点ごとの有界性は一様有界性を意味するという定理
数学 において 、 一様有界性原理 または バナッハ・シュタインハウスの定理は、 関数解析 における基本的な結果の 1 つです。 ハーン・バナッハの定理 や 開写像定理 とともに 、この分野の基礎の 1 つと考えられています。基本的な形式では、 定義域が バナッハ空間である 連続線型作用素 (したがって 有界作用素 ) の族に対して、点ごとの 有界性は 作用素ノルム における一様有界性と同値であると主張しています 。
この定理は1927年にシュテファン・バナッハ と ヒューゴ・シュタインハウス によって初めて発表されました が、 ハンス・ハーン によっても独立に証明されました。
定理 最初の不等式（つまり、 すべての に対して ）は、 の関数が 点ごとに有界であることを述べており、2番目の不等式は、関数が一様に有界であることを述べています。2番目の上限は常に に等しく
、 が自明なベクトル空間でない場合（または ではなく 上限が引き継がれる場合 ）、閉じた単位球は単位球に置き換えることができます。
すする
T ∈ ふ
‖ T （ x ） ‖ < ∞
{\textstyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|<\infty }
x
{\displaystyle x}
ふ
{\displaystyle F}
すする
T ∈ ふ
‖ T
‖
B （ バツ 、 はい ）
=
すする
‖ x ‖ ≤ 1
T ∈ ふ 、
‖ T （ x ）
‖
はい
{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}=\sup _{\stackrel {T\in F,}{\|x\|\leq 1}}\|T(x)\|_{Y}}
バツ
{\displaystyle X}
[ 0 、 ∞ ]
{\displaystyle [0,\infty ]}
[ − ∞ 、 ∞ ]
{\displaystyle [-\infty ,\infty ]}
すする
T ∈ ふ
‖ T
‖
B （ バツ 、 はい ）
=
すする
‖ x ‖ = 1
T ∈ ふ 、
‖ T （ x ）
‖
はい
。
{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}=\sup _{\stackrel {T\in F,}{\|x\|=1}}\|T(x)\|_{Y}.}
バナッハ空間の完全性により、 ベールのカテゴリ定理を 使用して次の簡単な証明が可能になります 。
バツ
{\displaystyle X}
Baire の定理を使用しない簡単な証明もあります (Sokal 2011)。
帰結 上記の系は、が演算子ノルムで に収束する 、つまり有界集合上で一様に収束すること を主張するもので はありません 。ただし、は演算子ノルムで有界であり、極限演算子は 連続であるため、標準的な「 」推定により、 が コンパクト 集合上で一様に に収束することが示されます 。
T
n
{\displaystyle T_{n}}
T
{\displaystyle T}
{
T
n
}
{\displaystyle \left\{T_{n}\right\}}
T
{\displaystyle T}
3
ε
{\displaystyle 3\varepsilon }
T
n
{\displaystyle T_{n}}
T
{\displaystyle T}
証拠 本質的には、コンパクト集合上の等連続関数の各点収束列が連続関数に収束するという証明と同じです。
一様有界性原理により、 演算子ノルムの一様上限とします。
M
=
max
{
sup
n
‖
T
n
‖
,
‖
T
‖
}
{\displaystyle M=\max\{\sup _{n}\|T_{n}\|,\|T\|\}}
任意のコンパクト を固定します 。すると、任意の に対して、 半径 の 開いた球の有限集合で 有限にカバーします（コンパクト性を使用）。
K
⊂
X
{\displaystyle K\subset X}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
K
{\displaystyle K}
{
B
(
x
i
,
r
)
}
i
=
1
,
.
.
.
,
N
{\displaystyle \{B(x_{i},r)\}_{i=1,...,N}}
r
=
ϵ
M
{\displaystyle r={\frac {\epsilon }{M}}}
のそれぞれについて点ごと になので 、すべての に対して は大きく 、 すべての に対して は大きくなります 。
T
n
→
T
{\displaystyle T_{n}\to T}
x
1
,
.
.
.
