ソレノイド

ソレノイド（/ ˈ s oʊ l ə n ɔɪ d / ^[1]）は、長さが直径よりもかなり大きい螺旋状の電線コイルによって形成された電磁石の一種であり、 [ 2 ]制御され^た磁場を生成します。コイルに電流を流す と、一定体積の空間内に均一な磁場を発生させることができます。

アンドレ＝マリー・アンペールは1820年にこの装置を考案し、1823年にソレノイドという用語を作り出した。 ^[3]アンペールが最初に作ったフランス語はsolénoïdeであり、これは管状のことを意味するギリシャ語σωληνοειδὴςのフランス語への翻字である。

ソレノイドのらせんコイルは必ずしも直線軸の周りを回転する必要はありません。たとえば、 1824 年のウィリアム スタージョンの電磁石は、馬蹄形に曲げられたソレノイド (アーク スプリングに類似) で構成されていました。

ソレノイドは、真空中で電子を磁気的に集束させるもので、特にビジコンやイメージオルシコンなどのテレビカメラ管で使用されます。電子は磁場内でらせん状の経路をたどります。これらのソレノイド、つまり集束コイルは、管のほぼ全長を囲んでいます。

無限ソレノイドは長さが無限ですが、直径は有限です。「連続」とは、ソレノイドが個別の有限幅のコイルで形成されているのではなく、間に隙間のない多数の無限に薄いコイルで形成されていることを意味します。この抽象化では、ソレノイドは導電性材料の円筒状のシートとして見られることがよくあります。

無限に長いソレノイド内の磁場は均一であり、その強さは軸からの距離やソレノイドの断面積に依存しません。

これは、フリンジ効果が無視できるほど長いソレノイドの周囲の磁束密度の導出です。図 1 では、磁束密度ベクトルがソレノイドの内側では正のz方向を指し、ソレノイドの外側では負のz方向を指していることがすぐにわかります。ワイヤの周囲の磁場に右手のグリップ ルールを適用してこれを確認します。親指を電流の方向に向けた状態で右手をワイヤに巻き付けると、指の丸まり具合によって磁場の挙動がわかります。長いソレノイドを扱っているため、上向きでない磁場の成分はすべて対称性によって打ち消されます。外側でも同様の打ち消しが発生し、磁場は下向きのみになります。

ここで、ソレノイド内部にある仮想ループcについて考えます。アンペールの法則により、このループには電流が流れていないため、ループの周りのB (磁束密度ベクトル)の線積分はゼロであることが分かっています (ループを通過する回路電場は、ソレノイドを通る電流が一定または常に変化するなどの条件下では一定であると仮定することもできます)。上記で、ソレノイド内では磁場が上向きであることを示したため、ループcの水平部分は積分に何も寄与しません。したがって、上側 1 の積分は下側 2 の積分に等しくなります。ループの寸法を任意に変更しても同じ結果が得られるため、唯一の物理的な説明は、被積分関数が実際には等しい、つまりソレノイド内の磁場が放射状に均一であるということです。ただし、磁場が縦方向に変化することを妨げるものは何もないことに注意する必要があります。実際、磁場は縦方向に変化します。

同様の議論をループaに適用して、ソレノイドの外側の磁場は放射状に均一または一定であると結論付けることができます。 この最後の結果は、磁場線が長さに平行なソレノイドの中心付近でのみ厳密に当てはまりますが、ソレノイドの外側の磁場の半径は無限大に近づくため、外側の磁束密度は実質的にゼロであることを示しているため重要です。 直感的な議論を使用して、ソレノイドの外側の磁束密度が実際にはゼロであることを示すこともできます。 磁力線はループとしてのみ存在し、電場線のように一点から発散したり一点に収束したりすることはできません (磁気についてはガウスの法則を参照)。 磁力線はソレノイドの内側では縦方向の経路をたどるため、ループを形成できるようにするには、ソレノイドの外側では反対方向に進まなければなりません。 ただし、ソレノイドの外側の体積は内側の体積よりもはるかに大きいため、外側の磁力線の密度は大幅に減少します。 ここで、外側の磁場は一定であることを思い出してください。磁力線の総数を保存するには、ソレノイドが長くなるにつれて外側の磁力線がゼロにならなければなりません。もちろん、ソレノイドがワイヤの螺旋として構成されている場合 (実際にはよく行われるように)、電流がソレノイドの全長にわたって流れるため、単一のワイヤと同じように外側に磁力線が放射されます。

