グラム・シュミット過程

数学、特に線形代数と数値解析において、グラム・シュミット過程またはグラム・シュミットアルゴリズムは、互いに垂直な 2 つ以上のベクトルの集合を見つける方法です。

技術的な定義によれば、これは内積空間（最も一般的には標準の内積を備えたユークリッド空間）のベクトルの集合から正規直交基底を構築する方法です。グラム・シュミット過程は、k ≤ nに対して有限の線形独立なベクトルの集合を取り、 と同じ次元の部分空間に張られる直交集合を生成します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}}$ ${\displaystyle S'=\{\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S}$

この方法は、ヨルゲン・ペダーセン・グラムとエアハルト・シュミットにちなんで名付けられましたが、ピエール＝シモン・ラプラスはグラムとシュミットより前にこの方法に精通していました。^[1]リー群分解の理論では、この方法は岩澤分解によって一般化されています。

グラム・シュミット過程を全列ランク 行列の列ベクトルに適用すると、 QR分解（直交行列と三角行列に分解）が得られます。

ベクトルの非零ベクトルへのベクトル射影は次のように定義されます^{[注 1]} 。 ここで、はベクトルとベクトルの内積を表します。これは、が の が張る直線への直交射影であることを意味します。が零ベクトルの場合、 は零ベクトルとして定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )={\frac {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }{\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}\,\mathbf {u} ,}$$${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )}$

ベクトルが与えられると、グラム・シュミット過程はベクトルを次のように定義します。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&=\mathbf {v} _{1},&\!\mathbf {e} _{1}&={\frac {\mathbf {u} _{1}}{\|\mathbf {u} _{1}\|}}\\\mathbf {u} _{2}&=\mathbf {v} _{2}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{2}),&\!\mathbf {e} _{2}&={\frac {\mathbf {u} _{2}}{\|\mathbf {u} _{2}\|}}\\\mathbf {u} _{3}&=\mathbf {v} _{3}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{3})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{3}),&\!\mathbf {e} _{3}&={\frac {\mathbf {u} _{3}}{\|\mathbf {u} _{3}\|}}\\\mathbf {u} _{4}&=\mathbf {v} _{4}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{4})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{4})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{3}}(\mathbf {v} _{4}),&\!\mathbf {e} _{4}&={\mathbf {u} _{4} \over \|\mathbf {u} _{4}\|}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \\\mathbf {u} _{k}&=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{j}}(\mathbf {v} _{k}),&\!\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}}{\|\mathbf {u} _{k}\|}}.\end{aligned}}}$$

シーケンスは、直交ベクトルの必須のシステムであり、正規化されたベクトルは正規直交セットを形成します。シーケンスの計算はグラム・シュミット直交化と呼ばれ、シーケンスの計算はグラム・シュミット正規直交化と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{k}}$

これらの式が直交数列を生成することを確認するには、まず上記の式を に代入して計算します。ゼロになります。次にこれを使用して、式を に代入して再度計算します。ゼロになります。任意の については、数学的帰納法によって証明できます。 ${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle }$${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{3}\rangle }$${\displaystyle \mathbf {u} _{3}}$${\displaystyle k}$

幾何学的には、この方法は次のように進行します。 を計算するために、によって生成された部分空間に直交投影します。この部分空間は、によって生成された部分空間と同じです。次に、ベクトルは、 とこの投影の差として定義され、部分空間 内のすべてのベクトルに直交することが保証されます。 ${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{i-1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle U}$

グラム・シュミット過程は、線形独立な可算無限列{ v _i } _iにも適用されます。結果は、自然数nに対して次のようになる直交（または正規直交）列{ u _i } _iです。 の代数的範囲はの代数的範囲と同じです。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$

グラム・シュミット過程を線形従属シーケンスに適用すると、が の線形結合であると仮定して、 番目のステップで0ベクトルが出力されます。正規直交基底を生成する場合、アルゴリズムは出力内のゼロベクトルをテストし、ゼロベクトルの倍数の長さが 1 になることはないため、ゼロベクトルを破棄する必要があります。アルゴリズムによって出力されるベクトルの数は、元の入力によって張られる空間の次元になります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1}}$