,
x
N
{\displaystyle x_{1},...,x_{N}}
n
{\displaystyle n}
‖
T
n
(
x
i
)
−
T
(
x
i
)
‖
≤
ϵ
{\displaystyle \|T_{n}(x_{i})-T(x_{i})\|\leq \epsilon }
i
=
1
,
.
.
.
,
N
{\displaystyle i=1,...,N}
すると、
三角不等式により、すべての大きい に対して が成り立ちます 。
n
{\displaystyle n}
∀
x
∈
K
,
‖
T
n
(
x
)
−
T
(
x
)
‖
≤
3
ϵ
{\displaystyle \forall x\in K,\|T_{n}(x)-T(x)\|\leq 3\epsilon }
系 — ノルム空間内の 任意の弱有界部分 集合は有界である。
S
⊆
Y
{\displaystyle S\subseteq Y}
Y
{\displaystyle Y}
実際、 の元は、の 連続双対空間 である バナッハ空間上の連続線型形式の点ごとに有界な族を定義します 。
一様有界性原理により、 の元のノルムは 上の汎関数として、 つまり、第 2 双対のノルム は有界です。しかし、 ハーン-バナッハの定理 の結果として、任意 の に対して、第 2 双対のノルムは のノルムと一致します 。
S
{\displaystyle S}
X
:=
Y
′
,
{\displaystyle X:=Y',}
Y
.
{\displaystyle Y.}
S
,
{\displaystyle S,}
X
,
{\displaystyle X,}
Y
″
,
{\displaystyle Y'',}
s
∈
S
,
{\displaystyle s\in S,}
Y
,
{\displaystyle Y,}
から への連続演算子を 演算子ノルム で表すものと します 。集合 が で無制限である場合 、一様有界性原理は次を意味します。
L
(
X
,
Y
)
{\displaystyle L(X,Y)}
X
{\displaystyle X}
Y
,
{\displaystyle Y,}
F
{\displaystyle F}
L
(
X
,
Y
)
,
{\displaystyle L(X,Y),}
R
=
{
x
∈
X
:
sup
T
∈
F
‖
T
x
‖
Y
=
∞
}
≠
∅
.
{\displaystyle R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing .}
実際、は において稠密です。 における の補集合は 、閉集合の可算和集合です。
定理を証明する際に使用した議論によれば、それぞれは どこにも稠密 ではありません 。つまり、部分集合 は第 1 カテゴリ です。したがって、 は、ベール空間における第 1 カテゴリ の 部分 集合の補集合です。ベール空間の定義により、このような集合 ( 共集合 または 残余集合 と呼ばれる) は稠密です。このような推論から 、次のように定式化できる
特異点の凝縮の原理が導かれます。
R
{\displaystyle R}
X
.
{\displaystyle X.}
R
{\displaystyle R}
X
{\displaystyle X}
⋃
X
n
.
{\textstyle \bigcup X_{n}.}
X
n
{\displaystyle X_{n}}
⋃
X
n
{\textstyle \bigcup X_{n}}
R
{\displaystyle R}
例: フーリエ級数の点収束 を 円 とし 、を 一様ノルム を持つ 上の連続関数のバナッハ空間 とします。一様有界性原理を使用すると、 に フーリエ級数が点ごとに収束しない
要素が存在することが示されます。
T
{\displaystyle \mathbb {T} }
C
(
T
)
{\displaystyle C(\mathbb {T} )}
T
,
{\displaystyle \mathbb {T} ,}
C
(
T
)
{\displaystyle C(\mathbb {T} )}
の フーリエ級数 は で定義され
、 N 番目の対称部分和は
で、 は 番目の ディリクレ核 です 。 を固定し 、 の収束を考えます。 で定義される
関数は有界です。 の双対における
のノルムは 、符号付き測度のノルム 、つまり
f
∈
C
(
T
)
,
{\displaystyle f\in C(\mathbb {T} ),}
∑
k
∈
Z
f
^
(
k
)
e
i
k
x
=
∑
k
∈
Z
1
2
π
(
∫
0
2
π
f
(
t
)
e
−
i
k
t
d
t
)
e
i
k
x
,
{\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},}
S
N
(
f
)
(
x
)
=
∑
k
=
−
N
N
f
^
(
k
)
e
i
k
x
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
t
)
D
N
(
x
−
t
)
d
t
,
{\displaystyle S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,}
D
N
{\displaystyle D_{N}}
N
{\displaystyle N}
x
∈
T
{\displaystyle x\in \mathbb {T} }
{
S
N
(
f
)
(
x
)
}
.
