頂点演算子代数

頂点代数とは、特定の公理を満たすデータの集合のことである。

頂点作用素代数とは、共形要素を備えた頂点代数のことである。${\displaystyle \omega \in V}$頂点演算子が${\displaystyle Y(\omega ,z)}$ビラソロフィールドの重量は2です${\displaystyle L(z)}$:

${\displaystyle Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\omega _{n}{z^{-n-1}}=L(z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

そして、以下の性質を満たす。

• ${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{12}}\delta _{m+n,0}(m^{3}-m)c\,\mathrm {Id} _{V}}$、 どこ${\displaystyle c}$は中心電荷またはランクと呼ばれる定数です。${\displaystyle V}$特に、この頂点演算子の係数は${\displaystyle V}$中心電荷を持つビラソロ代数の作用${\displaystyle c}$。
• ${\displaystyle L_{0}}$半単純に作用する${\displaystyle V}$整数固有値は下限を持つ。
• 固有値によって提供される等級付けの下で${\displaystyle L_{0}}$乗算${\displaystyle V}$均質であるという意味で、${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$均質である場合、${\displaystyle u_{n}v}$次数が同質である${\displaystyle \mathrm {deg} (u)+\mathrm {deg} (v)-n-1}$。
• アイデンティティ${\displaystyle 1}$次数は0であり、共形要素は${\displaystyle \omega }$次数は2です。
• ${\displaystyle L_{-1}=T}$。

頂点代数の準同型写像とは、基となるベクトル空間の写像であり、恒等写像、平行移動、乗算といった構造を尊重するものである。頂点作用素代数の準同型写像は、共形ベクトルを尊重するかどうかに応じて、「弱形式」と「強形式」に分類される。

頂点代数理論では、結合法則により、表記法を濫用して次のように書くことができる。${\displaystyle A,B,C\in V,}$$${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)C=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}C.}$$ これはオペレーター製品拡張です。同様に、 $${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)=\sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}+:Y(A,z)Y(B,w):.}$$ 通常の順序付けられた部分は規則的であるため${\displaystyle z}$そして${\displaystyle w}$これは物理学の慣例に沿って次のように書くことができる。 $${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)\sim \sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}},}$$ 同値関係${\displaystyle \sim }$は、正規項までの等価性を表す。

非可換頂点代数の基本的な例として、ランク1の自由ボソン（ハイゼンベルク頂点作用素代数とも呼ばれる）が挙げられる。これは、ベクトルbに場b ( z ) := Y ( b , z )の係数を適用することで、生成集合が得られるという意味で、単一のベクトルbによって「生成」される。その基礎となるベクトル空間は、無限変数多項式環である。 ${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]}$正の場合${\displaystyle n}$、${\displaystyle b_{-n}}$明らかに乗算によって作用し、${\displaystyle b_{n}}$として機能${\displaystyle n\partial _{b_{-n}}}$b ₀の作用はゼロによる乗算であり、b n 、n ≥ 0 によって張られる部分代数の自明な表現によって誘導されるハイゼンベルク・リー代数の「運動量ゼロ」フォック表現V _{0 を生成します (整数}nに対してb _nによって生成され、交換関係 [ b _n、b _m ]= n δ _{n ,–mを持ち}ます) 。

フォック空間V _{0 は}、基底上の状態演算子マップの以下の定義によって頂点代数にすることができる。${\displaystyle b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}}}$それぞれ${\displaystyle j_{i}<0}$、

${\displaystyle Y(b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}},z):={\frac {1}{(-j_{1}-1)!(-j_{2}-1)!\cdots (-j_{k}-1)!}}:\partial ^{-j_{1}-1}b(z)\partial ^{-j_{2}-1}b(z)...\partial ^{-j_{k}-1}b(z):}$

どこ${\displaystyle$ :{\mathcal {O}}:} は 演算子の正規順序付けを表します${\displaystyle {\mathcal {O}}}$頂点演算子は、多変数関数 f の関数として次のように表すこともできます。

${\displaystyle Y[f,z]\equiv :f\left({\frac {b(z)}{0!}},{\frac {b'(z)}{1!}},{\frac {b''(z)}{2!}},...\right):}$

fの展開における各項が正規順序になっていると理解すれば、

ランクn の自由ボソンは、ランク 1 の自由ボソンのn重テンソル積をとることによって与えられます。n次元空間の任意のベクトルbに対して、係数がランクnハイゼンベルク代数の要素である場b ( z ) があり、その交換関係には追加の内積項があります: [ b _n , c _m ]= n (b,c) δ _n,–m。

