプレクティック群の射影表現は有限次元の場合と同様にコヒーレント状態上に直接構築することができる。^[47]

実際、Hの実ヒルベルト部分空間（Hが複素化である）を選択すると、 H上の任意の演算子Tに対してTの複素共役も定義されます。すると、SU(1,1) の無限次元類似体は可逆な有界演算子から構成されます。

${\displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}}}$

gKg * = Kを満たす（または有限次元の場合と同じ関係）。これらは、Bがヒルベルト・シュミット作用素である場合に限り、制限シンプレクティック群に属する。この群は、1 未満の作用素ノルムを持つ対称なヒルベルト・シュミット作用素Wからなるシーゲル一般化単位円板の無限次元類似体D _≈に対して、次の式を介して推移的に作用する。

${\displaystyle {gZ=(AW+B)({\overline {B}}W+{\overline {A}})^{-1}.}}$

再び、0 の安定化サブグループは、A がユニタリでB = 0であるgで構成されます。メタプレクティックコヒーレント状態f _{W は}前と同じように定義でき、その内積はフレドホルム行列式を使用して同じ式で与えられます。

${\displaystyle {(f_{W_{1}},f_{W_{2}})=\det(I-W_{2}^{*}W_{1})^{-{\frac {1}{2}}}.}}$

単位ベクトルを定義する

${\displaystyle {e_{W}=\det(I-W^{*}W)^{1/4}f_{W}}}$

そして設定

${\displaystyle {\pi (g)e_{W}=\mu (\det(I+{\overline {A}}^{-1}{\overline {B}}W)^{-{\frac {1}{2}}})e_{gW},}}$

ここで、μ(ζ) = ζ/|ζ|である。前述のように、これは射影表現を定義し、g ₃ = g ₁ g ₂の場合には、コサイクルは次のように与えられる。

${\displaystyle {\omega (g_{1},g_{2})=\mu [\det(A_{3}(A_{1}A_{2})^{-1})^{-{\frac {1}{2}}}].}}$

この表現は解析接続によって拡張され、有限次元の場合と同じ解析接続の議論によって複素半群の縮約演算子を定義します。また、それらが厳密な縮約であることも示されます。

例H _{R を、}平均0の円上の実数値関数からなる実ヒルベルト空間と する。

${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n\neq 0}a_{n}e^{in\theta }}$

そして、

${\displaystyle {\sum _{n\neq 0}|n||a_{n}|^{2}<\infty .}}$

内積は次のように表される。

${\displaystyle \left(\sum a_{n}e^{in\theta },\sum b_{m}e^{im\theta }\right)=\sum _{n\neq 0}|n|a_{n}{\overline {b_{n}}}.}$

直交基底は関数sin(nθ)とcos(nθ)で与えられ、n > 0のときである。円上の ヒルベルト変換は次のように定義される。

${\displaystyle J\sin(n\theta )=\cos(n\theta ),\qquad J\cos(n\theta )=-\sin(n\theta )}$

はH _R上の複素構造を定義する。Jは次のようにも書ける。

${\displaystyle J\sum _{n\neq 0}a_{n}e^{in\theta }=\sum _{n\neq 0}i\operatorname {sign} (n)a_{n}e^{in\theta },}$

ここで、符号n = ±1 はnの符号を表す。対応するシンプレクティック形式は

${\displaystyle B(f,g)=\int _{S^{1}}fdg.}$

特にφが円の向きを保存する微分同相写像であり、

${\displaystyle {T_{\varphi }f(\theta )=f(\varphi ^{-1}(\theta ))-{1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(\varphi ^{-1}(\theta ))\,d\theta ,}}$

Tφ_は実装可能である。^[48]

fが滑らかな演算子W ( f )は、円の微分同相群の下で不変なループ群L Tの部分群に対応する。ベクトル場に対応する無限小演算子は、

${\displaystyle {L_{n}=-\pi \left(ie^{in\theta }{d \over d\theta }\right)}}$

明示的に計算できる。これらはVirasoro関係を満たす。

${\displaystyle {[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{m^{3}-m \over 12}\delta _{m+n,0}.}}$

特に、スカラー演算子を追加して右側の 2 番目の項を削除しても調整できません。これは、制限されたシンプレクティック グループ上のコサイクルが、±1 の値のみを取るコサイクルと同等ではないことを示しています。

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