ホーキング放射線

ホーキング放射は、 1974年にスティーブン・ホーキングが開発したモデルによると、量子効果によりブラックホールの事象の地平線の外側で放出される。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}この黒体放射は、電磁放射が事象の地平線の内側に入ると脱出できないと仮定していた以前のモデルでは予測されていなかった。ホーキング放射は非常に微弱で、現在の最高の望遠鏡の検出能力よりも何桁も低いと予測されている。

ホーキング放射はブラックホールの質量と回転エネルギーを減少させ、結果としてブラックホールの蒸発を引き起こします。このため、他の手段で質量を獲得しないブラックホールは縮小し、最終的には消滅すると予想されます。最小のブラックホールを除いて、これは非常にゆっくりと起こります。ホーキング温度と呼ばれる放射温度はブラックホールの質量に反比例するため、マイクロブラックホールはより大きなブラックホールよりも放射量が多く、質量あたりの消散速度が速いと予測されます。したがって、原始ブラックホールの仮説で許容されるように、小さなブラックホールが存在する場合、それらは縮小するにつれてより急速に質量を失い、最終的には高エネルギー放射のみによる大惨事につながります。^{[ 1 ]}このような放射バーストはまだ検出されていません。

現代のブラックホールは、アルバート・アインシュタインの一般相対性理論を用いて初めて予測されました。ブラックホールと呼ばれる天体の存在を示す証拠は、半世紀後に蓄積され始めました^{[ 5 ]。}これらの天体は、そのコンパクトなサイズと巨大な重力引力のため、現在も注目されています。ブラックホールに関する初期の研究は、カール・シュヴァルツシルトやジョン・ホイーラーといった人物によって行われ、彼らはブラックホールをエントロピーがゼロであるとモデル化しました^{[ 5 ] [ 6 ]}。

ブラックホールは、十分な量の物質またはエネルギーが、脱出速度が光速を超えるほど小さな体積に圧縮されたときに形成されます。光速を超える速度で移動できるものは何もないため、ブラックホールの質量に比例する一定の距離内にあるものは、その距離を超えて脱出することはできません。光さえも脱出できない領域は事象の地平線と呼ばれ、その外側の観測者は事象の地平線内の出来事を観測したり、認識したり、影響を受けたりすることはできません。^{[ 7 ]： 25-36}

あるいは、一般相対性理論における落下座標系を用いると、事象の地平線は、空間が光速よりも速く落下する領域として概念化できる。（空間を光速よりも速く移動できるものは存在しないが、空間自体はどんな速度でも落下できる。）^{[ 4 ]}いったん物質が事象の地平線の内側に入ると、内部の物質はすべて必然的に重力特異点、すなわち無限の曲率とゼロの大きさを持つ場所に落下し、物質が一切存在しない歪んだ時空を残す。^{[ 8 ]}古典的なブラックホールは純粋な空虚な時空であり、最も単純な（回転せず電荷を持たない）ブラックホールは、その質量と事象の地平線のみによって特徴づけられる。^{[ 7 ] : 37–43}

1971年、ソ連の物理学者ヤコフ・ゼルドヴィッチとアレクセイ・スタロビンスキーは、回転するブラックホールは電磁的に回転する金属球との類推から粒子を生成・放出するはずだと提唱した。この過程は現在ゼルドヴィッチ増幅と呼ばれている。1972年、ヤコブ・ベッケンシュタインは理論を展開し、ブラックホールは表面積に比例するエントロピーを持つはずだと報告した。^{[ 9 ]}当初、スティーブン・ホーキングはベッケンシュタインの理論に反対し、ブラックホールはエントロピーを持たない単純な物体だと考えていた。^{[ 10 ] : 425} 1973年にモスクワでゼルドヴィッチと会った後、ホーキングは量子場理論と一般相対性理論を組み合わせた独自の理論を用いて、これら二つの考えを統合した。^{[ 10 ] : 435}