ハイゼンベルク頂点演算子代数には、パラメータを持つ共形ベクトルの1パラメータ族が存在する。${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$共形ベクトルの${\displaystyle \omega _{\lambda }}$によって与えられた

${\displaystyle \omega _{\lambda }={\frac {1}{2}}b_{-1}^{2}+\lambda b_{-2},}$

中央充電${\displaystyle c_{\lambda }=1-12\lambda ^{2}}$[ ^{4 ]​}

いつ${\displaystyle \lambda =0}$ヴィラソロ文字には以下の公式があります。

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}:=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{-1}}$

これは分割の生成関数であり、q ^1/24に重み −1/2 モジュラー形式 1/η (デデキント イータ関数の逆数) を掛けたものとしても表されます。ランクn の自由ボソンは、 n個のパラメータ族のビラソロベクトルを持ち、これらのパラメータがゼロの場合、指標はq ^{n /24}に重み − n /2 モジュラー形式 η ^{− n}を掛けたものになります。

ビラソロ頂点作用素環は、 2つの理由から重要です。第一に、頂点作用素環の共形元は、ビラソロ頂点作用素環から準同型写像を標準的に誘導するため、理論において普遍的な役割を果たします。第二に、ビラソロ環のユニタリ表現の理論と密接に関連しており、これらの理論は共形場理論において重要な役割を果たします。特に、ユニタリビラソロ最小モデルは、これらの頂点環の単純な商であり、それらのテンソル積は、より複雑な頂点作用素環を組み合わせ的に構築する方法を提供します。

ビラソロ頂点作用素代数は、ビラソロ代数の誘導表現として定義されます。中心電荷cを選択すると、部分代数C [z]∂ _z + Kに対して一意の 1 次元モジュールが存在し、Kはc Idによって作用し、C [z]∂ _{z は自明に作用します。対応する誘導モジュールは、} nが 1 より大きい整数を動くとき、L _–n = –z ^−n–1 ∂ _zの多項式によって張られます。このモジュールの分割関数は次のようになります。

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {R} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 2}(1-q^{n})^{-1}}$。

この空間は頂点演算子代数構造を持ち、頂点演算子は次のように定義されます。

${\displaystyle Y(L_{-n_{1}-2}L_{-n_{2}-2}...L_{-n_{k}-2}|0\rangle ,z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}L(z)\partial ^{n_{2}}L(z)...\partial ^{n_{k}}L(z):}$

そして${\displaystyle \omega =L_{-2}|0\rangle }$ヴィラソロ場L(z)がそれ自身に関して局所的であるという事実は、その自己交換子の式から推論できる。

${\displaystyle [L(z),L(x)]=\left({\frac {\partial }{\partial x}}L(x)\right)w^{-1}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-2L(x)x^{-1}{\frac {\partial }{\partial z}}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-{\frac {1}{12}}cx^{-1}\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{3}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)}$

ここで、cは中心電荷である。

中心電荷cを持つ Virasoro 頂点代数から任意の他の頂点代数への頂点代数準同型写像が与えられたとき、ω の像に付随する頂点演算子は自動的に Virasoro 関係を満たし、すなわち ω の像は共形ベクトルとなる。逆に、頂点代数内の任意の共形ベクトルは、ある Virasoro 頂点演算子代数から、特別な頂点代数準同型写像を誘導する。

ビラソロ頂点演算子代数は単純ですが、互いに素な整数p、q が厳密に 1 より大きい場合、 c が1–6( p – q ) ² / pqの形をとる場合を除いて、例外があります。これは Kac の行列式公式から導かれます。このような例外的な場合、一意の最大イデアルが存在し、対応する商は最小モデルと呼ばれます。p = q +1 の場合、頂点代数はビラソロのユニタリ表現であり、そのモジュールは離散級数表現として知られています。これらは、非常に扱いやすいため、共形場理論において重要な役割を果たしており、小さな p に対しては、例えばイジングモデル、三臨界イジングモデル、三状態ポッツモデルなど、よく知られた統計力学系の臨界状態に対応します。Weiqang Wang ^{[ 5 ]}の融合規則に関する研究により、ユニタリ最小モデルのテンソル圏の完全な記述が得られています。例えば、c = 1/2 (イジング) の場合、最小のL ₀重み 0、1/2、および 1/16 を持つ 3 つの既約モジュールがあり、その融合環はZ [ x , y ]/( x ² –1, y ² – x –1, xy – y ) です。