アンペールの回路法則をソレノイドに適用すると（右図参照）、

${\displaystyle Bl=\mu _{0}NI,}$

ここで、は磁束密度、はソレノイドの長さ、は磁気定数、巻数、電流 です。これから、${\displaystyle B}$${\displaystyle l}$${\displaystyle \mu_{0}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {NI}{l}}.}$

この式は自由空間内のソレノイドに有効であり、つまり、磁路の透磁率は自由空間の透磁率 μ ₀と同じであることを意味します。

_{ソレノイドが比透磁率 μ r}の材料に浸漬されている場合、磁場はその量だけ増加します。

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {r} }{\frac {NI}{l}}.}$

ほとんどのソレノイドでは、ソレノイドは高透磁率の材料に浸されていません。むしろ、ソレノイドの周囲の空間の一部には高透磁率の材料があり、一部は空気だけです（自由空間のように動作します）。そのシナリオでは、高透磁率材料の完全な効果は見られませんが、 1 ≤ μ _eff  ≤  μ _rとなる 有効（または見かけ）透磁率μ _effがあります。

鉄などの強磁性コアを含めると、ソレノイド内の磁束密度が増加し、磁路の有効透磁率が上がります。これは次の式で表されます。

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {eff} }{\frac {NI}{l}}=\mu {\frac {NI}{l}},}$

ここで、μ _{eff は}コアの有効または見かけの透磁率です。有効透磁率は、コアの幾何学的特性と相対透磁率の関数です。相対透磁率 (材料のみの特性) と有効透磁率 (構造全体の特性) という用語は混同されることが多く、桁違いに異なることがあります。

開放型磁気構造の場合、有効透磁率と比透磁率の関係は次のように表されます。

${\displaystyle \mu _{\mathrm {eff} }={\frac {\mu _{r}}{1+k(\mu _{r}-1)}},}$

ここでkはコアの減磁係数である。^[4]

有限ソレノイドは有限の長さを持つソレノイドです。連続とは、ソレノイドが個別のコイルではなく、導電性材料のシートで形成されていることを意味します。電流はソレノイドの表面に均一に分布し、表面電流密度は Kであると仮定します。円筒座標では次のようになります。 $${\displaystyle {\vec {K}}={\frac {I}{l}}{\hat {\phi }}.}$$

磁場はベクトルポテンシャルを使って求めることができる。ベクトルポテンシャルは、円筒座標系における半径R、長さlの有限ソレノイドの場合、^{[5] [6]}である。${\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}$ $${\displaystyle A_{\phi }={\frac {\mu _{0}I}{\pi }}{\frac {R}{l}}\left[{\frac {\zeta }{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}\left({\frac {m+n-mn}{mn}}K(m)-{\frac {1}{m}}E(m)+{\frac {n-1}{n}}\Pi (n,m)\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},}$$

どこ：

• ${\displaystyle \zeta _{\pm }=z\pm {\frac {l}{2}}}$、
• ${\displaystyle n={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}}}}$、
• ${\displaystyle m={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}$、
• ${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$、
• ${\displaystyle E(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,d\theta }$、
• ${\displaystyle \Pi (n,m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}}$。

ここで、、、は第1種、第2種、第3種の 完全楕円積分です。${\displaystyle K(m)}$${\displaystyle E(m)}$${\displaystyle \Pi (n,m)}$

