トポロジカル欠陥

数学と物理学において、ソリトン、位相ソリトン、位相欠陥は密接に関連した3つの概念であり、いずれも摂動に対して安定な物理システム内の構造を意味します。ソリトンは、通常の波（または解や構造）のようには崩壊、散逸、拡散、蒸発しません。安定性は崩壊の障害から生じ、これはソリトンが基本物理システムとは異なる位相ホモトピー類またはコホモロジー類に属することで説明されます。もっと簡単に言えば、ソリトンを含むシステムをソリトンのないシステムに連続的に 変換することはできません。位相安定性の背後にある数学は深く広く、位相安定性を備えた多種多様なシステムについて説明されています。このため、分類がやや困難になっています。

元々のソリトンは、19 世紀に、はしけ運河の孤立した水波として観測されました。これは、水中の波を記述するKorteweg-De Vries (KdV) 方程式がホモトピック的に異なる解を持つことに注目することで、最終的に説明されました。Lax対のメカニズムにより、必要な位相的理解が得られました。

位相ソリトンが発生するために必要な一般的な特性は、異なるクラスの解を持ち、各解のクラスが異なるホモトピークラスに属する偏微分方程式(PDE) が存在することです。多くの場合、これは、基本空間 (3D 空間または 4D 時空) が、1 点コンパクト化(無限遠点の追加)によって得られる球のトポロジを持つと考えられるために発生します。一般に、無限遠で消える解、つまりその点で単一の値を持つ解に関心があるため、これは合理的です。微分方程式の変数の値域(共域) も、コンパクトな位相空間に存在すると見なすことができます。その結果、空間 (時間) から PDE の変数へのマッピングは、球から (異なる) 球へのマッピングとして記述できます。このようなマッピングのクラスは、球のホモトピー群によって与えられます。

もっとわかりやすく言い直すと、ソリトンは PDE の 1 つの解が別の解に連続的に 変換できない場合に見つかります。一方から他方へ移行するには「切断」（ハサミなど）が必要ですが、「切断」は PDE を解くための定義済み操作ではありません。切断のアナロジーが生じるのは、一部のソリトンがマッピング （は円 ）として記述されるためです。マッピングは円束で生じます。このようなマッピングは、棒の周りに糸を巻き付けるものと考えることができます。糸は切断せずに取り外すことはできません。この巻き付けのアナロジーの最も一般的な拡張は、マップ への拡張です。マップでは、最初の3 次元球面はコンパクト化された 3D 空間を表し、2 番目はベクトル場を表します。（3 次元ベクトル、つまりその方向と長さは、3 次元球面上の点を指定するものと考えることができます。ベクトルの方向は直交群のサブグループを指定し、長さは点を固定します。これは、ユニタリ群、およびによって二重に覆われます。）このようなマップは、ベクトル場を記述する PDE で発生します。 ${\displaystyle U(1)\to U(1)}$${\displaystyle U(1)\simeq S^{1}}$${\displaystyle S^{3}\to S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle O(3)}$ ${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SU(2)\simeq S^{3}}$

トポロジカル欠陥は、おそらく一般的な概念を理解する最も簡単な方法です。これは結晶格子で発生するソリトンであり、典型的には固体物理学と材料科学の分野で研究されています。典型的な例はらせん転位です。これは、らせん状に回転する格子の転位です。これを押すことで、ある場所から別の場所に移動させることができますが、格子を単純に連続的に変形しても取り除くことはできません。(一部のらせん転位は、肉眼で直接見えるように現れます。これらはゲルマニウムウィスカーです。) 数学的な安定性は、円マップの巻き数がゼロではないことに由来し、転位の安定性は、それを含む材料の剛性につながります。一般的な現れの 1 つは、金属ワイヤを繰り返し曲げることです。これにより、らせん転位 (転位-反転位のペアとして) がますます多く発生し、曲げられた領域がますます硬く脆くなります。その領域にストレスをかけ続けると、転位が多発し、最終的には材料の破損や故障につながります。これは相転移と考えることができます。相転移では、欠陥の数が臨界密度を超え、欠陥が相互に作用して「接続」し、全体を切断 (破損) します。ソリトンの臨界密度が相転移につながるという考えは、繰り返し取り上げられるテーマです。 ${\displaystyle S^{1}\to S^{1};}$

超流体の渦とタイプ II 超伝導体のピン止めされた渦管は、流体における円写像型位相ソリトンの例である。より抽象的な例としては宇宙ひもがある。宇宙ひもには、アインシュタイン場の方程式に対する渦のような解と、物質場や波動場と結合したより複雑なシステムにおける渦のような解の両方が含まれる。竜巻や空気中の渦はソリトンの例ではない。それらの減衰を妨げるものはなく、しばらくすると消散する。竜巻を記述する数学的解は、回転を弱めることによって、回転がなくなるまで連続的に変形することができる。ただし、詳細は状況に依存する。木星の大赤斑はサイクロンであり、その数世紀にわたる安定性を説明するためにソリトン型のアイデアが提案されてきた。

