頂点作用素代数

数学において、頂点作用素代数( VOA ) は、 2 次元共形場理論と弦理論で重要な役割を果たす代数構造です。物理的な応用に加えて、頂点作用素代数は、怪物ムーンシャインや幾何学的ラングランズ対応などの純粋に数学的なコンテキストでも有用であることが証明されています。

関連する頂点代数の概念は、イゴール・フレンケルによる無限次元リー代数の構成に触発されて、リチャード・ボーチャーズによって 1986 年に導入されました。この構成の過程で、格子の要素に付随する頂点演算子の作用を許容するフォック空間が使用されます。ボーチャーズは、格子頂点演算子間の関係を公理化することで頂点代数の概念を定式化し、フレンケルの方法に従って新しいリー代数を構築できる代数構造を生み出しました。

頂点作用素代数の概念は、1988 年にFrenkel、 James Lepowsky、Arne Meurmanによって、ムーンシャイン モジュールを構築するプロジェクトの一環として、頂点代数の概念の修正として導入されました。彼らは、「自然界に」現れる多くの頂点代数はVirasoro 代数の作用を持ち、エネルギー作用素に関して下界特性を満たすことを観察しました。この観察に基づいて、彼らは Virasoro 作用と下界特性を公理として追加しました。

今では、物理学からこれらの概念に対する事後的な動機と、当初は知られていなかった公理のいくつかの解釈が得られています。物理的には、2 次元共形場理論の点における正則場挿入から生じる頂点演算子は、挿入が衝突するときに演算子積展開を許容し、これらは頂点演算子代数の定義で指定された関係を正確に満たします。実際、頂点演算子代数の公理は、物理学者がカイラル代数 (数学における同名のより正確な概念と混同しないでください) または「カイラル対称性の代数」と呼ぶものの正式な代数的解釈であり、これらの対称性は、共形不変性を含む、特定の共形場理論によって満たされるウォード恒等式を記述します。頂点代数公理の他の定式化には、ボルチャーズの後期の研究である特異可換環、黄、クリズらによって導入された曲線上の特定のオペランド上の代数、アレクサンダー・ベイリンソンとウラジミール・ドリンフェルドによって導入されたカイラル代数と呼ばれるD-加群理論的対象、および同じくベイリンソンとドリンフェルドによって導入された因数分解代数などがある。

頂点作用素代数の重要な基本例としては、格子 VOA（格子共形場理論のモデル化）、アフィンKac–Moody 代数の表現によって与えられる VOA（ WZW モデルから）、 Virasoro 代数の表現に対応する VOA である Virasoro VOA 、およびモンスター対称性によって特徴付けられるムーンシャイン モジュール V ^{♮などがあります。アフィン W 代数や複素}多様体上のカイラル de Rham 複体などのより洗練された例は、幾何学的表現論や数理物理学で登場します。

頂点代数は、特定の公理を満たすデータの集合です。

• ベクトル空間 、状態空間と呼ばれる。基礎となる体は通常は複素数とされるが、Borcherds の元の定式化では任意の可換環が許容されていた。${\displaystyle V}$
• 恒等元。真空状態を示すためにまたは と書かれることもある。${\displaystyle 1\in V}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle \Omega }$
• 自己準同型 、いわゆる「変換」。(ボルチャーズの元の定式化には のべき乗の分割体系が含まれていたが、これは彼が基底環が分割可能であると仮定していなかったためである。)${\displaystyle T:V\rightarrow V}$${\displaystyle T}$
• 線形乗法マップ、ここで はの係数を持つすべての形式ローラン級数の空間です。この構造には、いくつかの代替表現があります。 ${\displaystyle Y:V\otimes V\rightarrow V((z))}$${\displaystyle V((z))}$${\displaystyle V}$
  • およびである双線型積の無限集合として、したがって各 に対して、に対して となるようなが存在する。${\displaystyle \cdot _{n}:u\otimes v\mapsto u_{n}v}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle u_{n}\in \mathrm {End} (V)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle N}$${\displaystyle u_{n}v=0}$${\displaystyle n<N}$
  • を左乗法写像 として表す。これは、いわゆる状態-体対応の「状態-体」写像である。各 に対して、自己準同値形式分布は頂点演算子または体と呼ばれ、 の係数は演算子 である。頂点代数の文脈では、体とはより正確には の元であり、十分に小さい（ に依存する場合がある） の任意の に対して と表記できる。乗法の標準的な表記法は、${\displaystyle V\rightarrow \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle Y(u,z)}$${\displaystyle z^{-n-1}}$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$${\displaystyle A(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }A_{n}z^{n},A_{n}\in \mathrm {End} (V)}$${\displaystyle v\in V,A_{n}v=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle v}$

$${\displaystyle u\otimes v\mapsto Y(u,z)v=\sum _{n\in \mathbf {Z} }u_{n}vz^{-n-1}.}$$

これらのデータは、次の公理を満たす必要があります。

• 同一性。任意のおよびについて。^[a]${\displaystyle u\in V\,,\,Y(1,z)u=u}$${\displaystyle \,Y(u,z)1\in u+zV[[z]]}$
• 翻訳。 、および任意の、${\displaystyle T(1)=0}$${\displaystyle u,v\in V}$