ハイゼンベルク・リー代数を、ねじれのないアフィン・カッツ・ムーディー・リー代数（すなわち、有限次元単純リー代数上のループ代数の普遍的中心拡張）に置き換えることで、自由ボソン頂点代数の構築とほぼ同じ方法で真空表現を構築することができる。この代数は、ウェス・ズミノ・ウィッテン模型の電流代数として現れ、中心拡張として解釈される異常を生み出す。

具体的には、中央の拡張部分を後退させる

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} \to {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]\to 0}$

包含に沿って${\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]}$分裂拡張が得られ、真空モジュールは後者の1次元表現から誘導され、その表現には中心基底要素が「レベル」と呼ばれる選択された定数によって作用する。中心要素は有限型リー代数上の不変内積と同一視できるため${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$通常は、キリング形式のレベルが双対コクセター数の2倍になるようにレベルを正規化します。同様に、レベル1は、最長根のノルムが2である内積を与えます。これは、レベルが単連結コンパクトリー群の第3コホモロジーによって離散化されるループ代数の慣例と一致します。

有限型リー代数の基底J ^{a を選択することで、} J ^a _n = J ^a t ⁿと中心要素Kを用いてアフィンリー代数の基底を構成できる。再構成により、頂点演算子を場の導関数の正規順序積で記述できる。

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}^{a}z^{-n-1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(J^{a}t^{n})z^{-n-1}.}$

レベルが非臨界である場合、すなわち内積がキリング形式のマイナス半分でない場合、真空表現は菅原構成によって与えられる共形要素を持つ。^{[ b ]}レベル1の内積に関する任意の双対基底J ^a、J _aの選択に対して、共形要素は

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}J_{a,-1}J_{-1}^{a}1}$

そして、中心電荷が${\displaystyle k\cdot \dim {\mathfrak {g}}/(k+h^{\vee })}$臨界レベルでは、分母がゼロになるため共形構造は破壊されますが、k が臨界に近づくにつれて極限を取ることで、n ≥ –1の演算子L _{nを生成することができます。}

乗法Yを持つ頂点代数Vが与えられたとき、V加群とは、以下の条件を満たす作用Y ^M : V ⊗ M → M (( z ))を備えたベクトル空間Mのことである。

(恒等式) Y ^M (1,z) = Id _M

（結合法則、またはヤコビ恒等式）任意のu、v ∈ V、w ∈ Mに対して、要素が存在する。

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in M[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

Y ^M ( u , z ) Y ^M ( v , x ) wおよびY ^M ( Y ( u , z – x ) v , x ) wは 、対応する展開である。${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$M (( z ))(( x )) およびM (( x ))(( z – x ))において。同様に、次の「ヤコビ恒等式」が成り立つ。

${\displaystyle z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y^{M}(u,x)Y^{M}(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y^{M}(v,y)Y^{M}(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y^{M}(Y(u,z)v,y)w.}$

頂点代数のモジュールはアーベル圏を形成する。頂点作用素代数を扱う場合、上記の定義は弱定義と呼ばれることがある。${\displaystyle V}$-モジュール、そして真のV -モジュールは、共形ベクトルによって与えられる共形構造を尊重しなければならない。${\displaystyle \omega }$より正確には、 L _{0 が}有限次元の固有空間とZの各コセットで下限を持つ固有値で半単純に作用するという追加条件を満たす必要がある。 Huang、Lepowsky、Miyamoto、および Zhang の研究は、さまざまな一般性レベルで、頂点作用素代数のモジュールが融合テンソル積演算を許容し、編み込みテンソル圏を形成することを示した。

V加群の圏が有限個の既約対象を持つ半単純である場合、頂点作用素環Vは有理的と呼ばれる。追加の有限性仮説 (朱のC ₂共有限性条件として知られる) を満たす有理頂点作用素環は特に性質が良いことが知られており、正則と呼ばれる。例えば、朱の 1996 年のモジュラー不変性定理は、正則 VOA の加群の指標がベクトル値表現を形成すると主張している。${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$特に、VOAが正則である場合、つまりその表現圏がベクトル空間の表現圏と等価である場合、その分割関数は次のようになります。${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$定数を除いて不変である。黄は、正則VOAの加群の圏がモジュラーテンソル圏であり、その融合規則がVerlindeの公式を満たすことを示した。

