縮約（作用素理論）

作用素論では、ノルムベクトル空間XとYの間の有界作用素 T : X → Y は、その作用素ノルム|| T || ≤ 1 のとき縮約であるといわれる。この概念は縮約写像の概念の特殊なケースであるが、すべての有界作用素は適切なスケーリングの後に縮約になる。縮約の解析は、作用素の構造、または作用素の族についての洞察を提供する。ヒルベルト空間上の縮約の理論は、主にベーラ・セーケファルヴィ＝ナジとチプリアン・フォイアスによるものである。

T がヒルベルト空間 に作用する収縮である場合、 Tに関連付けられた次の基本オブジェクトを定義できます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Tの欠陥演算子は、演算子D _T  = (1 −  T*T ) ^½およびD _T*  = (1 −  TT* ) ^½です。平方根は、スペクトル定理によって与えられる正の半定値です。欠陥空間と は、それぞれ範囲 Ran( D _T ) および Ran( D _T* )の閉包です。正演算子D _{T は}、 に内積を誘導します。内積空間は、自然に Ran( D _T ) と同一視できます。 についても同様のことが言えます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{T*}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{T*}}$

Tの欠陥指数は、

${\displaystyle (\dim {\mathcal {D}}_{T},\dim {\mathcal {D}}_{T^{*}})。}$

欠陥演算子と欠陥指数は、 Tの非ユニタリー性の尺度です。

ヒルベルト空間上の縮約Tは、直交直和に正準分解できる。

${\displaystyle T=\Gamma \oplus U}$

ここで、Uはユニタリ演算子であり、Γ は、その制限がユニタリである非ゼロの縮小部分空間を持たないという意味で、完全に非ユニタリです。U  = 0 の場合、T は完全に非ユニタリな縮約であると言われます。この分解の特殊なケースは、Γ が適切な等長変換である等長変換のウォルド分解です。

ヒルベルト空間上の縮約は、cos θ の演算子類似物として見ることができ、文脈によっては演算子角度と呼ばれます。縮約の明示的な記述により、正行列とユニタリ行列の (演算子) パラメータ化が可能になります。

1953 年に証明されたSz.-Nagy の膨張定理は、ヒルベルト空間H上の任意の収縮Tに対して 、より大きなヒルベルト空間K ⊇ H上のユニタリ演算子Uが存在し、 PがKのH上への直交射影である場合、すべてのn > 0 に対してT ⁿ = P U ⁿ P が成立する ことを述べています。演算子UはTの膨張と呼ばれ、Uが最小の場合、つまりK がH を含むUおよびU * の下で最小の閉部分空間不変である場合に一意に決定されます。

実際に定義すると^[1]

${\displaystyle \displaystyle {{\mathcal {H}}=H\oplus H\oplus H\oplus \cdots ,}}$

Hの可算個数のコピーの直交直和。

Vを次のように定義される等 長写像とする。${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \displaystyle {V(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\dots )=(T\xi _{1},{\sqrt {IT^{*}T}}\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\dots ).}}$

させて

${\displaystyle \displaystyle {{\mathcal {K}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}.}}$

ユニタリWを次のよう に定義する。${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle \displaystyle {W(x,y)=(Vx+(I-VV^{*})y,-V^{*}y).}}$

W は、 Hを最初の要素として考えたTのユニタリ拡大になります。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {K}}}$

最小の膨張U は、 Wのべき乗をHに適用して生成される閉じた部分空間へのWの制限を取ることによって得られます。

Sz.-Nagyの膨張定理には、一般化を可能にする別の証明がある。^[2]

Gを群、U ( g ) をヒルベルト空間K上のGのユニタリ表現、P をKの閉部分空間H = PKへの直交射影とします。

演算子値関数

${\displaystyle \displaystyle {\Phi (g)=PU(g)P,}}$

K上の作用素の値を持つものは正定値条件を満たす

${\displaystyle \sum \lambda _{i}{\overline {\lambda _{j}}}\Phi (g_{j}^{-1}g_{i})=PT^{*}TP\geq 0,}$