${\displaystyle [T,Y(u,z)]v=TY(u,z)v-Y(u,z)Tv={\frac {d}{dz}}Y(u,z)v}$

• 局所性（ヤコビ恒等式、またはボルチャード恒等式）。任意の に対して、次の正の整数Nが存在する。${\displaystyle u,v\in V}$

${\displaystyle (z-x)^{N}Y(u,z)Y(v,x)=(z-x)^{N}Y(v,x)Y(u,z).}$

局所性公理には文献で同等の定式化がいくつかある。例えば、フレンケル・レポフスキー・ミュールマンはヤコビ恒等式を導入した。 ${\displaystyle \forall u,v,w\in V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y(u,x)Y(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y(v,y)Y(u,x)w\\=&y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y(Y(u,z)v,y)w\end{aligned}},}$

ここで、正式なデルタ級数を次のように定義します。

${\displaystyle \delta \left({\frac {y-x}{z}}\right):=\sum _{s\geq 0,r\in \mathbf {Z} }{\binom {r}{s}}(-1)^{s}y^{r-s}x^{s}z^{-r}.}$

ボルチャーズ^[1]は当初、次の2つの恒等式を使用した。任意のベクトルu、v、wと整数m、nに対して、

${\displaystyle (u_{m}(v))_{n}(w)=\sum _{i\geq 0}(-1)^{i}{\binom {m}{i}}\left(u_{m-i}(v_{n+i}(w))-(-1)^{m}v_{m+n-i}(u_{i}(w))\right)}$

そして

${\displaystyle u_{m}v=\sum _{i\geq 0}(-1)^{m+i+1}{\frac {T^{i}}{i!}}v_{m+i}u}$。

彼は後に、同等でありながらより使いやすい拡張版を提示した。任意のベクトルu 、 v 、 wと整数m、n、qに対して、

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbf {Z} }{\binom {m}{i}}\left(u_{q+i}(v)\right)_{m+n-i}(w)=\sum _{i\in \mathbf {Z} }(-1)^{i}{\binom {q}{i}}\left(u_{m+q-i}\left(v_{n+i}(w)\right)-(-1)^{q}v_{n+q-i}\left(u_{m+i}(w)\right)\right)}$

最後に、局所性の形式関数バージョンがあります。任意の に対して、要素 ${\displaystyle u,v,w\in V}$

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]]\left[z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}\right]}$

および は、およびにおけるの対応する展開である。 ${\displaystyle Y(u,z)Y(v,x)w}$${\displaystyle Y(v,x)Y(u,z)w}$${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$${\displaystyle V((z))((x))}$${\displaystyle V((x))((z))}$

頂点作用素代数は、共形要素 を備えた頂点代数であり、頂点作用素は重み 2 の Virasoro 体です。 ${\displaystyle \omega \in V}$${\displaystyle Y(\omega ,z)}$${\displaystyle L(z)}$

${\displaystyle Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\omega _{n}{z^{-n-1}}=L(z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

以下の特性を満たします。

• ${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{12}}\delta _{m+n,0}(m^{3}-m)c\,\mathrm {Id} _{V}}$ここで、 は中心電荷と呼ばれる定数、またはの階数です。特に、この頂点演算子の係数は、中心電荷 を持つ Virasoro 代数の作用をもたらします。${\displaystyle c}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle L_{0}}$下方に有界な整数固有値を持つ に対して半単純に作用します。${\displaystyle V}$
• の固有値によって提供される次数付けの下では、 の乗算は、と が同次であれば は次数 の同次であるという意味において同次です。${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u_{n}v}$${\displaystyle \mathrm {deg} (u)+\mathrm {deg} (v)-n-1}$
• 恒等元は次数 0 で、等角元は次数 2 です。${\displaystyle 1}$${\displaystyle \omega }$
• ${\displaystyle L_{-1}=T}$。

頂点代数の準同型は、追加の恒等変換、変換、および乗算構造を尊重する基礎ベクトル空間のマップです。頂点演算子代数の準同型には、共形ベクトルを尊重するかどうかに応じて、「弱い」形式と「強い」形式があります。

頂点代数は、すべての頂点演算子が互いに可換である場合に可換である。これは、すべての積が にある、または であるという性質と同等である。したがって、可換頂点代数の別の定義は、すべての頂点演算子がで正則であるというものである。^[2]${\displaystyle V}$${\displaystyle Y(u,z)}$${\displaystyle Y(u,z)v}$${\displaystyle V[[z]]}$${\displaystyle Y(u,z)\in \operatorname {End} [[z]]}$${\displaystyle Y(u,z)}$${\displaystyle z=0}$

可換頂点代数が与えられると、乗算の定数項はベクトル空間に可換かつ結合的な環構造を与え、真空ベクトルは単位であり、微分です。したがって、可換頂点代数は、微分を持つ可換単位代数の構造を備えています。逆に、微分を持つ任意の可換環は、標準頂点代数構造を持ち、 と設定するので、 は代数積を持つ乗算マップであるマップに制限されます。微分が消える場合は、 を設定して、次数 0 に集中した頂点演算子代数を取得できます。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y(u,z)v=u_{-1}vz^{0}=uv}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y:V\rightarrow \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle u\mapsto u\cdot }$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega =0}$

任意の有限次元頂点代数は可換である。

したがって、非可換頂点代数の最も小さな例でさえ、重要な導入が必要になります。

頂点代数における変換演算子は、積構造に無限小対称性を誘導し、次の特性を満たします。 ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle \,Y(u,z)1=e^{zT}u}$
• ${\displaystyle \,Tu=u_{-2}1}$なので、によって決定されます。${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle \,Y(Tu,z)={\frac {\mathrm {d} Y(u,z)}{\mathrm {d} z}}}$
• ${\displaystyle \,e^{xT}Y(u,z)e^{-xT}=Y(e^{xT}u,z)=Y(u,z+x)}$
• （歪対称）${\displaystyle Y(u,z)v=e^{zT}Y(v,-z)u}$

