ディリクレベータ関数

数学において、ディリクレ ベータ関数(カタロニア ベータ関数とも呼ばれる) は、リーマン ゼータ関数と密接に関連した特殊な関数です。これは、周期 4 の交代特性に対する L 関数である、特定のディリクレ L 関数です。

ディリクレベータ関数は次のように定義される。

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}$

いずれの場合も、Re( s ) > 0 と仮定します。

あるいは、フルヴィッツゼータ関数を用いた次の定義は、複素s平面全体で有効である: ^[1]

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).}$

レルヒの超越的定義による別の同等の定義は次のようになります。

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),}$

これは再びsのすべての複素数値に対して有効です。

ディリクレのベータ関数は、多重対数関数で表すこともできます。

${\displaystyle \beta (s)={\frac {i}{2}}\left({\text{Li}}_{s}(-i)-{\text{Li}}_{s}(i)\right).}$

また、ディリクレベータ関数の級数表現は、ポリガンマ関数によって形成できる。

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-4)^{s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right]}$

しかし、この式は の正の整数値の場合にのみ有効です。 ${\displaystyle s}$

これは、オイラー積として因数分解できる、直接的には関連しない級数の最も単純な例でもあり、これにより、素数上で因数分解を持つディリクレ級数の正確な集合を定義するディリクレ指標の考え方につながります。 ${\displaystyle \zeta (s)}$

少なくともRe( s )≥1の場合:

${\displaystyle \beta (s)=\prod _{p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1+p^{-s}}}}$

ここでp ≡1 mod 4は4 n +1 (5,13,​​17,...)の形の素数であり、 p ≡3 mod 4は4 n +3 (3,7,11,...)の形の素数である。これは次のように簡潔に書くことができる。

${\displaystyle \beta (s)=\prod _{p>2 \atop p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\,\scriptstyle (-1)^{\frac {p -1}{2}}\textstyle p^{-s}}}.}$

関数方程式はベータ関数を複素平面Re( s )≤0 の左側に拡張する。これは次のように表される。

${\displaystyle \beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Gamma (s)\beta (s)}$

ここでΓ( s )はガンマ関数である。これは1749年にオイラーによって予想され、1842年にマルムステンによって証明された。 ^[2]

全ての奇数の正の整数に対して、次の式が成り立つ：^[3]${\displaystyle 2n+1}$

${\displaystyle \beta (2n+1)\;=\;{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{2(2n)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n+1}}$

ここで はn 番目のオイラー数です。これは次の式をもたらします。 ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},}$

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}$

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}$

ディリクレ ベータ関数の偶数正整数の値については、基本的な閉形式は知られておらず、偶数ベータ値の算術的性質を決定する方法はまだ見つかっていない (3 より大きい奇数整数でのリーマン ゼータ関数と同様)。この数はカタラン定数として知られている。 ${\displaystyle \beta (2)=G}$

^[4]の形の数は無限に存在し、そのうちの少なくとも1つは無理数であることが証明されている。^[5]${\displaystyle \beta (2n)}$${\displaystyle \beta (2),\beta (4),\beta (6),...,\beta (12)}$

偶数ベータ値はポリガンマ関数とベルヌーイ数で与えられる：^[6]

${\displaystyle \beta (2n)={\frac {\psi ^{(2n-1)}(1/4)}{4^{2n-1}(2n)!}}n-{\frac {\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{2(2n)!}}}$

正のベータ関数を逆正接積分で表すこともできます。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \beta (n)={\text{Ti}}_{n}(1)}$

${\displaystyle \beta (1)=\arctan(1)}$

任意の正の整数kに対して: ^{[引用が必要]}

${\displaystyle \beta (2k)={\frac {1}{2(2k-1)!}}\sum _{m=0}^{\infty }\left(\left(\sum _{l=0}^{k-1}{\binom {2k-1}{2l}}{\frac {(-1)^{l}A_{2k-2l-1}}{2l+2m+1}}\right)-{\frac {(-1)^{k-1}}{2m+2k}}\right){\frac {A_{2m}}{(2m)!}}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}^{2m+2k},}$

ここで、オイラージグザグ数です。 ${\displaystyle A_{k}}$

負の奇数の場合、関数はゼロになります。

${\displaystyle \beta (-2n-1)\;=\;0}$

負の偶数に対しては次が成り立つ: ^[3]

${\displaystyle \beta (-2n)\;=\;{\frac {1}{2}}E_{2n}}$。

さらに次のようになります。

${\displaystyle \beta (0)\;=\;{\frac {1}{2}}}$。

我々は次のものを持っている: ^[3]

${\displaystyle \beta '(-1)={\frac {2G}{\pi }}}$

${\displaystyle \beta '(0)=2\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})-\ln \pi -{\tfrac {3}{2}}\ln 2}$

${\displaystyle \beta '(1)={\tfrac {\pi }{4}}(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}}))}$

はオイラー定数、はカタラン定数である。最後の恒等式は1842年にマルムステンによって導かれた。[ 2 ^]${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle G}$

• フルヴィッツゼータ関数
• ディリクレ・エータ関数
• 多重対数

• Glasser, ML (1972). 「格子和の評価。I. 解析的手順」。J . Math. Phys . 14 ( 3): 409。Bibcode : 1973JMP ....14..409G。doi :10.1063/1.1666331。
• J. Spanier と KB Oldham、「An Atlas of Functions」（1987 年）Hemisphere、ニューヨーク。