どこ

${\displaystyle \displaystyle {T=\sum \lambda _{i}U(g_{i}).}}$

さらに、

${\displaystyle \displaystyle {\Phi (1)=P.}}$

逆に、すべての演算子値の正定値関数はこのようにして生じます。位相群上のすべての（連続）スカラー値の正定値関数は、内積と群表現 φ( g ) = 〈U _g v , v〉 を誘導することを思い出してください。ここで、U _gは（強連続）ユニタリ表現です（ボッホナーの定理を参照）。ランク1の射影であるv を一般的な射影に置き換えると、演算子値のステートメントが得られます。実際、構築は同じです。これは以下に概略を示します。

を Hに値を持ち内積を持つG上の有限台関数の空間とする${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \displaystyle {(f_{1},f_{2})=\sum _{g,h}(\Phi (h^{-1}g)f_{1}(g),f_{2}(h)).}}$

Gは、 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \displaystyle {U(g)f(x)=f(g^{-1}x).}}$

さらに、Hは、 Hのvをf _vに送る等長埋め込みを 使用しての閉じた部分空間と同一視できる。${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle f_{v}(g)=\delta _{g,1}v.\,}$

P がHへの射影である場合、 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \displaystyle {PU(g)P=\Phi (g),}}$

上記の識別情報を使用します。

Gが可分位相群である場合、 Uが連続である場合に限り、 Φ は強（または弱）作用素位相において連続である。

この場合、Gの可算稠密部分群上でサポートされる関数はにおいて稠密であるため、 は分離可能です。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

G = Zのとき、任意の縮約演算子Tは、次のような関数Φを定義する。

${\displaystyle \displaystyle \Phi (0)=I,\,\,\,\Phi (n)=T^{n},\,\,\,\Phi (-n)=(T^{*})^{n},}$

n > 0の場合。上記の構成により、最小のユニタリ拡大が得られます。

同じ方法は、ヒルベルト空間H上の1 パラメータ強連続収縮半群T ( t ) ( t ≥ 0 ) に対する Sz._Nagy の第二膨張定理の証明にも適用できる。Cooper (1947) は、以前に等長写像の 1 パラメータ半群に対する結果を証明している。^[3]

定理は、HとRのユニタリ表現U ( t )を含むより大きなヒルベルト空間Kが存在し、

${\displaystyle \displaystyle {T(t)=PU(t)P}}$

そして変換U ( t ) HはKを生成する。

実際、T ( t )はR上 の連続演算子値正定値関数Φを定義し、

${\displaystyle \displaystyle {\Phi (0)=I,\,\,\,\Phi (t)=T(t),\,\,\,\Phi (-t)=T(t)^{*},}}$

t > 0の場合。Zの議論により、 Φ はRの巡回部分群上で正定値であり、したがって連続性によりR自身上でも正定値である。

前の構成により、最小のユニタリ表現U ( t ) と射影P が得られます。

ヒレ・ヨシダ定理は、任意の1パラメータの収縮半群T' ( t ) に、閉じた非有界演算子 Aを割り当てる。

${\displaystyle \displaystyle {A\xi =\lim _{t\downarrow 0}{1 \over t}(T(t)-I)\xi ,}}$

ここで、 A上の領域はこの極限が存在するすべての ξ から構成されます。

Aは半群の 生成元と呼ばれ、

${\displaystyle \displaystyle {-\Re (A\xi ,\xi )\geq 0}}$

定義域上のAが自己随伴演算子である 場合

${\displaystyle \displaystyle {T(t)=e^{At},}}$

スペクトル定理の意味で、この表記法は半群論でより一般的に使用されます。

半群の 共生成子は次のように定義される縮約である。

${\displaystyle \displaystyle {T=(A+I)(A-I)^{-1}.}}$

AはTから次の式で 復元できる。

${\displaystyle \displaystyle {A=(T+I)(T-I)^{-1}.}}$

特に、K⊃H上のTの拡大は直ちに半群の拡大を与える。^[4]

TをH上の完全に非ユニタリな収縮とする。すると、 K⊃H上のTの最小ユニタリ拡大Uは、 ユニタリ的に、双対シフト演算子のコピーの直和、すなわち^L2 ( S1 )上のzの乗算と^同値となる。^[5]