頂点演算子代数の場合、他の Virasoro 演算子も同様の特性を満たします。

• ${\displaystyle \,x^{L_{0}}Y(u,z)x^{-L_{0}}=Y(x^{L_{0}}u,xz)}$
• ${\displaystyle \,e^{xL_{1}}Y(u,z)e^{-xL_{1}}=Y(e^{x(1-xz)L_{1}}(1-xz)^{-2L_{0}}u,z(1-xz)^{-1})}$
• (準共形性)すべての に対して。${\displaystyle [L_{m},Y(u,z)]=\sum _{k=0}^{m+1}{\binom {m+1}{k}}z^{k}Y(L_{m-k}u,z)}$${\displaystyle m\geq -1}$
• （結合性、またはいとこ則）：任意の に対して、要素${\displaystyle u,v,w\in V}$

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

定義で与えられたものはにも拡張されます。 ${\displaystyle Y(Y(u,z-x)v,x)w}$${\displaystyle V((x))((z-x))}$

頂点代数の結合法則は、 との交換子が の有限のべき乗によって消滅するという事実から導かれます。つまり、の係数を持つ の形式デルタ関数の導関数の有限線形結合として展開できます。 ${\displaystyle Y(u,z)}$${\displaystyle Y(v,z)}$${\displaystyle z-x}$${\displaystyle (z-x)}$${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$

再構成: を頂点代数とし、を対応する体 を持つベクトルの集合とします。 が体の正の重み係数の単項式 (つまり、に適用された演算子の有限積、ただし は負) によって張られる場合、そのような単項式の演算子積を体のべき乗微分の正規順序積として表すことができます(ここで、正規順序とは、左側の極性項が右側に移動されることを意味します)。具体的には、 ${\displaystyle V}$${\displaystyle J_{a}}$${\displaystyle J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J_{n}^{a}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle Y(J_{n_{1}+1}^{a_{1}}J_{n_{2}+1}^{a_{2}}...J_{n_{k}+1}^{a_{k}}1,z)=:{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial z^{n_{1}}}}{\frac {J^{a_{1}}(z)}{n_{1}!}}{\frac {\partial ^{n_{2}}}{\partial z^{n_{2}}}}{\frac {J^{a_{2}}(z)}{n_{2}!}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{k}}}{\partial z^{n_{k}}}}{\frac {J^{a_{k}}(z)}{n_{k}!}}:}$

より一般的には、自己準同型とベクトル を持つベクトル空間が与えられ、ベクトルの集合に、相互に局所的で、その正の重み係数が を生成し、恒等条件と変換条件を満たす体の集合を割り当てる場合、前の式は頂点代数構造を記述します。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle J^{a}}$${\displaystyle J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$${\displaystyle V}$

頂点代数理論では、結合性により、表記法を乱用して、 について と書くことができます。 これは、演算子積展開です。同様に、 および では正規順序部分が正則であるため、これは、物理学の慣例に従って、 と書くことができます 。 ここで、同値関係は、正則項までの同値性を表します。 ${\displaystyle A,B,C\in V,}$ $${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)C=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}C.}$$$${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)=\sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}+:Y(A,z)Y(B,w):.}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$$${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)\sim \sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}},}$$ ${\displaystyle \sim }$

ここでは共形場理論でよく見られるOPEのいくつかが記録されている。^[3]

基本的な例は無限次元リー代数から来ています。

非可換頂点代数の基本的な例としては、階数 1 の自由ボソンがあり、これはハイゼンベルク頂点作用素代数とも呼ばれます。これは、フィールドb ( z ) := Y ( b , z )の係数をベクトル1に適用することで、全域集合が得られるという意味で、単一のベクトルbによって「生成」されます。基礎となるベクトル空間は無限変数多項式環で、正の に対しては、明らかに乗算によって作用し、として作用します。 b ₀の作用はゼロによる乗算であり、ハイゼンベルク リー代数の「運動量ゼロ」フォック表現V _{0 を}生成します(整数nに対してb _nによって生成され、交換関係 [ b _n , b _m ]= n δ _{n,–m )。これは、} b _n 、 n ≥ 0によって張られる部分代数の自明な表現によって誘導されます。 ${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b_{-n}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle n\partial _{b_{-n}}}$

フォック空間V ₀は、各 の基底上の状態演算子マップの次の定義によって頂点代数にすることができます。 ${\displaystyle b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}}}$${\displaystyle j_{i}<0}$

${\displaystyle Y(b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}},z):={\frac {1}{(-j_{1}-1)!(-j_{2}-1)!\cdots (-j_{k}-1)!}}:\partial ^{-j_{1}-1}b(z)\partial ^{-j_{2}-1}b(z)...\partial ^{-j_{k}-1}b(z):}$

ここで、 は演算子の通常の順序を表します。頂点演算子は、多変数関数 f の関数として次のように記述することもできます。 ${\displaystyle :{\mathcal {O}}:}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle Y[f,z]\equiv :f\left({\frac {b(z)}{0!}},{\frac {b'(z)}{1!}},{\frac {b''(z)}{2!}},...\right):}$

f の展開における各項が正規順序になっていることを理解すれば。

ランクn の自由ボソンは、ランク 1 の自由ボソンのn重テンソル積をとることで与えられます。n次元空間の任意のベクトルbに対して、係数がランクnハイゼンベルク代数の要素であるフィールドb ( z ) があり、その交換関係には追加の内積項があります: [ b _n , c _m ]= n (b,c) δ _n,–m。

