ペイリー・ウィーナーの定理

数学において、ペイリー・ウィーナーの定理は、関数または分布の無限遠での減衰特性とフーリエ変換の解析性を関連付ける定理です。この定理は、1934 年にこの定理のさまざまなバージョンを導入したレイモンド・ペイリー(1907–1933) とノーバート・ウィーナー(1894–1964)にちなんで名付けられました。 ^{[ 1 ]}元の定理は分布の言語を使用せず、代わりに二乗可積分関数に適用されました。分布を使用した最初のそのような定理は、ローラン・シュワルツによるものです。これらの定理は、三角不等式(絶対値と積分を入れ替えるため)に大きく依存しています。

PaleyとWienerによるオリジナルの研究は、制御理論と調和解析の分野でもその名が付けられており、それぞれスペクトル分解のためのPaley–Wiener条件と非調和フーリエ級数のためのPaley–Wiener基準を導入しています。^{[ 2 ]}これらは、関数の減衰特性を安定性の問題の文脈に置く関連する数学的概念です。

古典的なペイリー・ウィーナーの定理は、実数直線上に台を持つ二乗可積分関数のクラスに対する正則フーリエ変換を利用する。形式的には、その考え方は、（逆）フーリエ変換を定義する積分をとることである。

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

そして許可する${\displaystyle \zeta }$上半平面では複素数となる。次に、コーシー・リーマン方程式が成り立つことを確認するために、積分の下で微分すると、${\displaystyle f}$解析関数を定義します。ただし、この積分は、たとえ${\displaystyle F}$で${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$実際、${\displaystyle \zeta }$上半平面にある場合、モジュラスは${\displaystyle e^{ix\zeta }}$指数関数的に増加する${\displaystyle x\to -\infty }$;したがって、積分記号の下での微分は論外である。さらに制約を課す必要がある。${\displaystyle F}$この積分が適切に定義されていることを保証するため。

最初の制約は、${\displaystyle F}$サポートされる${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$つまり、${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$ペイリー・ウィーナーの定理は、次のことを主張する。^{[ 3 ]}正則フーリエ変換${\displaystyle F}$定義される

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{0}^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

のために${\displaystyle \zeta }$上半平面では、は正則関数である。さらに、プランシュレルの定理により、

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi \leq \int _{0}^{\infty }|F(x)|^{2}\,dx}$

そして支配的収束によって、

${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )-f(\xi )\right|^{2}\,d\xi =0.}$

逆に、${\displaystyle f}$は上半平面における正則関数であり、

${\displaystyle \sup _{\eta >0}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi =C<\infty }$

すると存在する${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$そのため${\displaystyle f}$は、の正則フーリエ変換である。${\displaystyle F}$。

抽象的に言えば、この定理のバージョンはハーディ空間を明示的に記述している。${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$定理によれば、

${\displaystyle {\mathcal {F}}H^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(\mathbb {R_{+}} ).}$

これは非常に有用な結果であり、ハーディ空間における関数のフーリエ変換に移行し、理解しやすい空間で計算を実行できる。 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$正の軸上に支持される二乗可積分関数。

代替制限を課すことにより${\displaystyle F}$がコンパクトに支持されている場合、別のペイリー・ウィーナーの定理が得られる。^{[ 4 ]}と仮定すると、${\displaystyle F}$サポートされている${\displaystyle [-A,A]}$、 となることによって${\displaystyle F\in L^{2}(-A,A)}$すると、正則フーリエ変換

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-A}^{A}F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

指数型の完全関数である${\displaystyle A}$つまり、定数が存在するということ${\displaystyle C}$そのため

${\displaystyle |f(\zeta )|\leq Ce^{A|\zeta |},}$

さらに、${\displaystyle f}$水平線上で二乗積分可能である。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(\xi +i\eta )|^{2}\,d\xi <\infty .}$

逆に、指数型の任意の整関数${\displaystyle A}$水平線上で二乗可積分なのは、 ${\displaystyle L^{2}}$サポートされている関数${\displaystyle [-A,A]}$。

シュワルツのペイリー・ウィーナーの定理は、コンパクトな台を持つ分布のフーリエ変換が${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は、​${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$そして無限大におけるその成長の推定値を与える。これはローラン・シュワルツ（1952）によって証明された。ここで提示されている定式化はホルマンダー（1976）によるものである。

一般に、フーリエ変換は任意の緩増加分布に対して定義できます。さらに、コンパクトサポートを持つ任意の分布に対しても定義できます。${\displaystyle v}$は緩やかな分布です。${\displaystyle v}$コンパクトサポートの分布であり、${\displaystyle f}$は無限回微分可能な関数であり、その式は

${\displaystyle v(f)=v(x\mapsto f(x))}$

明確に定義されている。

フーリエ変換は${\displaystyle v}$は、（一般的な緩増加分布とは異なり）値で与えられる関数です。${\displaystyle s}$による

${\displaystyle {\hat {v}}(s)=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}v\left(x\mapsto e^{-i\langle x,s\rangle }\right)}$

この関数は、以下の値に拡張できる。${\displaystyle s}$複雑な空間において${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$フーリエ変換を複素領域に拡張したものをフーリエ・ラプラス変換と呼ぶ。

機能全体に対する追加の成長条件${\displaystyle F}$分布に規則性特性を課す${\displaystyle v}$例えば：^{[ 5 ]}

単一サポートに対する良好な制御を与えるシャープな結果${\displaystyle v}$ホルマンダー（1990）によって定式化された。特に、^{[ 6 ]}は${\displaystyle K}$凸コンパクト集合である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$サポート機能付き${\displaystyle H}$定義される

${\displaystyle H(x)=\sup _{y\in K}\langle x,y\rangle .}$

そして、${\displaystyle v}$に含まれる${\displaystyle K}$定数が存在する場合に限る${\displaystyle N}$定数の列${\displaystyle C_{m}}$そのため

${\displaystyle |{\hat {v}}(\zeta )|\leq C_{m}(1+|\zeta |)^{N}e^{H(\mathrm {Im} (\zeta ))}}$

のために${\displaystyle |\mathrm {Im} (\zeta )|\leq m\log(|\zeta |+1).}$

• Hörmander, L. (1976)、Linear Partial Differential Operators、第 1 巻、Springer、ISBN 978-3-540-00662-6
• ホルマンダー、L. (1990)、線形偏微分作用素の解析 I、シュプリンガー・フェルラーク。
• Paley, Raymond EAC ; Wiener, Norbert (1934). Fourier Transforms in the Complex Domain . Providence, RI: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1019-4。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
• ルディン、ウォルター（1987）、『実解析と複素解析』（第3 版）、ニューヨーク：マグロウヒル、ISBN 978-0-07-054234-1MR 0924157​ 。
• シュワルツ、ローラン（１９５２年）、「ラプラス分布の変換」、Ｃｏｍｍ．セム。数学。大学ルンド[メッド。ルンズ大学マット。セミ]、1952 : 196–206、MR 0052555 
• ストリチャーツ、R. (1994)、『分布理論とフーリエ変換の手引き』、CRC Press、ISBN 0-8493-8273-4。
• 吉田和也（1968）『関数解析』アカデミック・プレス。