位相欠陥は 1940 年代には早くも研究されていました。より抽象的な例は量子場の理論で生まれました。スキルミオンは 1960 年代に核子(中性子または陽子) のモデルとして提案され、マッピングによって安定性がもたらされました。1980 年代には、インスタントンとウェス - ズーミノ - ウィッテン モデルの関連ソリューションが、それまでファインマン図による摂動論的計算が主流だった分野に非摂動論的な解釈を提供したため、かなりの人気を博しました。これは、物理学者が、それまで数学の独占領域であったホモトピーとコホモロジーの概念を研究するきっかけとなりました。さらなる発展により、この考え方の普及が明らかになりました。たとえば、アインシュタインの場の方程式（ブラックホール）に対するシュワルツシルト解とカー解は、位相重力ソリトンの例として認識できます。これがベリンスキー・ザハロフ変換です。 ${\displaystyle S^{3}\to SU(2)}$

トポロジカル欠陥とトポロジカルソリトン、あるいは単に「ソリトン」という用語の使い分けは、学術研究分野によって異なります。したがって、仮説上はあるものの観測されていない磁気単極子は、単極子の抽象的な数学的設定の物理的な例です。スキルミオンと同様に、磁気単極子の安定性は、3 次元球面の写像の非自明なホモトピー類に属することに起因します。単極子の場合、ターゲットは同位体スピン方向ではなく磁場方向です。単極子は通常、「欠陥」ではなく「ソリトン」と呼ばれます。ソリトンはトポロジカル不変量に関連付けられています。複数の構成が可能な場合があるため、これらにはトポロジカル電荷というラベルが付けられます。電荷という言葉は、物理学では電荷の意味で使用されます。

数学的な形式は非常に複雑になることがあります。PDE の一般的な設定にはファイバー バンドルが含まれ、オブジェクト自体の動作はホロノミーとモノドロミーの観点から説明されることがよくあります。弦理論などの抽象的な設定では、ソリトンはゲームの一部です。弦は結び目理論のように結び目に配置できるため、解かれることに対して安定しています。

一般に、ソリトンを含む（量子）場構成は、基底状態や真空状態よりも高いエネルギーを持ち、そのためトポロジカル励起と呼ばれる。^[1]ホモトピックな考慮により、古典的な場が基底状態に変形されるのを防ぐことができるが、量子トンネル効果によってそのような遷移が起こる可能性はある。この場合、より高いホモトピーが作用する。したがって、たとえば、基本励起は、スピン群への写像によって定義される可能性がある。量子トンネル効果によって、これと基底状態との区別がなくなると、ホモトピーの次のより高い群は、弦群によって与えられる。このプロセスが繰り返されると、ポストニコフ塔を上ることになる。これらは理論上の仮説であり、実際の実験室実験でこのような概念を実証することは、まったく別の問題である。

位相欠陥の存在は、境界条件がホモトピー的に異なる解の存在を伴う場合はいつでも実証できます。通常、これは、条件が指定される境界が、微分方程式で保存される非自明なホモトピー群を持つために発生します。微分方程式の解は位相的に異なり、ホモトピークラスによって分類されます。位相欠陥は、小さな摂動に対して安定しているだけでなく、それらを均一な、または「自明な」解に（ホモトピー的に）マッピングする連続的な変換がないため、減衰したり、元に戻ったり、絡み合ったりすることはできません。

秩序媒体は、関数f ( r )によって記述される空間領域として定義され、関数f ( r ) は領域内のすべての点に秩序パラメータを割り当て、秩序パラメータ空間の可能な値は秩序パラメータ空間を構成します。欠陥のホモトピー理論では、媒体の秩序パラメータ空間の基本群を使用して、その媒体内の位相欠陥の存在、安定性、および分類について議論します。^[2]

R を媒質の秩序パラメータ空間とし、GをR上の変換のリー群とする。H を媒質のGの対称部分群とする。すると、秩序パラメータ空間はリー群商^[3] R = G / Hとして表される。

GがG / Hの普遍被覆である場合、 πn ( G / H ) = πn _{− 1} ( H )であることが示されます[3]。ここでπi_はi^番目_のホモトピー群を表します。

媒体中の様々なタイプの欠陥は、秩序パラメータ空間の様々なホモトピー群の要素によって特徴付けることができる。例えば、（3次元では）線欠陥はπ ₁ ( R )の要素に対応し、点欠陥はπ ₂ ( R )の要素に対応し、テクスチャはπ ₃ ( R )の要素に対応する。しかし、 π ₁ ( R )の同じ共役類に属する欠陥は互いに連続的に変形することができるため、^[2]異なる欠陥は異なる共役類に対応する。

ポエナルとトゥールーズは^{[4]交差欠陥がエンタングルメント状態になるのは、それらが}_π1 ( R )の別々の共役類のメンバーである場合のみであることを示した。

位相欠陥は偏微分方程式で発生し、凝縮物質物理学における^相転移を引き起こすと考えられています^{（誰によると？）}。

位相欠陥の真正性^{[さらなる説明が必要]}は、無限の時間が経過した場合にシステムが向かう真空の性質に依存します。欠陥が偽の真空と真の真空にある場合、偽の位相欠陥と真の位相欠陥を区別できます。^{[説明が必要]}