ハイゼンベルクの頂点作用素代数は、共形ベクトルの1パラメータ族を持ち、共形ベクトルのパラメータは次のように与えられる。 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \omega _{\lambda }}$

${\displaystyle \omega _{\lambda }={\frac {1}{2}}b_{-1}^{2}+\lambda b_{-2},}$

中央電荷を持つ。^[4]${\displaystyle c_{\lambda }=1-12\lambda ^{2}}$

のとき、Virasoro指標には次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \lambda =0}$

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}:=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{-1}}$

これは、パーティションの生成関数であり、 q ^1/24倍の重み -1/2 モジュラー形式 1/η (デデキントのイータ関数の逆数)とも表記されます。ランクn の自由ボソンには、Virasoro ベクトルのnパラメータ族があり、これらのパラメータがゼロのとき、特性はq ^{n /24}倍の重み - n /2 モジュラー形式 η ^{- n}です。

ヴィラソロ頂点作用素代数は、 2 つの理由で重要です。第 1 に、頂点作用素代数の共形要素は、ヴィラソロ頂点作用素代数から準同型性を正準的に誘導するため、理論において普遍的な役割を果たします。第 2 に、ヴィラソロ代数のユニタリ表現の理論と密接に関連しており、共形体理論で重要な役割を果たします。特に、ユニタリ ヴィラソロ極小モデルはこれらの頂点代数の単純な商であり、そのテンソル積は、より複雑な頂点作用素代数を組み合わせ的に構築する方法を提供します。

ヴィラソロ頂点作用素代数は、ヴィラソロ代数の誘導表現として定義される。中心電荷c を選択すると、部分代数C [z]∂ _z + Kに対して、K がc Idによって作用し、C [z]∂ _{zが自明に作用する唯一の 1 次元モジュールが存在し、対応する誘導モジュールは、} n が1 より大きい整数にわたるとき、L _–n = –z ^−n–1 ∂ _zの多項式によって張られる。このとき、モジュールは分割関数を持つ。

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {R} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 2}(1-q^{n})^{-1}}$。

この空間は頂点演算子代数構造を持ち、頂点演算子は次のように定義されます。

${\displaystyle Y(L_{-n_{1}-2}L_{-n_{2}-2}...L_{-n_{k}-2}|0\rangle ,z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}L(z)\partial ^{n_{2}}L(z)...\partial ^{n_{k}}L(z):}$

そして。ヴィラソロ体L(z)がそれ自身に関して局所的である という事実は、その自己交換子の式から演繹できる。${\displaystyle \omega =L_{-2}|0\rangle }$

${\displaystyle [L(z),L(x)]=\left({\frac {\partial }{\partial x}}L(x)\right)w^{-1}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-2L(x)x^{-1}{\frac {\partial }{\partial z}}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-{\frac {1}{12}}cx^{-1}\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{3}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)}$

ここでcは中心電荷です。

中心電荷cの Virasoro 頂点代数から任意の他の頂点代数への頂点代数準同型が与えられると、ω の像に付随する頂点演算子は自動的に Virasoro 関係を満たします。つまり、ω の像は共形ベクトルです。逆に、頂点代数内の任意の共形ベクトルは、何らかの Virasoro 頂点演算子代数から、区別された頂点代数準同型を誘導します。

Virasoro 頂点作用素代数は、互いに素な整数p、q が1 より確実に大きい場合にc が1–6( p – q ) ² / pq の形式をとる場合を除いて単純です。これは Kac の行列式公式から従います。これらの例外的なケースでは、一意の最大イデアルを持ち、対応する商は極小モデルと呼ばれます。p = q +1 の場合、頂点代数は Virasoro のユニタリ表現であり、そのモジュールは離散級数表現として知られています。これらは、非常に扱いやすいという理由もあり、共形場理論で重要な役割を果たしており、pが小さい場合、臨界におけるよく知られた統計力学システム、たとえばIsing モデル、三重臨界 Ising モデル、3 状態Potts モデルなどに対応します。Weiqang Wang ^[5]による融合規則に関する研究により、ユニタリ極小モデルのテンソル カテゴリの完全な説明が得られます。例えば、c =1/2（イジング）のとき、L _{0 の}重みが最低の0、1/2、1/16の3つの既約加群があり、その融合環はZ [ x , y ]/( x ² –1, y ² – x –1, xy – y )である。

ハイゼンベルクのリー代数をねじれのないアフィンカツ・ムーディのリー代数（すなわち、有限次元単純リー代数上のループ代数の普遍中心拡大）に置き換えることによって、自由ボソン頂点代数が構築されるのとほぼ同じ方法で真空表現を構築することができます。この代数は、中心拡大として解釈される 異常性を生み出すウェス・ズーミノ・ウィッテンモデルの現在の代数として生じます。

具体的には、中央延長線を引き戻す

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} \to {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]\to 0}$

包含に沿った分割拡張が得られ、中心基底要素が「レベル」と呼ばれる選択された定数によって作用する後者の 1 次元表現から真空モジュールが誘導されます。中心要素は有限型リー代数上の不変内積と同一視できるため、通常はレベルを正規化して、キリング形式がレベル が双対コクセター数の2 倍になるようにします。同様に、レベル 1 は最長根がノルム 2 になる内積を与えます。これは、レベルが単連結コンパクトリー群の 3 番目のコホモロジーによって離散化されるループ代数の慣例と一致します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