{\displaystyle \left\{S_{N}(f)(x)\right\}.}
φ
N
,
x
:
C
(
T
)
→
C
{\displaystyle \varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C} }
φ
N
,
x
(
f
)
=
S
N
(
f
)
(
x
)
,
f
∈
C
(
T
)
,
{\displaystyle \varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),}
φ
N
,
x
,
{\displaystyle \varphi _{N,x},}
C
(
T
)
,
{\displaystyle C(\mathbb {T} ),}
(
2
(
2
π
)
−
1
D
N
(
x
−
t
)
d
t
,
{\displaystyle (2(2\pi )^{-1}D_{N}(x-t)dt,}
‖
φ
N
,
x
‖
=
1
2
π
∫
0
2
π
|
D
N
(
x
−
t
)
|
d
t
=
1
2
π
∫
0
2
π
|
D
N
(
s
)
|
d
s
=
‖
D
N
‖
L
1
(
T
)
.
{\displaystyle \left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.}
確認できるのは
1
2
π
∫
0
2
π
|
D
N
(
t
)
|
d
t
≥
1
2
π
∫
0
2
π
|
sin
(
(
N
+
1
2
)
t
)
|
t
/
2
d
t
→
∞
.
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .}
したがって、集合は の双対 において無限である。したがって
、一様有界性原理により、任意の 連続関数の集合に対して、フーリエ級数がで発散する集合 は、で稠密である。
(
φ
N
,
x
)
{\displaystyle \left(\varphi _{N,x}\right)}
C
(
T
)
∗
,
{\displaystyle C(\mathbb {T} )^{\ast },}
C
(
T
)
.
{\displaystyle C(\mathbb {T} ).}
x
∈
T
,
{\displaystyle x\in \mathbb {T} ,}
x
{\displaystyle x}
C
(
T
)
.
{\displaystyle C(\mathbb {T} ).}
特異点の凝縮の原理を適用することで、さらに多くの結論を導き出すことができます。を の 稠密な数列とします。 上記と同様の方法で を
定義します 。 特異点の凝縮の原理によれば、各 でフーリエ級数が発散する連続関数の集合 は で稠密です (ただし、連続関数のフーリエ級数は、 カールソンの定理 により、 ほぼすべての に対して に収束します )。
(
x
m
)
{\displaystyle \left(x_{m}\right)}
T
.
{\displaystyle \mathbb {T} .}
φ
N
,
x
m
{\displaystyle \varphi _{N,x_{m}}}
x
m
{\displaystyle x_{m}}
C
(
T
)
{\displaystyle C(\mathbb {T} )}
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
∈
T
,
{\displaystyle x\in \mathbb {T} ,}
一般化 位相ベクトル空間 (TVS) における「有界部分集合」は、特に フォン・ノイマン有界部分集合 の概念を指します 。がノルム 空間または半ノルム空間 、例えば (半) ノルム空間 である 場合、部分集合が(フォン・ノイマン) 有界であるのは、 ノルム有界で ある場合に限ります 。これは定義により次のことを意味します。
X
,
{\displaystyle X,}
X
{\displaystyle X}
‖
⋅
‖
,
{\displaystyle \|\cdot \|,}
B
{\displaystyle B}
sup
b
∈
B
‖
b
‖
<
∞
.
