トプリッツオペレーター

作用素論において、トープレッツ作用素とは、円上の乗算作用素をハーディ空間に圧縮したものである。

させて$\displaystyle S^{1}}$複素平面上の単位円とし、標準ルベーグ測度を持ち、${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$複素数値の二乗可積分関数のヒルベルト空間とする。有界な可測複素数値関数${\displaystyle g}$の上$\displaystyle S^{1}}$乗算演算子を定義します${\displaystyle M_{g}}$の上${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$。 させて${\displaystyle P}$投影は${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$ハーディのスペースへ${\displaystyle H^{2}}$記号を持つトプリッツ演算子${\displaystyle g}$定義される

${\displaystyle T_{g}=PM_{g}\vert _{H^{2}},}$

ここで「|」は制限を意味します。

上の有界作用素${\displaystyle H^{2}}$トプリッツであるのは、基底におけるその行列表現が${\displaystyle \{z^{n},z\in \mathbb {C} ,n\geq 0\}}$対角線の長さは一定です。

• 定理:${\displaystyle g}$連続である場合、${\displaystyle T_{g}-\lambda }$フレドホルムであるのは、${\displaystyle \lambda }$セットに含まれていません${\displaystyle g(S^{1})}$フレドホルムの場合、その指数は、によって描かれた曲線の巻き数から引いた値になります。${\displaystyle g}$起源に関して。

証明については、Douglas (1972 、p.185)を参照のこと。彼はこの定理をMark Krein、Harold Widom 、およびAllen Devinatzに帰属させている。これは、Atiyah-Singer指数定理の重要な特殊ケースと考えることができる。

• アクサー・チャン・サラソン定理：演算子${\displaystyle T_{f}T_{g}-T_{fg}}$コンパクトであるのは、${\displaystyle H^{\infty }[{\bar {f}}]\cap H^{\infty }[g]\subseteq H^{\infty }+C^{0}(S^{1})}$。

ここ、$\displaystyle H^{\infty }}$は、の閉じた部分代数を表す。${\displaystyle L^{\infty }(S^{1})}$解析関数（負のフーリエ係数がゼロになる関数）の${\displaystyle H^{\infty }[f]}$は、の閉部分代数である。${\displaystyle L^{\infty }(S^{1})}$によって生成されました${\displaystyle f}$そして$\displaystyle H^{\infty }}$、 そして${\displaystyle C^{0}(S^{1})}$は、円上の連続関数の空間（代数的集合として）である。S.Axler 、SY.Chang、D.Sarason（1978）を参照。

• トープレッツ行列– 行をずらした行列 

• S. Axler、SY. Chang、D. Sarason (1978)、「トープレッツ作用素の積」、積分方程式と作用素論、1 (3): 285–309、doi : 10.1007/BF01682841、S2CID 120610368 {{citation}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
• ベッチャー、アルブレヒト。 Grudsky、Sergei M. (2000)、Toeplitz Matrices、Asymptotic Linear Algebra、および Functional Analysis、Birkhäuser、ISBN 978-3-0348-8395-5。
• ベッチャー、A. ; Silbermann, B. (2006)、テプリッツ演算子の分析、Springer Monographs in Mathematics (第 2 版)、Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-32434-8。
• ダグラス、ロナルド（1972）、『作用素論におけるバナッハ代数の技法』、アカデミック・プレス。
• ローゼンブラム、マーヴィン、ロヴニャク、ジェームズ (1985)、『ハーディクラスと作用素論』、オックスフォード大学出版局ドーバー出版より1997年に再版、ISBN 978-0-486-69536-5。