有限型リー代数の基底J ^{a を選ぶことで、中心元}KとともにJ ^a _n = J ^a t ^{n を}使ってアフィンリー代数の基底を形成できる。再構成により、頂点演算子を体の微分の 正規順序積で記述できる。

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}^{a}z^{-n-1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(J^{a}t^{n})z^{-n-1}.}$

レベルが非臨界的、すなわち内積がキリング形式のマイナス半分でないとき、真空表現は菅原構成によって与えられる共形要素を持つ。^[b]レベル1の内積に関する 双対基底J ^a、J _aの任意の選択に対して、共形要素は

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}J_{a,-1}J_{-1}^{a}1}$

となり、中心電荷がである頂点作用素代数を生成します。臨界レベルでは、分母が 0 であるため共形構造は破壊されますが、k が臨界に近づくにつれて極限をとることで、n ≥ –1に対して作用素L _{n を}生成することができます。 ${\displaystyle k\cdot \dim {\mathfrak {g}}/(k+h^{\vee })}$

通常の環と同様に、頂点代数にはモジュールまたは表現の概念があります。モジュールは共形場理論で重要な役割を果たし、セクターと呼ばれることがよくあります。物理学の文献における標準的な仮定は、共形場理論の完全なヒルベルト空間が左に移動するセクターと右に移動するセクターのテンソル積の合計に分解されるというものです。

${\displaystyle {\mathcal {H}}\cong \bigoplus _{i\in I}M_{i}\otimes {\overline {M_{i}}}}$

つまり、共形場理論には、左に動くカイラル対称性の頂点作用素代数と、右に動くカイラル対称性の頂点作用素代数があり、特定の方向に動くセクターは、対応する頂点作用素代数のモジュールです。

乗算Yを持つ頂点代数Vが与えられたとき、V加群は、作用Y ^M : V ⊗ M → M (( z )) を備えたベクトル空間Mであり、次の条件を満たします。

（同一性）Y ^M（1,z）= Id _M

（結合性、またはヤコビ恒等式）任意のu、v∈V、w∈Mに対して、元が存在する。

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in M[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

Y ^M ( u , z ) Y ^M ( v , x ) wとY ^M ( Y ( u , z – x ) v , x ) w はそれぞれ M (( z ))(( x )) と M (( x ))(( z – x )) における の対応する展開です。同様に、次の「ヤコビ恒等式」が成り立ちます。 ${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$

${\displaystyle z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y^{M}(u,x)Y^{M}(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y^{M}(v,y)Y^{M}(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y^{M}(Y(u,z)v,y)w.}$

頂点代数の加群はアーベル圏を形成する。頂点作用素代数を扱う場合、前述の定義は弱加群${\displaystyle V}$と呼ばれることもあり、真のV加群は共形ベクトル によって与えられる共形構造を尊重しなければならない。より正確には、 L _{0 が}Zの各剰余類において下方に有界な有限次元固有空間および固有値に対して半単純に作用するという追加条件を満たす必要がある。Huang、Lepowsky、Miyamoto、および Zhang ^[要出典]の研究は、さまざまな一般性レベルで、頂点作用素代数の加群が融合テンソル積演算を許容し、編組テンソル圏 を形成することを示している。 ${\displaystyle \omega }$

V加群のカテゴリが半単純で、有限個の既約オブジェクトがある場合、頂点作用素代数Vは有理数と呼ばれます。追加の有限性仮説 (Zhu のC ₂共有限性条件として知られる) を満たす有理数頂点作用素代数は、特に行儀が良いことが知られており、正則 と呼ばれます。たとえば、Zhu の 1996 年のモジュラー不変性定理は、正則 VOA の加群のキャラクターが のベクトル値表現を形成することを主張しています。特に、VOA が正則 である場合、つまり、その表現カテゴリがベクトル空間の表現カテゴリと等しい場合、その分割関数は定数まで -不変です。Huang は、正則 VOA の加群のカテゴリがモジュラーテンソルカテゴリであり、その融合規則がVerlinde 公式を満たすことを示しまし た。 ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

ハイゼンベルク代数の加群は、 に対して を満たす真空ベクトルによって与えられる、ハイゼンベルクリー代数 の誘導表現であるフォック空間 として構成することができ、に対して負のモードによって自由に 作用されます。この空間は と書くことができます。 以下に有界な段階を持つすべての既約で - 段階のハイゼンベルク代数加群はこの形式です。 ${\displaystyle \pi _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle v_{\lambda }}$${\displaystyle b_{n}v_{\lambda }=0}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle b_{0}v_{\lambda }=0}$${\displaystyle b_{-n}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]v_{\lambda }}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

これらは、格子頂点代数を構築するために使用されます。格子頂点代数は、 の像が適切にモジュール要素に拡張された場合、ベクトル空間としてハイゼンベルク モジュールの直和になります。 ${\displaystyle Y}$

加群のカテゴリは半単純ではない。なぜなら、b _{0 が非自明な}ジョルダンブロックによって作用するアーベルリー代数の表現を誘導することができるからである。階数n の自由ボソンの場合、複素n次元空間の各ベクトル λ に対して既約加群V _λが存在する。各ベクトルb ∈ C ^{n は演算子}b _{0 を}生成し、フォック空間V _{λ は}、そのような各b _{0 が}内積 ( b、 λ ) によるスカラー乗算として作用するという特性によって区別される。

