最大弾性率原理

数学において、複素解析における最大係数原理は、 が正則関数である場合、係数はの領域内に厳密に収まる厳密な最大値を示すことができないと述べています。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f}$

言い換えると、 は局所的に定数関数であるか、の領域内の任意の点に対して、 で に任意に近い他の点が存在し、 はより大きな値を取るかのいずれかです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle |f|}$

を複素平面の連結な開集合上の正則関数とし、複素数値をとるものとする。が ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle |f(z_{0})|\geq |f(z)|}$

すべて に対しての近傍にあるとき、 は上で定数です。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$

このステートメントは、非定数正則関数が開集合を開集合にマッピングすることを述べた開写像定理の特殊なケースとして考えることができます。 が で局所的最大値を達成する場合、 の十分に小さい開近傍の像は開いてはならないため、 は定数です。 ${\displaystyle |f|}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f}$

が の有界で空でない連結な開部分集合であるとします。が の閉包であるとします。が 上で正則な連続関数であるとします。 すると はの境界のある点で最大値に達します。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\overline {D}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f\colon {\overline {D}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle |f(z)|}$${\displaystyle D}$

これは、最初のバージョンから次のように導かれます。はコンパクトかつ空でないため、連続関数はのある点で最大値に達します。 が境界上にない場合、最大係数原理により は定数であるため、も境界のどの点においても同じ最大値に達します。 ${\displaystyle {\overline {D}}}$${\displaystyle |f(z)|}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle {\overline {D}}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f(z)|}$

の連結開集合上の正則関数について、が の 点であって、${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle 0<|f(z_{0})|\leq |f(z)|}$

すべて に対しての近傍にあるとき、 は上で定数です。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$

証明: 最大係数原理を に適用します。 ${\displaystyle 1/f}$

平等を使うことができる

${\displaystyle \log f(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)}$

複素自然対数を使用して、 が調和関数であると推論できます。はこの関数に対しても極大値であるため、最大値原理からが 定数であることがわかります。次に、コーシー・リーマン方程式を使用して = 0であることを示します。したがっても定数です。同様の推論により、 は の孤立したゼロでのみ極小値 (必ず値 0 になる) を持つことができます。 ${\displaystyle \ln |f(z)|}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle |f(z)|}$${\displaystyle f'(z)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle |f(z)|}$${\displaystyle f(z)}$

もう 1 つの証明は、ガウスの平均値定理を使用して、重なり合う開いた円板内のすべての点が最大値と同じ値を取るように「強制」することです。円板は、その中心が、が最大になる値からドメイン内の他の任意の点まで多角形のパスを形成するように配置されますが、その円板はドメイン内に完全に含まれることになります。したがって、最大値が存在するということは、ドメイン内のすべての値が同じであり、したがってが一定であることを意味します。 ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)}$

が開いているので、となる（中心が で半径がの閉球）が存在する。そして、正の向きの閉球の境界を と定義する。コーシーの積分公式を用いると、次式が得られる。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$${\displaystyle a\in D}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)\subset D}$${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{it},t\in [0,2\pi ]}$

${\displaystyle 0\leq \int _{0}^{2\pi }|f(a)|-|f(a+re^{it})|\,dt\leq 0}$

すべての に対して、なので、 です。これは、 を中心とする半径 未満のすべての球にも当てはまります。したがって、すべての に対して、 です。 ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$${\displaystyle |f(a)|-|f(a+re^{it})|\geq 0}$${\displaystyle |f(a)|=|f(a+re^{it})|}$${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(z)=f(a)}$${\displaystyle z\in {\overline {B}}(a,r)}$

ここで、すべての について定数関数を考えてみましょう。すると、 にある、正則関数が消える相異なる点の列を構築できます。は閉じているので、列は 内のある点に収束します。これは、のどこでも が消えることを意味し、すべての について が成り立ちます。 ${\displaystyle g(z)=f(a)}$${\displaystyle z\in D}$${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$${\displaystyle gf}$${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)\in D}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f(z)=f(a)}$${\displaystyle z\in D}$

この原理の物理的な解釈は、熱方程式から得られます。つまり、 は調和なので、領域 上の熱流の定常状態です。 の内部で厳密な最大値が達成されたと仮定すると、この最大値での熱は周囲の点に拡散し、これがシステムの定常状態を表すという仮定と矛盾します。 ${\displaystyle \log |f(z)|}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

最大係数原理は複素解析において多くの用途があり、以下のことを証明するために使用できます。

• 代数学の基本定理。
• シュワルツの補題は、複素解析において多くの一般化と応用を持つ結果である。
• フラグメン-リンデレフ原理、無制限領域への拡張。
• ボレル・カラテオドリの定理は、解析関数の実部に関してその境界を定める。
• アダマールの三直線定理は、複素平面上の 2 本の平行線の間の直線上の有界正則関数の挙動についての結果です。

• ティッチマーシュ、EC (1939)。関数理論（第2版）。オックスフォード大学出版局。 （第5章を参照）
• ED Solomentsev (2001) [1994]、「最大係数原理」、数学百科事典、EMS Press
• Conway, John B. (1978)。Axler, S.、Gehring, FW、Ribet, KA (編著)。Functions of One Complex Variable I (第 2 版)。ニューヨーク: Springer Science+Business Media, Inc. ISBN 978-1-4612-6314-2。

• ワイスタイン、エリック W.「最大弾性率の原理」。マスワールド。