グラム・シュミット過程の変形で、超限再帰法を（おそらく非可算な）無限ベクトル列に適用すると、任意の に対しての成就の完備化がの成就と同じになるようなを持つ正規直交ベクトルの集合が得られます。特に、ヒルベルト空間の（代数的）基底（または、より一般的には、任意の稠密部分空間の基底）に適用すると、（関数解析的）正規直交基底が得られます。一般的なケースでは、開始集合が線型独立であっても厳密な不等式が成り立つことが多く、 の成就はの成就の部分空間である必要はなく（むしろ、その完備化の部分空間である）、ことに注意してください。 ${\displaystyle (v_{\alpha })_{\alpha <\lambda }}$${\displaystyle (u_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$${\displaystyle \kappa \leq \lambda }$${\displaystyle \alpha \leq \lambda }$${\displaystyle \{u_{\beta }:\beta <\min(\alpha ,\kappa )\}}$${\displaystyle \{v_{\beta }:\beta <\alpha \}}$${\displaystyle \kappa <\lambda }$${\displaystyle (u_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$${\displaystyle (v_{\alpha })_{\alpha <\lambda }}$

（通常の内積を持つ） における次のベクトルの集合を考える。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle S=\left\{\mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}}\right\}.}$$

ここで、グラム・シュミット法を実行して、直交ベクトルの集合を取得します。 $${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{2})={\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}}-\operatorname {proj} _{\left[{\begin{smallmatrix}3\\1\end{smallmatrix}}\right]}{\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}}-{\frac {8}{10}}{\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2/5\\6/5\end{bmatrix}}.}$$

ベクトルとが実際に直交していることを確認します。2 つのベクトルのドット積が 0 であれば、それらは直交している ことに注意してください。${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$$${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =\left\langle {\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}-2/5\\6/5\end{bmatrix}}\right\rangle =-{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{5}}=0,}$$

ゼロ以外のベクトルの場合は、上記のようにサイズを分割してベクトルを正規化できます。 $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\frac {1}{\sqrt {40 \over 25}}}{\begin{bmatrix}-2/5\\6/5\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}}.}$$

グラム・シュミット過程をベクトルの集合に適用した結果を と表記します。これにより、マップ が生成されます。 ${\displaystyle \operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle \operatorname {GS} \colon (\mathbb {R} ^{n})^{k}\to (\mathbb {R} ^{n})^{k}}$

次の特性があります:

• それは継続的である
• それは、という意味で方向保存です。${\displaystyle \operatorname {or} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})=\operatorname {or} (\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}))}$
• これは直交写像と可換である:

を（与えられた内積に関して）直交すると する。すると、${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \operatorname {GS} (g(\mathbf {v} _{1}),\dots ,g(\mathbf {v} _{k}))=\left(g(\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})_{1}),\dots ,g(\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})_{k})\right)}$$

さらに、グラム・シュミット過程のパラメータ化されたバージョンは、一般線型群の直交群への（強い）変形後退をもたらす。 ${\displaystyle \mathrm {GL} (\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle O(\mathbb {R} ^{n})}$

このプロセスをコンピュータで実装すると、丸め誤差のため、ベクトルは完全に直交しなくなることがよくあります。上記のグラム・シュミット過程（「古典的なグラム・シュミット」と呼ばれることもあります）では、この直交性の喪失は特にひどいため、（古典的な）グラム・シュミット過程は数値的に不安定であると言われています。 ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$

グラム・シュミット過程は、小さな修正を加えることで安定化できます。このバージョンは、修正グラム・シュミット法または MGS と呼ばれることもあります。このアプローチでは、正確な演算では元の式と同じ結果が得られ、有限精度の演算では誤差が小さくなります。

ベクトルu _kを 次のように 計算 する代わりに、$${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{k})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{k})-\cdots -\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-1}}(\mathbf {v} _{k}),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{k}^{(1)}&=\mathbf {v} _{k}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{k}),\\\mathbf {u} _{k}^{(2)}&=\mathbf {u} _{k}^{(1)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(1)}\right),\\&\;\;\vdots \\\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}&=\mathbf {u} _{k}^{(k-3)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-2}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(k-3)}\right),\\\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}&=\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-1}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}\right),\\\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}}{\left\|\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}\right\|}}\end{aligned}}}$$