ハイゼンベルク代数のモジュールはフォック空間として構成できる。${\displaystyle \pi _{\lambda }}$のために${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$これらは、真空ベクトルによって与えられるハイゼンベルク・リー代数の誘導表現である。${\displaystyle v_{\lambda }}$満足${\displaystyle b_{n}v_{\lambda }=0}$のために${\displaystyle n>0}$、${\displaystyle b_{0}v_{\lambda }=0}$負のモードによって自由に作用される${\displaystyle b_{-n}}$のために${\displaystyle n>0}$空間は次のように書くことができる。${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]v_{\lambda }}$. 還元不可能な、${\displaystyle \mathbb {Z} }$次数が下に制限されている次数付きハイゼンベルク代数モジュールは、この形式です。

これらは格子頂点代数を構成するために使用され、ベクトル空間としてはハイゼンベルク加群の直和であり、${\displaystyle Y}$モジュール要素にも適切に拡張されます。

モジュール圏は半単純ではありません。なぜなら、b _{0 が}非自明なジョルダン ブロックによって作用するアーベル リー代数の表現を誘導できるからです。ランクn の自由ボソンの場合、複素n次元空間の各ベクトル λ に対して既約モジュールV _{λが存在します。各ベクトル}b ∈ C ^{n は}演算子b ₀を生成し、フォック空間V _{λ は、そのような各}b ₀が内積 ( b , λ ) によるスカラー乗算として作用するという性質によって区別されます。

通常の環とは異なり、頂点代数では自己同型写像​​に付随するねじれ加群の概念が許容される。位数Nの自己同型写像​​ σ に対して、作用はV ⊗ M → M (( z ^1/N )) の形をとり、次のモノドロミー条件が成り立つ。u ∈ Vがσ u = exp(2π ik / N ) u を満たす場合、n がn + k / N ∈ Zを満たさない限りu _n = 0 となる(専門家の間では符号について意見の相違がある)。幾何学的には、ねじれ加群は分岐ガロア被覆を持つ代数曲線の分岐点に付随させることができる。共形場理論の文献では、ねじれ加群はねじれセクターと呼ばれ、オービフォールド上の弦理論と密接に関連している。

格子頂点代数の構成は、頂点代数を定義するそもそもの動機であった。これは、格子ベクトルに対応するハイゼンベルク代数の既約加群の和を取り、それらの間の絡み合い演算子を指定することによって乗算演算を定義することによって構成される。つまり、Λが偶格子である場合（格子が偶格子でない場合は、得られる構造は頂点超代数となる）、格子頂点代数VΛ_は、自由ボソン加群に次のように分解される。

${\displaystyle V_{\Lambda }\cong \bigoplus _{\lambda \in \Lambda }V_{\lambda }}$

格子頂点代数は、格子自体ではなく、偶数整数格子の二重被覆に標準的に付随します。このような格子はそれぞれ同型を除いて一意の格子頂点代数を持ちますが、格子自己同型には持ち上げに関する曖昧性があるため、頂点代数の構成は関数的ではありません。^{[ 1 ]}

問題となっている二重カバーは、同型を除いて次の規則によって一意に決定されます。要素は、格子ベクトルα ∈ Λに対して±e _{α の}形を持ち（つまり、符号を忘れるe _αを α に写すΛへの写像が存在します）、乗算は関係e _α e _β = (–1) ^(α,β) e _β e _αを満たします。これを別の方法で説明すると、偶数格子Λが与えられたとき、(− 1 ) ( α , ^{β ) =} ε ( ^{α ,} β ) ε ( β , α )となるような、一意の (境界を除いて) 正規化されたコサイクルε ⁽ α , β )が存在し、正規化条件は、すべてのα ∈ Λに対して ε(α, 0) = ε(0, α) = 1 であるということです。この共環は次数 2 の群によるΛの中心拡張を誘発し、基底e _α ( α ∈ Λ)と乗算規則e _α e _β = ε ( α , β ) e _{α + β}を持つねじれた群環C _ε [Λ]が得られます。ε の共環条件は環の結合性を保証します。^{[ 6 ]}