PがHへの直交射影である場合、 ^L∞ =L∞ ⁽ S1 )におけるfに対して、演算子f(T)は次^のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {f(T)\xi =Pf(U)\xi .}}$

H ^{∞ を単位円}D上の有界正則関数の空間とします。このような関数はいずれも L ^∞に境界値を持ち、それによって一意に決まるため、埋め込み H ^∞ ⊂ L ^∞が存在します。

^H∞内のfに対して、f ( T )はユニタリ膨張を参照せずに定義できます。

実際、

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}}$

| z | < 1 の場合、 r < 1 の場合

${\displaystyle \displaystyle {f_{r}(z))=\sum _{n\geq 0}r^{n}a_{n}z^{n}}}$

は | z | < 1/ rで正則です。

その場合、f _r ( T )は正則関数計算によって定義され、f ( T )は次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {f(T)\xi =\lim _{r\rightarrow 1}f_{r}(T)\xi .}}$

f をf ( T )に写す写像は、 H ^∞のH上の有界作用素への代数準同型を定義する。さらに、

${\displaystyle \displaystyle {f^{\sim }(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}{\overline {z}}^{n},}}$

それから

${\displaystyle \displaystyle {f^{\sim }(T)=f(T^{*})^{*}.}}$

この写像には次の連続性特性がある: 一様境界を持つシーケンスf _{n が}ほぼどこでもfに向かう場合、強い演算子位相では f _n ( T ) はf ( T )に向かう。

t ≥ 0の場合、 e _tを内部関数と する。

${\displaystyle \displaystyle {e_{t}(z)=\exp t{z+1 \over z-1}.}}$

T が完全な非ユニタリ縮約T ( t )の1パラメータ半群の共生成子である場合、

${\displaystyle \displaystyle {T(t)=e_{t}(T)}}$

そして

${\displaystyle \displaystyle {T={1 \over 2}I-{1 \over 2}\int _{0}^{\infty }e^{-t}T(t)\,dt.}}$

完全に非ユニタリな縮約T は、 H ^∞内の何らかの非ゼロ fに対してf ( T ) = 0となる場合のみ、クラス C ₀に属すると言われる。この場合、そのようなfの集合は H ^∞内でイデアルを形成する。これは φ ⋅ H ^∞という形式を持ち、ここでg は内部関数、すなわちS ¹上で |φ| = 1 となるような関数である。φ は、係数 1 の複素数による乗算を除いて一意に決定され、Tの極小関数と呼ばれる。これは、行列の 極小多項式に類似した特性を持つ。

最小関数φは標準因数分解が可能

${\displaystyle \displaystyle {\varphi (z)=cB(z)e^{-P(z)},}}$

ここで | c |=1、B ( z ) はブラシュケ積である

${\displaystyle \displaystyle {B(z)=\prod \left[{|\lambda _{i}| \over \lambda _{i}}{\lambda _{i}-z \over 1-{\overline {\lambda }}_{i}}\right]^{m_{i}},}}$

と

${\displaystyle \displaystyle {\sum m_{i}(1-|\lambda _{i}|)<\infty ,}}$

そしてP ( z ) はDにおいて非負の実部を持つ正則である。ヘルグロッツの表現定理により、

${\displaystyle \displaystyle {P(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta )}}$

円上のある非負の有限測度 μ に対して: この場合、μ がゼロでなければ、ルベーグ測度に関して 特異でなければなりません。 上記の φ の分解では、2 つの因子のいずれかが欠落している可能性があります。

極小関数 φ はTのスペクトルを決定します。単位円内では、スペクトル値は φ の零点です。Tのすべての固有値であるB ( z )の零点である λ _{i は}、最大で可算な数だけ存在します。単位円の点がTのスペクトル内に存在しないのは、 φ がその点の近傍に正則接続する場合のみです。

φは、 Hが一般化固有空間の直和（必ずしも直交する必要はない）の閉包に等しいとき、ブラシュケ積に縮約される^[6]

