磁束量子

記号Φで表される磁束は、ある輪郭またはループを通り、磁場Bとループ面積Sの積として定義されます。つまり、Φ = B ⋅ Sです。BとSはどちらも任意です。つまり、磁束Φも任意ですが、磁束の増分は量子化できます。波動関数は、アハラノフ・ボーム効果で発生するように多値にすることも、超伝導体のように量子化することもできます。したがって、量子化の単位は磁束量子と呼ばれます。

磁束量子の重要性を最初に認識したのは、ディラックがモノポールに関する論文を発表したときであった^[1]。

磁束量子化の現象は、最初にフリッツ・ロンドンによって予測され、その後アハラノフ・ボーム効果の中で予測され、その後超伝導体で実験的に発見されました（下記参照）。

超伝導リング^{[5] （すなわち、}超伝導体内の閉ループ経路）またはバルク超伝導体内の穴を扱う場合、そのような穴/ループを通過する磁束は量子化されます。

（超伝導）磁束量子 Φ ₀ = h /(2 e ) ≈2.067 833 848 ... × 10 ⁻¹⁵  Wb ‍ [ ^3]は、基本的な物理定数であるプランク定数 hと電子電荷 eの組み合わせです。したがって、その値はどの超伝導体でも同じです。

ディラック磁束量子の文脈でこの定義を理解するには、超伝導体で活動する有効な準粒子は、有効電荷が 2 個の電子を持つクーパー対であると考える必要があります。 ${\displaystyle q=2e}$

磁束量子化現象は、1961年にBSディーバーとWMフェアバンク^[6]によって超伝導体で実験的に初めて発見され、R.ドールとM.ネーバウアー^[7]によって独立に発見されました。磁束の量子化はリトル・パークス効果^[8]と密接に関連していますが、 1948年にフリッツ・ロンドンによって現象論的モデル^{[9] [10]}を使用して以前に予測されていました。

磁束量子1/Φ ₀の逆数はジョセフソン定数と呼ばれ、K _{Jと表記されます。これは}ジョセフソン効果の比例定数であり、ジョセフソン接合の電位差と照射周波数を関連付けます。ジョセフソン効果は、電位差の高精度測定の基準として広く利用されており、1990年から2019年まではジョセフソン定数の固定された従来の値（ K _J-90と表記）と関連付けられていました。2019年のSI改訂では、ジョセフソン定数の正確な値はK _J =です。483 597 .848 416 98 ... GHz⋅V ⁻¹。^[11]

次の物理方程式は SI 単位系を使用しています。CGS 単位では、係数cが表示されます。

超伝導体の各点における超伝導特性は、複素量子力学波動関数Ψ( r , t )、すなわち超伝導秩序パラメータによって記述される。任意の複素関数Ψ は、Ψ = Ψ ₀ e ^iθと記述することができ、ここでΨ ₀は振幅、θは位相である。位相θを2 πnだけ変化させてもΨ は変化せず、したがって物理的特性も変化しない。しかし、非自明なトポロジーの超伝導体、例えば穴のある超伝導体や超伝導ループ/シリンダーでは、穴/ループを回って同じ開始点に来ると、位相θ はある値θ ₀から値θ ₀ + 2 πnまで連続的に変化することがある。この場合、以下に示すように、 n 個の磁束量子が穴/ループに閉じ込められることになる^[10]。

最小結合では、超伝導体中の クーパー対の電流密度は次のようになります。 ここで はクーパー対の電荷です。波動関数はギンツブルグ・ランダウ秩序パラメータです。 $${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}(-i\hbar \nabla )\Psi -\Psi (-i\hbar \nabla )\Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right].}$$${\displaystyle q=2e}$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={\sqrt {\rho (\mathbf {r} )}}\,e^{i\theta (\mathbf {r} )}.}$$

これを電流の式に代入すると次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\hbar }{m}}\left(\nabla {\theta }-{\frac {q}{\hbar }}\mathbf {A} \right)\rho .}$$