通常の環とは異なり、頂点代数は自己同型に付随するツイスト加群の概念を認める。位数Nの自己同型 σ に対して、作用は形式V ⊗ M → M (( z ^1/N )) を持ち、次のモノドロミー条件を満たす: u ∈ Vがσ u = exp(2π ik / N ) u を満たす場合、n がn + k / N ∈ Zを満たさない限り、 u _n = 0 である (専門家の間でも符号については意見の相違がある)。幾何学的には、ツイスト加群は、分岐ガロア被覆を持つ代数曲線上の分岐点に付随させることができる。共形体理論の文献では、ツイスト加群はツイストセクターと呼ばれ、オービフォールド上の弦理論と密接に関連している。

格子頂点代数の構成は、頂点代数を定義するための元々の動機でした。これは、格子ベクトルに対応するハイゼンベルク代数の既約モジュールの合計を取り、それらの間の絡み合う演算子を指定して乗算演算を定義することによって構築されます。つまり、Λが偶数格子である場合 (格子が偶数でない場合は、得られる構造は代わりに頂点超代数になります)、格子頂点代数V _Λは次のように自由ボゾン モジュールに分解されます。

${\displaystyle V_{\Lambda }\cong \bigoplus _{\lambda \in \Lambda }V_{\lambda }}$

格子頂点代数は、格子そのものではなく、偶整数格子の二重被覆に正準的に付加される。このような格子はそれぞれ同型性まで一意の格子頂点代数を持つが、格子自己同型は持ち上げる際に曖昧性を持つため、頂点代数の構成は関数的ではない。^[1]

問題の二重被覆は、次の規則によって同型性まで一意に決定されます。要素は、格子ベクトルα ∈ Λに対して±e _{α の}形を持ち（つまり、e _{α を}α に送る、符号を忘れたΛへの写像が存在する）、乗算は関係式e _α e _β = (–1) ^(α,β) e _β e _αを満たします。これを別の方法で記述すると、偶格子Λが与えられると、一意の（共境界まで）正規化されたコサイクルε ( α , β )が存在し、その値は±1であり、(−1) ^{( α , β )} = ε ( α , β ) ε ( β , α )となります。ここで、正規化条件は、すべてのα ∈ Λに対して ε(α, 0) = ε(0, α) = 1 となることです。この共環は次数 2 の群によるΛの中心拡張を誘発し、基底e _α ( α ∈ Λ)と乗算規則e _α e _β = ε ( α , β ) e _{α + β}を持つねじれた群環C _ε [Λ]が得られます。εの共環条件は環の結合性を保証します。^[6]

フォック空間Vλにおける最小重み_ベクトルvλ_に付随する頂点演算子は

${\displaystyle Y(v_{\lambda },z)=e_{\lambda }:\exp \int \lambda (z):=e_{\lambda }z^{\lambda }\exp \left(\sum _{n<0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right)\exp \left(\sum _{n>0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right),}$

ここで、z ^{λ は}、α-フォック空間V _αの任意の要素を単項式z ^{( λ , α )}に写す線型写像の省略形です。フォック空間の他の要素の頂点演算子は、再構成によって決定されます。

自由ボソンの場合と同様に、ベクトル空間Λ ⊗ Cの元sによって与えられる共形ベクトルの選択肢がありますが、追加のフォック空間が整数L _{0 の}固有値を持つという条件により、 sの選択が制約されます。正規直交基底x _iの場合、ベクトル 1/2 x _i,1 ² + s _{2 は、すべての λ ∈ Λ に対して}( s , λ ) ∈ Z を満たす必要があります。つまり、s は双対格子内にあります。

偶数格子Λ がその「ルートベクトル」（(α, α)=2 を満たすもの）によって生成され、任意の 2 つのルートベクトルが、連続する内積がゼロでないルートベクトルの連鎖によって結合されている場合、頂点作用素代数は、レベル 1 の対応する単純リー代数のアフィン Kac–Moody 代数の真空モジュールの一意の単純商です。これは、Frenkel–Kac（またはFrenkel – Kac – Segal）構成として知られ、Sergio FubiniとGabriele Venezianoによる双対共鳴モデルにおけるタキオン頂点作用素の以前の構成に基づいています。他の特徴の中でも、ルートベクトルに対応する頂点作用素のゼロモードは、もともとJacques Titsによるプレゼンテーションに関連する、基礎となる単純リー代数の構成を与えます。特に、すべての ADE 型リー群の構成を、ルート格子から直接取得します。そして、これは248次元群E8_を構築する最も簡単な方法であると一般的に考えられています。^{[6] [7]}

モンスター頂点代数 （「ムーンシャイン モジュール」とも呼ばれる）は、Borcherds のモンスター ムーンシャイン予想の証明の鍵となる。これは、1988 年に Frenkel、Lepowsky、Meurman によって構築された。これは、その特徴が定数項のないj 不変量であり、その自己同型群がモンスター グループであるため注目に値する。これは、リーチ格子から構築された格子頂点代数を、リーチ格子を原点で反射することによって誘導される 2 次自己同型でオービフォールディングすることによって構築される。つまり、リーチ格子 VOA とねじれモジュールの直和を形成し、誘導された反転の下で不動点を取る。Frenkel、Lepowsky、Meurman は 1988 年に、中心電荷 24 と分割関数 を持つ唯一の正則頂点作用素代数であると予想した。この推測はまだ未解決です。 ${\displaystyle V^{\natural }}$${\displaystyle j(\tau )-744}$${\displaystyle V^{\natural }}$${\displaystyle j(\tau )-744}$