${\displaystyle \displaystyle {H_{i}=\{\xi :(T-\lambda _{i}I)^{m_{i}}\xi =0\}.}}$

2つの縮約T ₁とT _{2 は、}次のような自明な核と稠密な範囲を持つ 有界演算子A、Bが存在するとき、準相似であると言われる。

${\displaystyle \displaystyle {AT_{1}=T_{2}A,\,\,\,BT_{2}=T_{1}B.}}$

縮約Tの次の特性は準相似性の下で保持されます。

• 単一であること
• 完全に非統一的である
• クラスC ₀
• 重複性がない、つまり可換な交換項を持つ

2 つの準類似 C ₀収縮は同じ最小関数を持ち、したがって同じスペクトルを持ちます。

_C0収縮の分類定理は、2つの多重度のないC0収縮が準相似となるのは、それらが同じ最小関数（スカラー倍数まで）を持つ場合のみであることを述べています_。 [ ^7]

_{最小関数φを持つ多重度フリーC 0}縮約のモデルは、次のように与えられる。

${\displaystyle \displaystyle {H=H^{2}\ominus \varphi H^{2},}}$

ここでH ^{2 は}円のハーディ空間であり、 Tはzの乗算である。^[8]

このような演算子はジョルダンブロックと呼ばれ、S (φ)と表記されます。

バーリングの定理の一般化として、 そのような演算子の可換性は、H≈内のψを持つ演算子ψ( ^T ) 、つまり^H≈内の関数に対応するH2上の乗算演算子から正確に構成されます^。

AC ₀縮約演算子Tは、それがジョルダン ブロック (その最小関数に対応するものと必ず対応する) に準相似である場合にのみ、重複性がありません。

例。

• 縮約Tが演算子Sと準類似しており、

${\displaystyle \displaystyle {Se_{i}=\lambda _{i}e_{i}}}$

λ _iはそれぞれ異なっており、係数は1未満であり、

${\displaystyle \displaystyle {\sum (1-|\lambda _{i}|)<1}}$

そして ( e _i ) が正規直交基底であれば、S、したがってTは C ₀であり、重複度はゼロです。したがってH は、それぞれ重複度が 1 であるTの λ _i固有空間の直和の閉包です。これは、準相似性の定義を使用して直接確認することもできます。

• 上記の結果は、関数計算から、2つの半群が準相似であるためには、それらの共生成子が準相似である必要があるため、1パラメータ半群にも同様に適用できます。^[9]

_{C 0}収縮の分類定理: すべての C ₀収縮は、ジョルダン ブロックの直和に準相似です。

実際、すべてのC ₀縮約は、次の形式の一意の演算子に準相似である。

${\displaystyle \displaystyle {S=S(\varphi _{1})\oplus S(\varphi _{1}\varphi _{2})\oplus S(\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3})\oplus \cdots }}$

ここでφn_は一意に決まる内部関数であり、φ1は_SとTの最小関数である。^[10]

• 収縮マッピング – すべての点間の距離を縮める関数
• カルマン・ロタ不等式
• スタインスプリングの膨張定理
• 縮約半群に対するヒレ・ヨシダ定理

• Bercovici, H. (1988)、 「 ^H∞における作用素理論と算術」、数学概論およびモノグラフ、第26巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-1528-8
• クーパー、JLB (1947)、「ヒルベルト空間における等長演算子の 1 パラメータ半群」、Ann. of Math.、48 (4): 827–842、doi :10.2307/1969382、JSTOR  1969382
• Gamelin, TW (1969)、Uniform algebras、Prentice-Hall
• ホフマン、K. (1962)、解析関数のバナッハ空間、プレンティス・ホール
• Sz.-Nagy, B.; Foias, C.; Bercovici, H.; Kérchy, L. (2010)、Hilbert space 上の演算子の調和解析、Universitext (第 2 版)、Springer、ISBN 978-1-4419-6093-1
• Riesz, F.; Sz.-Nagy, B. (1995)、関数解析。1955年のオリジナルの復刻版、Dover Books on Advanced Mathematics、Dover、pp. 466–472、ISBN 0-486-66289-6