この方法は、前のアニメーションで、青いベクトルを直交化するときに中間ベクトルが使用されるときに使用されます。 ${\displaystyle \mathbf {v} '_{3}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$

修正されたアルゴリズムの別の説明を次に示します。ベクトル が与えられた場合、最初のステップでは、の方向に沿って成分を削除することによってベクトルを生成します。式では、です。このステップの後には、必要な直交ベクトル 2 つ、つまり が既にありますが、 も既に に直交しています。次に、残りのベクトルを に対して直交させます。これは、減算によって計算することを意味します。これで、最初の 3 つのベクトルが既にある場所にベクトルを格納し、残りのベクトルが既に に直交しています。これで明らかなように、次のステップでは に対して直交させます。このように進めていくと、直交ベクトルの完全なセットが見つかります。正規直交ベクトルが必要な場合は、減算式の分母が 1 になるように正規化していきます。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}^{(1)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(1)}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{k}^{(1)}:=\mathbf {v} _{k}-{\frac {\langle \mathbf {v} _{k},\mathbf {v} _{1}\rangle }{\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle }}\mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1},\mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}^{(1)}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}^{(1)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(1)}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}^{(1)}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}^{(2)},\mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{k}^{(2)}:=\mathbf {v} _{k}^{(1)}-{\frac {\langle \mathbf {v} _{k}^{(1)},\mathbf {u} _{2}\rangle }{\langle \mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{2}\rangle }}\mathbf {u} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}^{(1)},\mathbf {v} _{3}^{(2)},\mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{3}=\mathbf {v} _{3}^{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$

次のMATLABアルゴリズムは、古典的なグラム・シュミット正規直交化を実装します。ベクトルv ₁、...、v _k (行列 の列V、つまりV(:,j)番目のベクトル) は、同じ部分空間にまたがる正規直交ベクトル ( の列) に置き換えられます。 ${\displaystyle j}$U

関数 U =グラムシュミット( V )  
    [ n , k ] =サイズ( V );   
    U =ゼロ( n 、k );  
    U (:, 1 ) = V (:, 1 ) /ノルム( V (:, 1 ));    
    i = 2の場合: k   
        U (:, i ) = V (:, i );  
        j = 1の場合: i - 1   
            U (:, i ) = U (:, i ) - ( U (:, j ) '* U (:, i )) * U (:, j );      
        終わり
        U (:, i ) = U (:, i ) /ノルム( U (:, i ));    
    終わり
終わり

このアルゴリズムのコストは漸近的にO( nk2 )^回の浮動小数点演算であり、ここでnはベクトルの次元である。^[2]

行{ v ₁ , ..., v _k }が行列として書かれる場合、ガウス消去法を拡張行列に適用すると、 の代わりに直交ベクトルが生成されます。ただし、行列は、ある行のスカラー倍数を別の行に追加する行演算のみを使用して、行階段形式にする必要があります。 ^[3]たとえば、上記のように取ると、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \left[AA^{\mathsf {T}}|A\right]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}2&2\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \left[AA^{\mathsf {T}}|A\right]=\left[{\begin{array}{rr|rr}10&8&3&1\\8&8&2&2\end{array}}\right]}$$

これを階段状に縮小すると、 $${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr|rr}1&.8&.3&.1\\0&1&-.25&.75\end{array}}\right]}$$

正規化されたベクトルは 上記の例のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {1}{\sqrt {.3^{2}+.1^{2}}}}{\begin{bmatrix}.3&.1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\frac {1}{\sqrt {.25^{2}+.75^{2}}}}{\begin{bmatrix}-.25&.75\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}-1&3\end{bmatrix}},}$$

グラム・シュミット過程の結果は、行列式を使用した非再帰式で表現できます。

$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}={\frac {1}{\sqrt {D_{j-1}D_{j}}}}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j-1}\rangle \\\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}\end{vmatrix}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} _{j}={\frac {1}{D_{j-1}}}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j-1}\rangle \\\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}\end{vmatrix}}}$$

ここで、およびはグラム行列式である。${\displaystyle D_{0}=1}$${\displaystyle j\geq 1}$${\displaystyle D_{j}}$

$${\displaystyle D_{j}={\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j}\rangle \end{vmatrix}}.}$$