Malikov、Schechtman、および Vaintrob は、局所化の方法によって、 bcβγ (ボソン–フェルミオン超場) システムを滑らかな複素多様体に標準的に付加できることを示した。この層の複体は顕著な微分を持ち、大域コホモロジーは頂点超代数である。Ben-Zvi、Heluani、および Szczesny は、多様体上のリーマン計量がN =1 超共形構造を誘導し、計量がケーラーかつリッチ平坦である場合にN =2 構造に昇格し、ハイパーケーラー構造がN =4 構造を誘導することを示した。Borisov と Libgober は、コンパクト複素多様体の 2 変数楕円種数を、カイラル・ド・ラーム複体のコホモロジーから取得できることを示した。多様体がカラビ–ヤウである場合、この種数は弱いヤコビ形式である。^[8]

頂点代数は、高次元量子場理論のサブセクターとして出現し、高次元理論が定義されている空間の2つの実次元部分多様体に局在する。典型的な例として、Beem、Leemos、Liendo、Peelaers、Rastelli、van Rees による構成があり、頂点代数を任意の 4d N =2超共形場理論に関連付けている。^[9]この頂点代数は、その特性が 4d 超共形理論の Schur 指数と一致するという特性を持つ。理論が弱結合限界を許容する場合、頂点代数は bcβγ システムの BRST 縮小として明示的に記述される。

基礎となるベクトル空間を超空間（すなわち、Z /2 Z次数付きベクトル空間）とすることで、頂点代数と同じデータで、V ₊に 1 、T を偶数演算子として頂点超代数を定義できます。公理は本質的に同じですが、局所性公理または同等の定式化の 1 つに適切な符号を組み込む必要があります。つまり、aとbが同次である場合、Y ( a、z ) Y ( b、w ) を ε Y ( b、w ) Y ( a、z )と比較します。ここで、 ε は、aとbが両方とも奇数の場合は –1、それ以外の場合は 1 です。さらに、 V ₂の偶数部に Virasoro 元 ω があり、通常の次数付けの制約が満たされている場合、V は頂点演算子超代数と呼ばれます。 ${\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}}$

最も単純な例の 1 つは、単一の自由フェルミオン ψ によって生成される頂点演算子超代数です。Virasoro 表現として、中心電荷は 1/2 で、最小の重み 0 と 1/2 のイジング加群の直和として分解されます。また、剰余ペアリングを持つ二次空間t ^1/2 C [ t , t ⁻¹ ]( dt ) ^1/2上のクリフォード代数のスピン表現として記述することもできます。頂点演算子超代数は、すべての加群がそれ自身の直和であるという意味において正則です。つまり、加群のカテゴリはベクトル空間のカテゴリと同等です。

自由フェルミオンのテンソル平方は自由荷電フェルミオンと呼ばれ、ボソン-フェルミオン対応により、奇格子Zに付随する格子頂点超代数と同型である。^{[6]この対応は、伊達-神保-柏原-三輪によって非線形偏微分方程式の}KP階層に対するソリトン解を構築するために使用されてきた。

ヴィラソロ代数には、超共形場理論と超弦理論に自然に現れるいくつかの超対称拡張があります。N =1、2、および 4 の超共形代数は特に重要です。

スーパーカーブ（1つの偶数ローカル座標zとN 個の奇数ローカル座標 θ ₁、...、θ _{N ）の無限小正則超共形変換は、スーパーストレスエネルギーテンソル}T (z、θ ₁、...、θ _N )の係数によって生成されます。

N =1のとき、Tの奇数部はヴィラソロ体L ( z )で与えられ、偶数部は体

${\displaystyle G(z)=\sum _{n}G_{n}z^{-n-3/2}}$

交換関係に従う

• ${\displaystyle [G_{m},L_{n}]=(m-n/2)G_{m+n}}$
• ${\displaystyle [G_{m},G_{n}]=(m-n)L_{m+n}+\delta _{m,-n}{\frac {4m^{2}+1}{12}}c}$

作用素積の対称性を調べると、体Gには2つの可能性があることがわかります。指数nがすべて整数の場合はラモンド代数、すべて半整数の場合はヌヴー・シュワルツ代数です。これらの代数は、中心電荷におけるユニタリ離散級数表現を持ちます。

${\displaystyle {\hat {c}}={\frac {2}{3}}c=1-{\frac {8}{m(m+2)}}\quad m\geq 3}$

3/2より大きいすべてのcに対してユニタリ表現があり、最小の重みhはNeveu–Schwarzの場合はh ≥ 0、Ramondの場合はh ≥ c /24によってのみ制約されます。

中心電荷cの頂点作用素代数VにおけるN =1の超共形ベクトルは、重み3/2の 奇数元τ∈Vであり、

${\displaystyle Y(\tau ,z)=G(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} +1/2}G_{n}z^{-n-3/2},}$

G _−1/2 τ = ω であり、G ( z ) の係数は中心電荷cにおけるN =1 ネヴー・シュワルツ代数の作用を生み出す。

N =2 の超対称性では、偶数フィールドL ( z ) とJ ( z )、および奇数フィールドG ⁺ (z) とG ⁻ (z) が得られます。フィールドJ ( z ) は、ハイゼンベルク代数の作用 (物理学者によってU (1) カレントとして記述される) を生成します。Gフィールドのインデックスが整数か半整数かによって、ラモンドとネヴー・シュワルツの両方のN =2 超共形代数があります。ただし、 U (1) カレントは、ラモンドとネヴー・シュワルツの間を補間する同型超共形代数の 1 パラメータ族を生じ、この構造の変形はスペクトル フローとして知られています。ユニタリー表現は、少なくとも 3 の整数mに対して中心電荷c = 3-6/ mを持つ離散級数によって与えられ、 c > 3 に対しては最小の重みの連続体によって与えられます。