ホーキングは1974年の論文で、理論上、ブラックホールは黒体のように粒子を放射することを示した。脱出する粒子は、実質的にブラックホールからエネルギーを奪う。ホーキングの予測では、ブラックホールは温度で少量の熱放射を放出する。${\displaystyle T={\frac {\hbar c^{3}}{8\pi GMk_{B}}}}$、 どこ${\displaystyle {\hbar }}$は換算プランク定数である。${\displaystyle c}$は光の速度です。${\displaystyle G}$は重力定数です。${\displaystyle M}$はブラックホールの質量であり、${\displaystyle k_{B}}$はボルツマン定数です。ホーキングは量子場理論をブラックホールに適用することで、ブラックホールは熱黒体放射を継続的に放出するはずだと判断しました。^{[ 1 ]}この効果はホーキング放射として知られるようになりました。この理論は、ブラックホールは表面積に比例する有限のエントロピーを持ち、したがって温度も持つはずだと理論づけたヤコブ・ベッケンシュタインの以前の研究によって支持されました。^{[ 11 ]}ベッケンシュタインのブラックホールのエントロピーへの貢献により、^{[ 12 ]}ベッケンシュタイン・ホーキング放射としても知られています。^{[ 13 ]}ホーキングの1974年の発表以来、彼と他の研究者は、経路積分などさまざまなアプローチで結果を数学的に検証してきました。^{[ 11 ] [ 14 ] : 74 [ 15 ]}

ホーキング放射は真空のゆらぎから生じる。電磁場の真空のゆらぎによって、ブラックホールの事象の地平線の外側の光子と内側の光子が対になることがある。事象の地平線は、それぞれの方向への脱出を可能にする。^{[ 10 ]： 439}

ホーキング放射は、アンルー効果とブラックホールの事象の地平線に適用される等価原理に依存します。ブラックホールの事象の地平線の近くでは、局所的な観測者は、ブラックホールに落ち込まないように加速しなければなりません。加速する観測者は、局所的な加速地平線から飛び出し、向きを変え、再び自由落下して戻ってくる粒子の熱浴を観測します。局所的な熱平衡の条件は、この局所的な熱浴の一貫した拡張が無限遠で有限の温度を持つことを意味し、これは、地平線から放出されたこれらの粒子の一部が再吸収されずに、外向きのホーキング放射になることを意味します。^{[ 16 ] [ 17 ]}

シュワルツシルトブラックホールは計量を持つ

${\displaystyle (ds)^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,(dt)^{2}+{\frac {1}{\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)}}\,(dr)^{2}+r^{2}\,(d\Omega )^{2}.}$

ブラックホールは、量子場理論における背景となる時空である。

場の理論は局所的な経路積分によって定義されるため、地平線における境界条件が決定されれば、その外側の場の状態が特定される。適切な境界条件を見つけるには、地平線のすぐ外側の位置にある静止した観測者を考える。

${\displaystyle r=2M+{\frac {\rho ^{2}}{8M}}.}$

最低次へのローカルメトリックは

${\displaystyle (ds)^{2}=-\left({\frac {\rho }{4M}}\right)^{2}\,(dt)^{2}+(d\rho )^{2}+(dX_{\perp })^{2}=-\rho ^{2}\,(d\tau )^{2}+(d\rho )^{2}+(dX_{\perp })^{2},}$

これは、リンドラー座標を次のように表したものです。${\displaystyle \tau ={\frac {t}{4M}}}$この指標は、ブラックホールに落ちないように加速しているフレームを表します。局所的な加速度は、 $\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\rho }}}$、発散する${\displaystyle \rho \rightarrow \infty }$。

地平線は特別な境界ではなく、物体はその中に落下する可能性がある。したがって、局所的な観測者は、等価原理によって通常のミンコフスキー空間で加速されているように感じるはずである。地平線近傍の観測者は、局所的な温度で励起された場を見る必要がある。