超伝導体内では電流密度Jはゼロなので、 $${\displaystyle \nabla {\theta }={\frac {q}{\hbar }}\mathbf {A} .}$$

ストークスの定理を使用して穴/ループの周りを積分すると、次のようになります。 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =B}$$${\displaystyle \Phi _{B}=\oint \mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} ={\frac {\hbar }{q}}\oint \nabla {\theta }\cdot d\mathbf {l} .}$$

ここで、積分が同じ点に戻るとき、順序パラメータは同じ値に戻らなければならないので、次の式が得られます。^[12] $${\displaystyle \Phi _{B}={\frac {\hbar }{q}}2\pi ={\frac {h}{2e}}.}$$

マイスナー効果により、超伝導体内の磁気誘導B はゼロになります。より正確には、磁場H はロンドン磁場浸透深さと呼ばれる短い距離( λ _Lで示され、通常は ≈ 100 nm) にわたって超伝導体内に浸透します。遮蔽電流も表面近くのこのλ _{L層を流れ、超伝導体内に磁化}M を作り出します。これにより印加磁場H が完全に補正され、超伝導体内でB = 0になります。

ループ/ホール（およびそのλ _L層）内に固定された磁束は常に量子化されます。ただし、磁束量子の値がΦ ₀に等しくなるのは、上記のホールの周りの経路/軌道が、遮蔽電流のない超伝導領域、つまり表面から数λ _L離れた場所になるように選択できる場合のみです。この条件を満たすことができない形状があります。たとえば、非常に細い（ ≤ λ _L ）超伝導ワイヤで作られたループや、同様の壁厚を持つシリンダーなどです。後者の場合、磁束はΦ ₀とは異なる量子を持ちます。

磁束量子化は、現在入手可能な最も感度の高い磁力計の 1 つであるSQUIDの重要な概念です。

磁束量子化は、第 2 種超伝導体の物理においても重要な役割を果たしている。このような超伝導体 (ここでは正孔がない) を第 1 臨界磁場H _c1と第 2 臨界磁場H _c2の間の強度の磁場内に置くと、磁場は部分的にアブリコソフ渦の形で超伝導体に浸透する。アブリコソフ渦は、通常のコア、つまり超伝導コヒーレンス長ξと同程度の直径を持つ通常の (非超伝導) 相の円筒体で構成される。通常のコアは、超伝導相の正孔の役割を果たす。磁力線はこの通常のコアに沿ってサンプル全体を通過します。遮蔽電流は コアのλ _L近傍を循環し、コア内の磁場から超伝導体の残りの部分を遮蔽します。全体として、このようなアブリコソフ渦はそれぞれ、磁束Φ ₀の 1 量子を運びます。

2019年のSI改訂以前は、ジョセフソン効果を利用して磁束量子が非常に正確に測定されていました。フォン・クリッツィング定数 R _K = h / e ²の測定と組み合わせると、2019年までに得られたプランク定数 hの最も正確な値が得られました。これは直感に反するかもしれませんが、hは一般に微視的に小さなシステムの挙動に関連付けられているのに対し、超伝導体における磁束の量子化と量子ホール効果はどちらも熱力学的に多数の粒子 に関連する創発現象です。

2019年のSI改訂により、プランク定数hは固定値h =6.626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅Hz ⁻¹ , ^[13]これは秒とメートルの定義とともにキログラムの公式定義を提供します。さらに、素電荷もe =という固定値を持っています 1.602 176 634 × 10 ⁻¹⁹  C ‍ [ ^{14]によって}アンペアが定義される。したがって、ジョセフソン定数K _J = 2 e / hとフォン・クリッツィング定数R _K = h / e ^{2 は}両方とも固定値を持ち、ジョセフソン効果とフォン・クリッツィング量子ホール効果がアンペアやSIの他の電気単位の定義における主要な実践的方法となる^[15]。

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• 超伝導体におけるアハラノフ・ボーム効果と磁束量子化（物理学スタックエクスチェンジ）
• デビッド・トンの講義:量子ホール効果(PDF)