頂点作用素代数上のN =2超共形構造は、重み3/2の奇数元τ + 、τ −と重み1の偶数元μのペアであり、^τ ±^はG ± ⁽ z ⁾を生成し、μ はJ ( z )を生成します。

N =3 および 4 の場合、ユニタリ表現は、 k が正の整数にわたる ため、それぞれc =3 k /2 および 6 kの離散ファミリに中心電荷のみを持ちます。

• 不動点部分代数: 対称群の頂点作用素代数への作用が与えられた場合、固定ベクトルの部分代数も頂点作用素代数になります。2013 年に、宮本は、有限の可解群作用の下で不動点を取るときに、2 つの重要な有限性特性、つまり Zhu の条件 C ₂と正則性が保持されることを証明しました。
• 現在の拡張: 頂点演算子代数と積分共形重みのいくつかのモジュールが与えられた場合、好ましい状況下では直和上の頂点演算子代数構造を記述できます。格子頂点代数は、この標準的な例です。別の例のファミリーは、フレーム付き VOA です。これは、イジング モデルのテンソル積から始まり、適切に偶数コードに対応するモジュールを追加します。
• オービフォールド: 正則 VOA に作用する有限巡回群が与えられた場合、それらのねじれモジュールが適切な共形重みを持つ限り、誘導自己同型の下で不動点を取ることで、既約なねじれモジュールを接続すれば、2 番目の正則 VOA を構築できると推測されます。これは、たとえば、格子 VOA に作用する最大 3 の順序のグループなどの特殊なケースでは真であることが知られています。
• 剰余類構成（ゴダード、ケント、オリーブによる）：中心電荷cの頂点作用素代数Vとベクトルの集合Sが与えられたとき、可換項C ( V , S ) を、 Sに由来するすべてのフィールドと厳密に可換なベクトルvの部分空間、すなわち、すべてのs ∈ Sに対してY ( s , z ) v ∈ V[[ z ]]となるように定義できます。これは、 Y、T 、および単位元がVから継承された頂点部分代数であることがわかります。また、 S が中心電荷c _Sの VOA である場合、可換項は中心電荷c – c _Sの VOA です。例えば、レベルk +1のSU (2)をレベルkと 1 の 2 つのSU (2)代数のテンソル積に埋め込むと、 p = k +2、q = k +3の Virasoro 離散級数が得られ、これは 1980 年代にその存在を証明するために使用されました。また、 SU (2) の場合、レベルk +2 をレベルkとレベル 2のテンソル積に埋め込むと、N =1 の超共形離散級数が得られます。
• BRST 還元: v ₀ ² =0を満たす任意の次数 1 ベクトルvに対して、この演算子のコホモロジーは次数付き頂点超代数構造を持ちます。より一般的には、剰余が平方ゼロである任意の重み 1 フィールドを使用できます。通常の方法は、フェルミオンでテンソル化することです。これにより、標準微分が得られます。重要な特殊なケースは、アフィン Kac-Moody 代数に量子 Drinfeld-Sokolov 還元を適用して、次数 0 コホモロジーとしてアフィンW代数を取得することです。これらのW代数は、スクリーニング演算子のカーネルによって与えられる自由ボソンの頂点部分代数としての構成も許容します。

• 頂点代数における OPE の特異部分のみを考慮すると、リー共形代数の定義に到達します。多くの場合、OPE の特異部分のみに関心があるため、リー共形代数は自然な研究対象となります。頂点代数からリー共形代数への関手があり、これは OPE の正規部分を忘れており、左随伴関数を持ちます。これは「普遍頂点代数」関手と呼ばれます。アフィン Kac-Moody 代数と Virasoro 頂点代数の真空加群は普遍頂点代数であり、特に、背景理論が展開されると非常に簡潔に記述できます。
• 文献には、頂点代数の概念の一般化がいくつかある。いくつかの穏やかな一般化では、局所性公理を弱めてモノドロミーを可能にすることが含まれる。たとえば、 Dong と Lepowsky のアーベル絡み合い代数である。これらは、頂点超代数が超ベクトル空間のカテゴリ内のオブジェクトであるのと同じように、大まかに言えば、次数付きベクトル空間の編組テンソル カテゴリ内の頂点代数オブジェクトと見なすことができる。より複雑な一般化は、 Frenkel–Reshetikhin、Etingof–Kazhdan、および Li の研究のように、 q変形と量子群の表現に関連する。
• Beilinson と Drinfeld は、頂点代数の概念と密接に関連しているが、目に見えるべき級数を使用せずに定義される、層理論的カイラル代数の概念を導入しました。代数曲線Xが与えられた場合、 X上のカイラル代数は、結合条件を満たすX × X上の乗算演算を備えたD _XモジュールAです。彼らはまた、曲線のすべての有限積上の準コヒーレント層のシステムである因数分解代数と同等の概念を導入し、さまざまな対角線の補数への引き戻しを含む適合条件も示しました。アフィン直線上の任意の平行移動同変カイラル代数は、点でファイバーを取ることによって頂点代数と同一視でき、滑らかな代数曲線上のカイラル代数を任意の頂点作用素代数に自然に関連付ける方法があります。 ${\displaystyle j_{*}j^{*}(A\boxtimes A)\to \Delta _{*}A}$

• 演算子代数
• 朱代数