例としては、次のような 正確に解けるモデルで発生するソリトンまたは孤立波が挙げられる。

• 結晶材料中のらせん転位、
• 量子場理論におけるスキルミオン、
• 凝縮物質中の磁気スキルミオン、
• ウェス・ズミノ・ウィッテン模型の位相ソリトン^{[説明が必要]}。

ラムダ遷移普遍性クラス^{[説明が必要]}システムにおける位相欠陥には以下が含まれます:

• 液晶中のらせん転位/刃状転位、
• 超伝導体におけるフラクソンと呼ばれる磁束「管」、および
• 超流体の渦。

宇宙論的タイプのトポロジカル欠陥は、地球上の物理実験で生成するのは非現実的であると考えられている^{[誰によると？ ]極めて高エネルギー[説明が必要]}現象です。宇宙の形成中に生成されたトポロジカル欠陥は、理論的には大きなエネルギーを消費せずに観測できます。

ビッグバン理論では、宇宙は最初の高温高密度状態から冷却され、超伝導体などの凝縮系で起こるのとよく似た一連の相転移を引き起こします。特定の^{[どの? ]} 大統一理論では、これらの相転移中に初期宇宙で安定した位相欠陥が形成されると予測されています。

対称性の破れの性質に応じて、キブル・ズーレク機構によれば、初期宇宙の宇宙相転移でさまざまなソリトンが形成されたと考えられています。よく知られている位相欠陥は次のとおりです。

• 宇宙ひもは、軸対称性または円筒対称性が破れたときに形成される 1 次元の線です。
• ドメイン壁は、離散的な対称性が相転移で破れたときに形成される 2 次元の膜です。これらの壁は、宇宙を離散的なセルに分割する、閉鎖セルフォームの壁に似ています。
• ^{球面対称性が}破れたときに形成される立方体のような欠陥である単極子は、磁荷を北または南に持つと予測されます（^{そのため、一般に「}磁気単極子」と呼ばれます）。
• テクスチャは、より大きく複雑な対称グループ^{[どれ？ ]}が完全に破壊されたときに形成されます。テクスチャは他の欠陥ほど局所的ではなく、不安定です。^{[説明が必要]}
• スカーミオン
• 余剰次元と高次元。

これらの欠陥タイプのより複雑なハイブリッドも考えられます。

宇宙が膨張して冷却するにつれて、光速で広がる領域で物理法則の対称性が崩れ始め、隣接する領域の境界に位相欠陥が生じます。^{[どのように？ ]}これらの境界を構成する物質は秩序相にあり、周囲の領域で無秩序相への相転移が完了した後も秩序相が持続します。

トポロジカル欠陥は天文学者によって特定されていませんが、特定の種類は現在の観測とは互換性がありません。特に、観測可能な宇宙にドメイン ウォールとモノポールが存在する場合、天文学者が観測できるものとは大きく異なる結果になります。

これらの観察により、観測可能な宇宙内での欠陥の形成は高度に制約されており、特別な状況が必要である（インフレーション（宇宙論）を参照）。一方、宇宙ひもは、物質宇宙の大規模構造が凝縮した初期の「種」重力を提供していると示唆されている。テクスチャも同様に無害である。^{[説明が必要]} 2007年後半、宇宙マイクロ波背景のコールドスポットがテクスチャの証拠を提供した。^[5]

凝縮物質物理学では、ホモトピー群の理論は、秩序あるシステムにおける欠陥の記述と分類のための自然な設定を提供します。^[2]位相幾何学的手法は、凝縮物質理論のいくつかの問題で使用されています。ポエナルとトゥールーズは、位相幾何学的手法を使用して、液晶内の線（ストリング）欠陥が絡み合うことなく互いに交差できる条件を取得しました。これは、超流動ヘリウム-3のA相における特異な流体力学的挙動の発見に初めてつながった、位相幾何学の非自明な応用でした。^[2]

ホモトピー理論は位相欠陥の安定性と深く関係しています。線欠陥の場合、閉じた経路が連続的に一点に変形できる場合は欠陥は安定ではなく、そうでない場合は安定です。

宇宙論や場の理論とは異なり、凝縮物質におけるトポロジカル欠陥は実験的に観察されている。^[6]強磁性材料には、磁壁によって分離された磁気配列領域がある。ネマティック液晶や二軸ネマティック液晶には、モノポール、ストリング、テクスチャなど、さまざまな欠陥が現れる。 ^[2] 結晶固体において、最も一般的なトポロジカル欠陥は転位であり、結晶の機械的性質、特に結晶塑性の予測に重要な役割を果たしている。

磁気システムにおけるトポロジカル欠陥には、スキルミオン（スキルミオン電荷は整数）などの2D欠陥や、ホップフィオン（ホップ指数は整数）などの3D欠陥が含まれる。定義は、刃状転位^{[7] [8]}やらせん転位^[9]（バーガースベクトルの整数値を持つ） などのヘリ磁性秩序の転位を含むように拡張することができる。

• 宇宙ひもとその他の位相的欠陥
• http://demonstrations.wolfram.com/SeparationOfTopologicalSingularities/