${\displaystyle T={\frac {\alpha }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi \rho }}={\frac {1}{4\pi {\sqrt {2Mr\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)}}},}$

これはアンルー効果と呼ばれるものです。

重力赤方偏移は、計量の時間成分の平方根で与えられる。したがって、場の理論状態が一貫して拡張されるためには、あらゆる場所に熱的背景が存在し、その局所的な温度が近傍の事象の地平線の温度と赤方偏移的に一致していなければならない。

${\displaystyle T(r')={\frac {1}{4\pi {\sqrt {2Mr\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)}}}}{\sqrt {\frac {1-{\frac {2M}{r}}}{1-{\frac {2M}{r'}}}}}={\frac {1}{4\pi {\sqrt {2Mr\left(1-{\frac {2M}{r'}}\right)}}}}.}$

逆温度は赤方偏移して ${\displaystyle r'}$無限遠では

${\displaystyle T(\infty )={\frac {1}{4\pi {\sqrt {2Mr}}}},}$

rは地平線付近の位置で、${\displaystyle 2M}$だからこれは本当に

${\displaystyle T(\infty )={\frac {1}{8\pi M}}.}$

したがって、ブラックホール背景上で定義された場の理論は熱状態にあり、その無限遠での温度は

${\displaystyle T_{\text{H}}={\frac {1}{8\pi M}}.}$

地球と同じ質量のブラックホールの場合、この温度は10 ⁻¹²  K。典型的なホーキング放射の量子波長はブラックホールの大きさに似ている。^{[ 18 ]}

ブラックホールの温度からブラックホールのエントロピーを計算するのは簡単である。${\displaystyle S}$熱量が変化したときのエントロピーの変化${\displaystyle dQ}$追加されるのは

${\displaystyle dS={\frac {dQ}{T}}=8\pi M\,dQ.}$

入ってくる熱エネルギーは総質量を増加させる働きをするので、

${\displaystyle dS=8\pi M\,dM=d(4\pi M^{2}).}$

つまり、ブラックホールのエントロピーはその表面積に比例する。

${\displaystyle S=4\pi M^{2}={\frac {A}{4}},}$

ここで、ブラックホールの半径はその質量の2倍なので、面積は次のようになります。${\displaystyle A}$によって与えられる

${\displaystyle A=4\pi R^{2}=16\pi M^{2}.}$

小さなブラックホールのエントロピーがゼロであると仮定すると、積分定数はゼロになります。ブラックホールを形成することは、質量をある領域に圧縮する最も効率的な方法であり、このエントロピーは時空におけるあらゆる球体の情報量の上限でもあります。この結果の形式は、重力理論の物理的記述が何らかの形で境界面に符号化できることを強く示唆しています。

グレイボディ因子は、周波数と角運動量の関数であり、ブラックホールの放射スペクトルが純粋な黒体スペクトルからどれだけずれているかを特徴づける。量子効果の結果、孤立したブラックホールは、ブラックホールの事象の地平線において、完全な黒体からの放射と一致する放射を放出する。^{[ 19 ]}ブラックホールがエネルギーが から までの粒子を放出する割合${\displaystyle \hbar \omega }$そして${\displaystyle \hbar (\omega +d\omega )}$角運動量量子数${\displaystyle \ell ,m}$^{[ 20 ]} で与えられる$${\displaystyle d\Gamma ={\frac {\sigma _{\omega ,\ell ,m}}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}\pm 1}}\,d\omega }$$どこ${\displaystyle k_{B}}$はボルツマン定数であり、${\displaystyle T}$はブラックホールのホーキング温度です。分母の定数はボソンでは1、フェルミオンでは-1です。$\displaystyle \sigma _{\omega ,\ell ,m}}$これらはブラックホールのグレイボディ因子と呼ばれる。電荷を持つブラックホールの場合、これらの因子は放出される粒子の電荷にも依存する可能性がある。