使用方法:

$${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},}$$

磁束密度は次のように得られる^{[7] [8] [9]} $${\displaystyle B_{\rho }={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {1}{l\,\rho }}\left[{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}{\biggl (}(m-2)K(m)+2E(m){\biggr )}\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},}$$ $${\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}{\frac {1}{l}}\left[{\frac {\zeta }{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}\left(K(m)+{\frac {R-\rho }{R+\rho }}\Pi (n,m)\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}}.}$$

対称軸上では、半径方向の成分は消え、軸方向の成分は ソレノイドの内部では、端( )から遠く離れると、一定値 に近づく傾向があります。 $${\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}NI}{2}}\left({\frac {z+l/2}{l{\sqrt {R^{2}+(z+l/2)^{2}}}}}-{\frac {z-l/2}{l{\sqrt {R^{2}+(z-l/2)^{2}}}}}\right).}$$${\displaystyle l/2-|z|\gg R}$${\displaystyle B=\mu _{0}NI/l}$

半径がソレノイドの長さよりもはるかに大きい場合（）、ソレノイドの中心を通る磁束密度（ソレノイドの長さに平行なz方向、コイルの中心がz =0 にある場合）は、単一の円形導体ループの磁束密度として推定できます。 ${\displaystyle R\gg l}$

${\displaystyle B_{z}\approx {\frac {\mu _{0}INR^{2}}{2{\sqrt {R^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

有限ソレノイドには、単一ピッチで疎に巻かれたもの、変化するピッチで疎に巻かれたもの（可変ピッチソレノイド）、および異なるループで変化する半径を持つもの（非円筒形ソレノイド）がある。これらは不規則ソレノイドと呼ばれている。これらは、ワイヤレス電力伝送用の疎に巻かれたソレノイド、^{[10] [11]}磁気共鳴画像（MRI）用の可変ピッチソレノイド、^[12]その他の医療機器用の非円筒形ソレノイドなど、さまざまな分野で応用されている。^[13]

従来のソレノイド、すなわち密に巻かれたソレノイドの計算方法では、固有インダクタンスと静電容量の計算は行えません。固有インダクタンス^[14]（コードは^{[15]で入手可能）と静電容量[16] （コードは[17]}で入手可能） を計算するための新しい計算方法が提案されました。

上図に示すように、コイル内の 磁束密度は実質的に一定であり、次のように表される。${\displaystyle B}$

${\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {NI}{l}},}$

ここで、μ ₀は磁気定数、巻数、電流、コイルの長さです。端部効果を無視すると、コイルを通る全磁束は磁束密度と断面積を掛けて得られます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle I}$${\displaystyle l}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Phi =\mu _{0}{\frac {NIA}{l}}.}$

これをインダクタンスの定義と組み合わせると

${\displaystyle L={\frac {N\Phi }{I}},}$

ソレノイドのインダクタンスは次のように表される。

${\displaystyle L=\mu _{0}{\frac {N^{2}A}{l}}.}$

デリンジャー、ホイットモア、オールドは、様々な直径と長さの比を持つ短いソレノイドのインダクタンスの表を計算しました。^[18]

これと、より複雑な形状のインダクタンスは、マクスウェル方程式から導き出すことができます。剛性空芯コイルの場合、インダクタンスはコイルの形状と巻き数の関数であり、電流とは無関係です。

同様の分析は磁気コアを持つソレノイドにも当てはまりますが、コイルの長さが磁気コアの比透磁率と直径の積よりはるかに大きい場合に限られます。そのため、単純な分析は低透磁率のコア、または極端に長くて薄いソレノイドに限定されます。上記の式でコアの存在を考慮するには、磁気定数μ _{0 を}μまたはμ ₀ μ _rに置き換えます。ここで、μ は透磁率、μ _{r は} 比透磁率を表します。強磁性体の透磁率は印加磁束によって変化するため、強磁性コアを持つコイルのインダクタンスは一般に電流によって変化すること に注意してください。

• ヘルムホルツコイル
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ウィキメディア・コモンズには、ソレノイドに関連するメディアがあります。

• インタラクティブ Java チュートリアル: ソレノイドの磁場、国立高磁場研究所
• Hyperphysics でのソレノイドに関する議論