{\textstyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}
樽状のスペース 一様有界性原理が成り立つ 局所凸位相ベクトル空間 のクラスを見つける試みは、最終的に 樽型空間 につながりました。つまり、一様有界性原理の最も制限の少ない設定は樽型空間であり、そこでは次の定理の一般化されたバージョンが成り立ちます (Bourbaki 1987、定理 III.2.1)。
位相ベクトル空間 の部分集合の 族 がで 一様有界 であるとは、 の
有界 部分集合 が
存在し
て が成り立つ場合、かつ
その場合に限って 成り立つという 。 が ノルム空間 である 場合、 が成り立つ実数が存在する場合、かつその 場合に限って成り立つ。
特に、 が から への写像の族であり 、 である場合、 族が で一様有界である とは、 の有界部分集合が存在して が 成り立つ場合、かつその場合に限っ て成り立つという。
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
Y
{\displaystyle Y}
Y
,
{\displaystyle Y,}
D
{\displaystyle D}
Y
{\displaystyle Y}
B
⊆
D
for every
B
∈
B
,
{\displaystyle B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},}
⋃
B
∈
B
B
{\displaystyle \bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
M
≥
0
{\displaystyle M\geq 0}
sup
B
∈
B
b
∈
B
‖
b
‖
≤
M
.
{\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|\leq M.}
H
{\displaystyle H}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
C
⊆
X
{\displaystyle C\subseteq X}
{
h
(
C
)
:
h
∈
H
}
{\displaystyle \{h(C):h\in H\}}
Y
{\displaystyle Y}
D
{\displaystyle D}
Y
{\displaystyle Y}
h
(
C
)
⊆
D
for all
h
∈
H
,
{\displaystyle h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,}
H
(
C
)
:=
⋃
h
∈
H
h
(
C
)
{\textstyle H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}
Y
.
{\displaystyle Y.}
非少数部分集合を含む一般化 非貧弱集合 の概念は、 次のバージョンの一様有界原理で使用されていますが、ドメインは ベール空間 であるとは想定されて いませ ん 。
X
{\displaystyle X}
TVS の任意の適切なベクトル部分空間は、 に空の内部空間を持ちます。 したがって、特に、閉じている任意の適切なベクトル部分空間は、 のどこにも稠密ではなく 、したがって の最初のカテゴリ (希薄) に属します(したがって、同じことがそのすべての部分集合にも当てはまります)。したがって、 の 2 番目のカテゴリ (非希薄) に属する TVS の任意のベクトル部分空間は、 の 稠密部分集合 でなければなりません (そうでなければ、 で のその閉包は の閉じた適切なベクトル部分空間になり 、したがって 1 番目のカテゴリに属するため)。
X
{\displaystyle X}
X
.
{\displaystyle X.}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
証明 等連続であることの証明 :
H
{\displaystyle H}
を における原点の バランス のとれた近傍とし 、を 満たす。における 原点の 近傍が存在し、 任意の に対して となること
が示されなければならない。 は
の
閉部分集合であるとする （閉部分集合の共通部分であるため）と、任意の に対して がまた
および を満たす（後で示すように、 における の位相的内部は 空ではないため
、集合は 実際には における原点の近傍である）。 の場合、 で 有界であることは、 となる 整数が存在することを意味するため、
の 場合 、 が任意であるため、
これ
は であることを証明している
。 は の第 2 カテゴリである
ため、同じ は 、いくつかの に対する 集合の少なくとも 1 つに当てはまる必要がある。 によって定義される
写像 は （ 全射 ） 同相写像 であるため、集合 は 必然的に の第 2 カテゴリである。は閉じて
おり、 における その 位相的内部 で の第 2 カテゴリは 空ではないため。 を選ぶ によって定義される
写像 は 同相写像であるため、集合 は
における
の近傍であり 、同じ はそのスーパーセットに当てはまるため
、任意の に対して
これは が等連続であることを証明している 。 QED
W
,
V
⊆
Y
{\displaystyle W,V\subseteq Y}
Y
{\displaystyle Y}
V
¯
+
V
¯
⊆
W
.
{\displaystyle {\overline {V}}+{\overline {V}}\subseteq W.}
N
⊆
X
{\displaystyle N\subseteq X}
X
{\displaystyle X}
h
(
N
)
⊆
W
{\displaystyle h(N)\subseteq W}
h
∈
H
.