粒子が脱出すると、ブラックホールはそのエネルギーをわずかに失い、したがって質量の一部も失います（質量とエネルギーはアインシュタインの質量エネルギー等価方程式によって関係付けられています）。${\displaystyle E=mc^{2}}$したがって、蒸発するブラックホールには有限の寿命があります。次元解析により、ブラックホールの寿命は初期質量の3乗に比例することが示されています。^{[ 21 ] [ 22 ]： 176-177}ブラックホールが消散するのにかかる時間は次のとおりです。^{[ 23 ] [ 24 ]}

${\displaystyle t_{\mathrm {ev} }={\frac {5120\pi G^{2}M^{3}}{\hbar c^{4}}}={\frac {480c^{2}V}{\hbar G}}=5120\pi \,t_{\text{P}}\left({\frac {M}{m_{\text{P}}}}\right)^{3}\approx 2.140\times 10^{67}\,{\text{years}}\ \left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3},}$

どこ${\displaystyle M}$そして${\displaystyle V}$は（シュワルツシルト）ブラックホールの質量と体積であり、${\displaystyle m_{P}}$プランク質量と$tP$プランク時間。太陽質量のブラックホール（${\displaystyle M_{\odot }}$=2.0 × 10 ³⁰  kg ) は蒸発するのに10 ⁶⁷ 年かかる――これは現在の宇宙の年齢よりもはるかに長い。1.4 × 10¹⁰年 。^​

ホーキング放射温度は：^{[ 1 ] [ 23 ]}

$$${\displaystyle T_{\mathrm {H} }={\frac {\hbar c^{3}}{8\pi GMk_{\mathrm {B} }}}\approx {\frac {10^{23}}{M}}.}$$$質量が大きいブラックホールほどホーキング放射温度は低い。予測される最小の恒星ブラックホール（約3太陽質量）の場合、この温度は10 ⁻⁷  K。宇宙には宇宙マイクロ波背景放射が含まれているため、2.7  Kでは、恒星ブラックホールは蒸発することができません。それらは宇宙空間よりも低温です。^{[ 23 ]}

純粋な光子放出（つまり他の粒子は放出されない）を仮定し、事象の地平線が放射面であると仮定した場合のブラックホールのベッケンシュタイン・ホーキング光度は次のようになります。^{[ 23 ] [ 24 ]}

${\displaystyle P={\frac {\hbar c^{6}}{15360\pi G^{2}M^{2}}}}$

どこ${\displaystyle P}$光度または放射電力は、${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数である。${\displaystyle c}$は真空中の光速です。${\displaystyle G}$は重力定数であり、${\displaystyle M}$はブラックホールの質量です。

ブラックホールの蒸発には、いくつかの重大な結果が伴う。

• ブラックホールの蒸発現象は、ブラックホールが宇宙の他の部分とどのように熱的に相互作用するかを示すことで、ブラックホールの熱力学についてより一貫性のある見解をもたらす。
• ほとんどの天体とは異なり、ブラックホールは質量を放射するにつれて温度が上昇します。温度上昇率は指数関数的であり、最も可能性の高い終着点は、ガンマ線の激しい放出によるブラックホールの崩壊です。この崩壊を完全に記述するには量子重力モデルが必要ですが、ブラックホールの質量が1プランク質量に近づくと崩壊が起こるため、その半径も2プランク長に近づきます。
• ブラックホールの蒸発に関する最も単純なモデルは、ブラックホールの情報パラドックスにつながる。これらのモデルではホーキング放射がランダムであるため（元の情報とは無関係である）、ブラックホールが消散する際にその情報内容が失われるように見える。この問題に対する解決策として、ホーキング放射が摂動を受けて失われた情報が含まれる、ホーキング蒸発によって失われた情報を含む何らかの残留粒子が残る、あるいはこれらの条件下では情報が失われることが許容される、といった提案がなされている。

• ホーキング放射線計算ツール
• ミニブラックホールの事例 A. BarrauとJ. Grainは、衝突型加速器でホーキング放射がどのように検出されるかを解説する。