フォック空間 Vλ における_最小重みベクトルvλに付随する頂点演算子は

${\displaystyle Y(v_{\lambda },z)=e_{\lambda }:\exp \int \lambda (z):=e_{\lambda }z^{\lambda }\exp \left(\sum _{n<0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right)\exp \left(\sum _{n>0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right),}$

ここで、zλ^は_、 α-フォック空間Vαの任意の要素を単項式z ^{( λ , α )}に変換する線形写像の略記である。フォック空間の他の要素の頂点演算子は、再構成によって決定される。

自由ボソンの場合と同様に、ベクトル空間Λ ⊗ Cの要素sによって与えられる共形ベクトルを選択できますが、追加のフォック空間が整数L ₀固有値を持つという条件により、sの選択が制限されます。正規直交基底x _iに対して、ベクトル 1/2 x _i,1 ² + s ₂は、すべての λ ∈ Λ に対して( s , λ ) ∈ Zを満たさなければなりません。つまり、 s は双対格子内にあります。

偶数格子Λがその「ルートベクトル」（(α, α)=2を満たすもの）によって生成され、任意の2つのルートベクトルが連続する内積がゼロでないルートベクトルの連鎖によって結合されている場合、頂点演算子代数は、レベル1の対応する単純リー代数のアフィンKac–Moody代数の真空モジュールの唯一の単純商となります。これはFrenkel–Kac（またはFrenkel – Kac – Segal ）構成として知られており、双対共鳴モデルにおけるタキオン頂点演算子のSergio FubiniとGabriele Venezianoによる以前の構成に基づいています。他の特徴の中でも、ルートベクトルに対応する頂点演算子のゼロモードは、 Jacques Titsによる表示に関連する、基礎となる単純リー代数の構成を与えます。特に、すべてのADE型リー群の構成が、そのルート格子から直接得られます。そしてこれは、248次元群E8_を構成する最も簡単な方法として一般的に考えられています。^{[ 6 ] [ 7 ]}

モンスター頂点代数${\displaystyle V^{\natural }}$（「ムーンシャインモジュール」とも呼ばれる）は、ボルチャーズによるモンストラス・ムーンシャイン予想の証明の鍵となる。これは1988年にフレンケル、レポウスキー、ミュールマンによって構築された。その指標が定数項のないj不変量であることは注目に値する。${\displaystyle j(\tau )-744}$、そしてその自己同型群はモンスター群である。これは、リーチ格子から構築された格子頂点代数を、リーチ格子を原点で反射することによって誘導される位数2の自己同型によってオービフォールディングすることによって構築される。つまり、リーチ格子VOAとねじれ加群の直和を形成し、誘導された対合の下での固定点を取る。フレンケル、レポウスキー、およびムールマンは1988年に次のように予想した。${\displaystyle V^{\natural }}$は中心電荷24の唯一の正則頂点作用素代数であり、分割関数は${\displaystyle j(\tau )-744}$この推測はまだ未解決である。

マリコフ、シェヒトマン、およびヴァイントロブは、局所化の方法により、bcβγ（ボソン-フェルミオン超場）系を滑らかな複素多様体に正準的に付加できることを示した。この層の複体は特別な微分を持ち、大域コホモロジーは頂点超代数である。ベン＝ズヴィ、ヘルアニ、およびシュチェスニーは、多様体上のリーマン計量がN =1超共形構造を誘導し、計量がケーラーかつリッチ平坦であればN =2構造に昇格し、ハイパーケーラー構造であればN =4構造を誘導することを示した。ボリソフとリブゴバーは、コンパクト複素多様体の2変数楕円種数をカイラル・ド・ラーム複体のコホモロジーから得ることができることを示した。多様体がカラビ・ヤウ多様体であれば、この種数は弱ヤコビ形式である。^{[ 8 ]}

頂点代数は、高次元量子場理論のサブセクターとして発生し、高次元理論が定義されている空間の 2 次元実数部分多様体に局在化します。典型的な例は、任意の 4d N =2超共形場理論に頂点代数を関連付ける Beem、Leemos、Liendo、Peelaers、Rastelli、van Rees の構成です。^{[ 9 ]}この頂点代数は、その指標が 4d 超共形理論の Schur 指数と一致するという性質を持ちます。理論が弱結合極限を許容する場合、頂点代数は bcβγ システムのBRST 縮約として明示的に記述されます。