の式は「正式な」行列式であることに注意してください。つまり、行列には​​スカラーとベクトルの両方が含まれます。この式の意味は、ベクトルの行に沿った 補因子展開の結果として定義されます。${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$

グラム・シュミットの行列式は、上記の再帰アルゴリズムよりも計算的に（指数的に）遅く、主に理論的な興味の対象です。

幾何代​​数学で使用される表記法を使用して表現すると、グラム・シュミット過程の非正規化結果は次のように表すことができます 。 これは、上で定義された演算子を使用した式と同等です。結果は、 上記の行列式を使用した式と密接に関連している ^{[4]と同等に表すことができます。}$${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}(\mathbf {v} _{k}\cdot \mathbf {u} _{j})\mathbf {u} _{j}^{-1}\ ,}$$${\displaystyle \operatorname {proj} }$ $${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}\wedge \mathbf {v} _{k-1}\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathbf {v} _{1}(\mathbf {v} _{k-1}\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathbf {v} _{1})^{-1},}$$

その他の直交化アルゴリズムでは、ハウスホルダー変換またはギブンズ回転が使用されます。ハウスホルダー変換を使用するアルゴリズムは、安定化されたグラム・シュミット過程よりも安定しています。一方、グラム・シュミット過程は、反復の後に 番目の直交化ベクトルを生成しますが、ハウスホルダー反射を使用した直交化では最後にのみすべてのベクトルが生成されます。このため、アーノルディ反復法などの反復法にはグラム・シュミット過程のみが適用されます。 ${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$

さらに別の代替案は、線形最小二乗法における正規方程式の行列を反転するためにコレスキー分解を使用することを動機としています。 を、列を直交化する必要がある完全な列ランク行列とします。 行列はエルミートかつ正定値 であるため、コレスキー分解を使用するとと記述できます。対角要素が正である下三角行列は可逆です。 この場合、行列の列は正規直交であり、元の行列の列と同じ部分空間を張ります。 積を明示的に使用すると、特に積の条件数が大きい場合は、アルゴリズムが不安定になります。 ただし、このアルゴリズムは、その高い効率性と単純さから、実際に使用され、一部のソフトウェア パッケージに実装されています。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}V}$${\displaystyle V^{*}V=LL^{*},}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U=V\left(L^{-1}\right)^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}V}$

量子力学には、オリジナルのグラム・シュミット法よりも特定の用途に適した特性を持つ直交化スキームがいくつかあります。それでも、グラム・シュミット法は、最大の電子構造計算でも人気があり効果的なアルゴリズムです。^[5]

グラム・シュミット直交化は強多項式時間で実行できる。実行時間分析はガウス消去法のそれと似ている。^{[6] : 40}

• 線形代数
• 再帰
• 直交性（数学）

• Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997)、数値線形代数、フィラデルフィア: Society for Industrial and Applied Mathematics、ISBN 978-0-89871-361-9。
• ゴルブ、ジーン H. ;ヴァン・ローン、チャールズ F. (1996)、マトリックス計算(第 3 版)、ジョンズ・ホプキンス、ISBN 978-0-8018-5414-9。
• グルーブ、ヴェルナー（1975）、線形代数（第4版）、シュプリンガー。
• Soliverez, CE; Gagliano, E. (1985)、「平面上の直交化: 幾何学的アプローチ」(PDF)、Mex. J. Phys.、31 (4): 743–758、2014-03-07にオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2013-06-22 に取得。

• 「直交化」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ハーヴェイ・マッド・カレッジのグラム・シュミット法に関する数学チュートリアル
• 数学用語の最も古い使用例: G 「グラム・シュミット直交化」の項目には、この方法の起源に関する情報と参考文献が記載されています。
• デモ: 平面におけるグラム・シュミット過程と空間におけるグラム・シュミット過程
• グラム・シュミット直交化アプレット
• m次のnベクトルのNAGグラム-シュミット直交化ルーチン
• 証明: Raymond Puzio、Keenan Kidwell。「Gram-Schmidt 直交化アルゴリズムの証明」(バージョン 8)。PlanetMath.org。