シャンパーノウン定数

数学において、シャンパーノウン定数 C ₁₀は、その十進展開が重要な性質を持つ超越 実 定数である。これは、1933年に学部生時代にこれを発表した経済学者で数学者のDG シャンパーノウンにちなんで名付けられた。 ^[1] この数は、正の整数の10進表現を連結することによって定義される。

C ₁₀ = 0.12345678910111213141516...  （ OEISの配列A033307）。

チャンパーノウン定数は他の基数でも同様に構築できる。例えば、

C ₂ = 0.11011100101110111...  ₂

そして

C ₃ = 0.12101112202122...  ₃ .

シャンパーノウン語またはバルビエ語は、C ₁₀を10 進数で書き、数字を並べたものです。 ^{[2] [3]}

12345678910111213141516...  ( OEISの配列A007376 )

より一般的には、チャンパーノウン列（チャンパーノウン語とも呼ばれる）は、すべての有限の数字列（任意の基数）を再帰的な順序で連結することによって得られる数字の列です。[ ^4] たとえば、ショートレックス順序の2進チャンパーノウン列は

0 1 00 01 10 11 000 001 ...（OEISの配列A076478）

連結される文字列を示すためだけに、スペース（通常は無視されます）が挿入されています。

実数x は、その すべての底の桁が均一分布に従う場合、正規数であると言われます。つまり、すべての桁が等確率で出現する、すべての桁のペアが等確率で出現する、すべての桁の 3 つ組が等確率で出現する、などです。数xは、その底bの桁が均一分布に従う 場合、底bで正規数であると言われます。

数字の文字列を [ a ₀ , a ₁ , ...] と表記すると、10 進数では文字列 [0]、[1]、[2]、[...]、[9] が 1/10 の確率で出現し、文字列 [0,0]、[0,1]、[...]、[9,8]、[9,9] が 1/100 の確率で出現する、といった具合になります。

Champernowne はが 10 進数で正規であることを証明しました^[1] 。一方、Nakai と Shiokawa はより一般的な定理を証明しました。この定理の系は、任意のbに対してがを基底として正規であるということです^[5] 。 が を基底として正規であるかどうかは未解決の問題です。たとえば、 が 9 進数で正規であるかどうかはわかっていません。たとえば、 の 54 桁は0.123456789101112131415161718192021222324252627282930313 です。これを 9 進数で表すと となります。 ${\displaystyle C_{10}}$${\displaystyle C_{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle b\neq k}$${\displaystyle C_{10}}$${\displaystyle C_{10}}$${\displaystyle {0.10888888853823026326512111305027757201400001517660835887}_{9}}$

クルト・マーラーは定数が超越的であることを示した。^[6]の 無理数測度は であり、より一般的には任意の基数 に対して である。^[7]${\displaystyle C_{10}}$${\displaystyle \mu (C_{10})=10}$${\displaystyle \mu (C_{b})=b}$${\displaystyle b\geq 2}$

シャンパーノウン語は選言列である。選言列とは、有限のアルファベット文字上の無限列であり、すべての有限の文字列が部分文字列として現れる。

シャンパーノウン定数の定義から、二重和を含む 無限級数表現が直ちに得られる。 ここで は小数点とn桁の基数10の数の最初の寄与との間の桁数である。これらの表現は、10 と 9 をそれぞれbとb − 1に置き換えることで任意の基数 bに一般化される。代替形式は と で あり、 ここでと は床関数 と天井関数を表す。^{[8] [9]}$${\displaystyle C_{10}=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-\delta _{10}(n)}\sum _{k=10^{n-1}}^ {10^{n}-1}{\frac {k}{10^{n(k-10^{n-1}+1)}}},}$$${\displaystyle \delta _{10}(n)=9\sum _{\ell =1}^{n-1}10^{\ell -1}\ell }$$${\displaystyle C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot b^{-\left(\sum \limits _{k=1}^{n}\left\lceil \log _{b}(k+1)\right\rceil \right)}}$$$${\displaystyle C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot b^{-\left(n+\sum \limits _{k=1}^{n-1}\left\lfloor \log _{b}(k+1)\right\rfloor \right)},}$$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lceil x\rceil }$

これらの級数の最初のものに戻ると、外和の被加数と の式は、2 次元等比級数の閉じた形式を使用して簡略化できます。 ${\displaystyle \delta_{b}(n)}$$${\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }ka^{k}=a^{n}{\frac {n-(n-1)a}{(1-a)^{2} }}.}$$