{\displaystyle h\in H.}
C
:=
⋂
h
∈
H
h
−
1
(
V
¯
)
,
{\displaystyle C~:=~\bigcap _{h\in H}h^{-1}\left({\overline {V}}\right),}
X
{\displaystyle X}
h
∈
H
,
{\displaystyle h\in H,}
h
(
C
)
⊆
V
¯
{\displaystyle h(C)\subseteq {\overline {V}}}
h
(
C
−
C
)
=
h
(
C
)
−
h
(
C
)
⊆
V
¯
−
V
¯
=
V
¯
+
V
¯
⊆
W
{\displaystyle h(C-C)~=~h(C)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~=~{\overline {V}}+{\overline {V}}~\subseteq ~W}
C
−
C
{\displaystyle C-C}
X
{\displaystyle X}
C
{\displaystyle C}
X
{\displaystyle X}
b
∈
B
{\displaystyle b\in B}
H
(
b
)
{\displaystyle H(b)}
Y
{\displaystyle Y}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
H
(
b
)
⊆
n
V
{\displaystyle H(b)\subseteq nV}
h
∈
H
,
{\displaystyle h\in H,}
b
∈
h
−
1
(
n
V
)
=
n
h
−
1
(
V
)
.
{\displaystyle b~\in ~h^{-1}\left(nV\right)~=~nh^{-1}(V).}
h
∈
H
{\displaystyle h\in H}
b
∈
⋂
h
∈
H
n
h
−
1
(
V
)
=
n
⋂
h
∈
H
h
−
1
(
V
)
⊆
n
C
.
{\displaystyle b~\in ~\bigcap _{h\in H}nh^{-1}(V)~=~n\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)~\subseteq ~nC.}
B
⊆
⋃
n
∈
N
n
C
.
{\displaystyle B~\subseteq ~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nC.}
B
{\displaystyle B}
X
,
{\displaystyle X,}
n
C
{\displaystyle nC}
n
∈
N
.
{\displaystyle n\in \mathbb {N} .}
X
→
X
{\displaystyle X\to X}
x
↦
1
n
x
{\textstyle x\mapsto {\frac {1}{n}}x}
1
n
(
n
C
)
=
C
{\textstyle {\frac {1}{n}}(nC)=C}
X
.
{\displaystyle X.}
C
{\displaystyle C}
X
,
{\displaystyle X,}
X
{\displaystyle X}
c
∈
Int
X
C
.
{\displaystyle c\in \operatorname {Int} _{X}C.}
X
→
X
{\displaystyle X\to X}
x
↦
c
−
x
{\displaystyle x\mapsto c-x}
N
:=
c
−
Int
X
C
=
Int
X
(
c
−
C
)
{\displaystyle N~:=~c-\operatorname {Int} _{X}C~=~\operatorname {Int} _{X}(c-C)}
0
=
c
−
c
{\displaystyle 0=c-c}
X
,
{\displaystyle X,}
C
−
C
.
{\displaystyle C-C.}
h
∈
H
,
{\displaystyle h\in H,}
h
(
N
)
⊆
h
(
c
−
C
)
=
h
(
c
)
−
h
(
C
)
⊆
V
¯
−
V
¯
⊆
W
.
{\displaystyle h(N)~\subseteq ~h(c-C)~=~h(c)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~\subseteq ~W.}
H
{\displaystyle H}
証明 ：
B
=
X
{\displaystyle B=X}
は等連続なので 、 が で有界であれば は で一様有界です
。特に、任意の に対して はの 有界部分集合なので、 は の一様有界部分集合です。 したがって
QED
H
{\displaystyle H}
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
X
{\displaystyle X}
H
(
S
)
{\displaystyle H(S)}
Y
.
{\displaystyle Y.}
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
S
:=
{
x
}
{\displaystyle S:=\{x\}}
X
,
{\displaystyle X,}
H
(
{
x
}
)
=
H
(
x
)
{\displaystyle H(\{x\})=H(x)}
Y
.
{\displaystyle Y.}
B
=
X
.
{\displaystyle B=X.}
連続線形写像のシーケンス 次の定理は、連続線型写像の列の点ごとの極限がそれ自体連続であるための条件を確立します。
定理 — が2つの 位相ベクトル空間 間の連続線型写像の列で あり 、
h
1
,
h
2
,
…
{\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots }
X
{\displaystyle X}
Y
.
{\displaystyle Y.}
のコーシー列で ある すべての 集合が の 第 二カテゴリに属する場合、
C
{\displaystyle C}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
h
1
(
x
)
,
h
2
(
x
)
,
…
{\displaystyle h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots }
Y
{\displaystyle Y}
X
,
{\displaystyle X,}
C
=
X
.
{\displaystyle C=X.}
における極限が 存在する すべての 集合 が における第 2 カテゴリに属し 、 が 完全 距離化可能な位相ベクトル空間( フレシェ空間 や F 空間 など ) である場合、 および は 連続線型写像です。
L
{\displaystyle L}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
h
(
x
)
:=
lim
n
→
∞
h
n
(
x
)
{\displaystyle h(x):=\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
L
=
X
{\displaystyle L=X}
h
:
X
→
Y
{\displaystyle h:X\to Y}
定理 — が F空間 からハウスドルフ位相ベクトル空間への 連続線型写像の列であり 、任意のに対して 極限が
存在する場合、 は 連続線型写像であり、写像は 等連続である。
h
1
,
h
2
,
…
{\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots }
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
h
(
x
)
:=
lim
n
→
∞
h
n
(
x
)
{\displaystyle h(x)~:=~\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)}
Y
,
{\displaystyle Y,}
h
:
X
→
Y
{\displaystyle h:X\to Y}
h
,
h
1
,
h
2
,
…
{\displaystyle h,h_{1},h_{2},\ldots }
さらに、定義域が バナッハ空間 であり、余定義域が ノルム空間 である場合、
‖
h
‖
≤
lim inf
n
→
∞
‖
h
n
‖
<
∞
.
{\displaystyle \|h\|\leq \liminf _{n\to \infty }\left\|h_{n}\right\|<\infty .}
完全な計量化可能なドメイン ディウドネ (1970) は、通常のバナッハ空間ではなく
フレシェ空間 を使用して、この定理のより弱い形式を証明しました。
参照
注記
引用
文献 ステファン・バナッハ ; Steinhaus, Hugo (1927)、「Sur le principe de la condensation de singularités」 (PDF) 、 Fundamenta Mathematicae 、 9 : 50–61、 doi : 10.4064/fm-9-1-50-61 . (フランス語) ステファン・バナハ （1932年）。 Théorie des Opérations Linéaires [ 線形演算の理論 ] (PDF) 。 Monografie Matematyczne (フランス語)。 Vol. 1. ワルシャワ: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej。 Zbl 0005.20901。 2014 年 1 月 11 日に オリジナル (PDF)からアーカイブされました 。 2020年7月11日 に取得 。 ブルバキ、ニコラス (1987) [1981]。 位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで 。 数学的要素 。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。 ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190. ジャン・デュドネ (1970)、 分析に関する論文、第 2 巻 、アカデミック・プレス 。 Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978)。 位相的および順序付きベクトル空間におけるバレル性 。 数学 講義ノート 。第692巻。ベルリン、ニューヨーク、ハイデルベルク： Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-09096-0 . OCLC 4493665. Khaleelulla, SM (1982)。 位相ベクトル空間における反例 。 数学 講義ノート 。第936巻。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク： Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370. ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. ルディン、ウォルター （1966）、 実解析と複素解析 、マグロウヒル 。 ルディン、ウォルター (1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135. シェクター、エリック （1996）。 分析とその基礎ハンドブック 。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミックプレス 。ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365. Shtern, AI (2001) [1994]、「一様有界性原理」、 数学百科事典 、 EMS プレス 。 ソーカル、アラン (2011)、「一様有界性定理の非常に単純な初等的証明」、 Amer. Math. Monthly 、 118 (5): 450–452、 arXiv : 1005.1585 、 doi :10.4169/amer.math.monthly.118.05.450、 S2CID 41853641 。 トレヴ、フランソワ (2006) [1967]。 トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル 。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。 ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322. ウィランスキー、アルバート (2013)。 位相ベクトル空間における最新の手法 。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114.
![{\displaystyle [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52088d5605716e18068a460dec118214954a68e9)
![{\displaystyle [-\infty ,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13233867b861889693a36843d98e51d90d38f9f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T\left(x_{0}\right)\right\|_{Y}&[{\text{T の線形性により}}]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{}}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m} なので]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586805bd601cab526a89e01c79fd8eb5b805a3ed)