に対する結果の式はとなり 、外側の和の被加数は となる 。n ≥ 1 全体にわたって合計すると となる 。被加数において、括弧内の式はn ≥ 2に対して近似値となり、 n が大きくなるにつれて急速にその値に近づくが、指数はnとともに指数的に増加する。結果として、各追加項は、これらの項を構成する分数の分子と分母の桁数が線形にしか増加しないにもかかわらず、指数的に増加する正しい桁数を提供する。たとえば、C ₁₀の最初のいくつかの項は ${\displaystyle \delta_{b}(n)}$$${\displaystyle \delta _{b}(n)=(b-1)\sum _{\ell =1}^{n-1}b^{\ell -1}\ell ={\frac {1}{b-1}}\left(1+b^{n-1}((b-1)nb)\right),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}b^{-\delta _{b}(n)}\sum _{k=b^{n-1}}^{b^{n}-1}{\frac {k}{b^{n(k-b^{n-1}+1)}}}&=b^{-\delta _{b}(n)}b^{n(b^{n-1}-1)}\left(\sum _{k=b^{n-1}}^{\infty }{\frac {k}{b^{nk}}}-\sum _{k=b^{n}}^{\infty }{\frac {k}{b^{nk}}}\right)\\&={\frac {b^{2n-1}-b^{n-1}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}b^{-\delta _{b}(n)}-{\frac {b^{2n}-b^{n}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}b^{-\delta _{b}(n+1)}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle C_{b}={\frac {b}{(b-1)^{2}}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b^{2n}-b^{n}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}-{\frac {b^{2n+1}-b^{n}+1}{\left(b^{n+1}-1\right)^{2}}}\right)b^{-\delta _{b}(n+1)}.}$$${\displaystyle {\frac {b-1}{b}}}$${\displaystyle \delta _{b}(n+1)}$$${\displaystyle C_{10}={\frac {10}{81}}-\left[\left({\frac {91}{81}}-{\frac {991}{9801}}\right)\times 10^{-9}+\left({\frac {9901}{9801}}-{\frac {99901}{998001}}\right)\times 10^{-189}+\left({\frac {999001}{998001}}-{\frac {9999001}{99980001}}\right)\times 10^{-2889}+\ldots \right].}$$

チャンパーノウン定数の単純な連分数展開は終了せず（定数が有理数ではないため）、非周期的である（既約な2次式ではないため）。単純な連分数とは、分母が1である連分数である。チャンパーノウン定数の単純な連分数展開では、多数の小さな項の間に非常に大きな項が現れる。たとえば、基数10では、

C10 ₌ [0; 8、9、1、149083、1、1、1、4、1、1、1、3、4、1、1、1、15、4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, ...]。（OEISの配列A030167）

18 番目の位置にある大きな数は 166 桁で、連分数の 40 番目の位置にある次の非常に大きな項は 2504 桁です。連分数展開の項としてこのような大きな数があるということは、これらの大きな数の前で停止することによって得られる収束式が、Champernowne 定数の非常に良い近似値を提供することを意味します。たとえば、4 番目の部分商の直前で切り捨てると、次のようになります。 これは、前のセクションの急速に収束する級数展開の最初の項と一致し、約1 × 10 ⁻⁹の誤差で Champernowne 定数を近似します。18 番目の部分商の直前で切り捨てると、級数の最初の 2 つの項、つまり10 ⁻⁹を含む項までの項と一致する近似値が得られ、 これは約9 × 10 ⁻¹⁹⁰ の誤差で Champernowne 定数を近似します。 $${\displaystyle 10/81=\sum _{k=1}^{\infty }k/10^{k}=0.{\overline {123456790}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60499999499}{490050000000}}&=0.123456789+10^{-9}\sum _{k=10}^{\infty }k/10^{2(k-9)}=0.123456789+10^{-9}{\frac {991}{9801}}\\&=0.123456789{\overline {10111213141516171819\ldots 90919293949596979900010203040506070809}},\end{aligned}}}$$

最初のゼロの後の最初と2番目に増分的に大きい項（「最高水準点」）はそれぞれ8と9で、位置1と2に出現します。シコラ（2012）は、4番目から始まる最高水準点の桁数が明らかなパターンを示していることに気づきました。^[10]実際、最高水準点自体は二重指数的に増加し、n番目のマークの桁数は ${\displaystyle d_{n}}$${\displaystyle n\geqslant 3}$

6, 166, 25 04, 33 102 , 41 1 100 , 49 11 098 , 57 111 096 , 65 1111 094 , 73 11111 092 , ...

そのパターンは6番目の高水位点から明らかになります。項の数は次のように表すことができます。 $${\displaystyle d_{n}={\frac {44-103\times 2^{n-3}\times 5^{n-4}}{9}}+\left(2^{n-1}\times 5^{n-4}\times n-2n\right),n\in \mathbb {Z} \cap \left[3,\infty \right).}$$

しかし、大きな用語（少なくとも6桁）がどこに出現するか、またはその値を決定する方法があるかどうかはまだ不明です。最高水位標自体は、

1、2、4、18、40、162、526、1708、4838、13522、34062、....（OEISの配列A143533）

• コープランド・エルデシュ定数は、素数を使って定義される同様の正規数である。
• リウヴィル定数、10進数表現で定義される別の定数
• スマランダッシュ・ウェラン数、与えられた基数での表現を連結して得られる別の数。

• Cassaigne, J.; Nicolas, F. (2010)。「因子複雑性」。Berthé , Valérie、Rigo, Michel (編)。組合せ論、オートマトン、数論。数学とその応用百科事典。第 135 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。pp. 163–247。ISBN 978-0-521-51597-9.ZBL1216.68204  。​
• チャンパーノウン、DG (1933)、「10 のスケールで正規の小数点の構成」、ロンドン数学会誌、8 (4): 254–260、doi :10.1112/jlms/s1-8.4.254。
• 中井裕也塩川 I. (1992)、「正規数クラスの矛盾推定」、Acta Arithmetica、62 (3): 271–284、doi : 10.4064/aa-62-3-271-284。