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磁気学および電磁気学において、磁場は空間の物理的性質であり、特定の場所における磁気の影響を定量化します。磁場は移動する電荷（電流を含む）を偏向させ、磁石にトルクを加えて磁場の方向にねじり、磁石や鉄などの磁性体を引力または反発力で引き付けます。さらに、時間的に変化する磁場は電流を誘導します。磁場は磁性体と移動する電荷（電流を含む）によって生成されます。後者は電磁石の生成において重要です。電磁石とは、電磁石に流れる電流を変化させることで磁場を精密に制御する装置です。
磁場は現代科学技術のあらゆる分野で利用されています。電気工学や電気機械工学においては、電動機、発電機、変圧器、電磁石、インダクタなど、数多くの機器の設計と使用において重要な役割を果たしています。材料科学においては、磁力はホール効果を通じて物質中の電荷キャリアに関する情報を提供するほか、様々な用途に利用されています。
地質学や地球物理学では、地球の磁場は地球内部に関する情報を提供し、局所的な磁場測定は鉱物探査やその他の測定に利用されます。また、地球の磁場は磁気圏を形成し、地球のオゾン層や地球の他の部分を太陽風から守っています。物理学では、磁場と電場の関係は電気力学の分野を形成し、光（電磁放射とも呼ばれる）やアンテナ、送電線の特性など、幅広い現象を理解する上で重要です。
磁場の強さと方向は場所によって変化する可能性があるため、空間の各点にベクトルを割り当てることで数学的に記述され、ベクトル場となります。[注1 ] 「磁場」と呼ばれる、互いに密接に関連した2つの異なるベクトル場があります。これらはBとHで表されます。[注2 ]これらの場の最適な名称については長年にわたり議論が続いていますが、その根底にある物理法則は異論の余地がありません。[ 1 ]
国際規格ISO 80000-6では、磁場を「磁場強度ベクトルHと磁束密度ベクトルBによって特徴付けられる電磁場の成分」と定義しています。[ 2 ]この規格では、BとHも以下のセクションで定義しています。BとHのこれらの定義については広く合意が得られていますが、両方には多くの代替名があります（対応するセクションのサイドバーを参照）。
磁束密度とも呼ばれる磁場Bは、磁力、磁気トルク、電磁誘導を引き起こします。したがって、これらの現象を記述する任意の方程式で定義することができます。
例えば、任意の点における磁場ベクトルB は、ローレンツ力法則で使用した場合に、その点における運動する荷電粒子に及ぼす力を正しく予測するベクトル場として定義できます。 [ 6 ] [ 7 ]
ここで、Fは粒子にかかる力、qは粒子の電荷、Eは外部電場、vは粒子の速度、× は外積を表します。
言い換えれば、[ 8 ]
「特定の場所におけるベクトルBの方向と大きさを測定せよ」という命令は、以下の操作を要求します。既知の電荷qを持つ粒子を用意します。静止状態のqにかかる力を測定してEを決定します。次に、粒子の速度がvのときの力を測定します。v を別の方向にして同じ操作を繰り返します。次に、ローレンツ力の法則がこれらの結果すべてに適合するようなBを見つけます。これが、問題の場所における磁場です。
詳細については、ローレンツ力、または下記の「荷電粒子に働く磁力」の項を 参照してください。
BのSI単位はテスラ(記号: T)です。 [注 3 ] BのGaussian -cgs 単位はガウス(記号: G)です。 [ 9 ] (変換は 1 T ≘ 10000 Gです。 [ 10 ] [ 11 ] ) 1 ナノテスラは 1 ガンマ (記号: γ) に相当します。[ 11 ]
Bは物体に磁力とトルクを発生させ、導線に電流を誘導しますが、その計算は必ずしも容易ではありません。そのため、磁場強度[13]とも呼ばれる磁場H [注4 ]を次のように定義することが有用です[ 14 ]：
どこは真空透磁率、Mは磁化ベクトルであり、特定の物質領域がどれだけ磁化されているかを表し、以下のように定義されます。真空中では、B = μ 0 Hとなり、これらは等しくなります。物質内部では、これらは異なります。
このように定義すると、多くの場合[注5 ] 、 Hは近傍の磁性体によるHを考慮した補正を加えた電流のみによるものとして扱うことができる[注6 ] 。いずれにせよ、力、トルク、誘導電流、またはエネルギー変化を計算する必要がある場合は、HからBを計算する必要がある。
Hの SI 単位はアンペア毎メートル (A/m) [ 15 ]であり、ガウス単位はエルステッド(Oe) です。[ 10 ]
局所的な磁場Bを測定するために使用される機器は磁力計として知られています。重要な磁力計の種類には、変動する磁場のみを測定する誘導磁力計（またはサーチコイル磁力計）、回転コイル磁力計、ホール効果磁力計、NMR 磁力計、SQUID 磁力計、フラックスゲート磁力計などがあります。遠方の天体の磁場は、局所的な荷電粒子への影響を通して測定されます。例えば、磁力線の周りを螺旋状に運動する電子は、電波で検出可能なシンクロトロン放射を生成します。磁場測定の最高精度は、グラビティプローブ Bによって達成されました。5 aT (5 × 10 −18 T ) [ 16 ]
H場は直接測定することはできないが、それを生成する電流から推測することができる。
磁場は、各点における磁場の方向に沿って伸びる磁力線によって視覚化できます。任意の点における磁場の方向は、近傍の磁力線の方向と平行であり、磁力線の局所的な密度はその強さに比例します。磁力線は流体の流れにおける流線に似ており、連続的な分布を表し、解像度を変えることで表示される磁力線の数は増減します。
磁力線には以下の特性があります: [ 17 ]
磁力線を表現として使用する利点は、磁気（および電磁気）の多くの法則を、表面を通過する磁力線の「数」などの単純な概念を使用して、完全かつ簡潔に記述できることです。これらの概念は、数学的な形式に「変換」することができます。たとえば、特定の表面を通過する磁力線の数は、磁場の面積分です。 [ 18 ]
この記事ではほぼ完全にSI単位系を使用していますが、他の単位系、特にガウス単位系（電磁気学で最も広く使われているCGS単位系）は、一部の分野、国、教科書で依然として使用されています。各単位系における方程式は、異なる単位系ごとに異なる場合があり、実際に異なる場合も少なくありません。
電流を含む移動する電荷は、磁場Bによる力を受ける。
B場中を運動する荷電粒子は、磁場の強さ、磁場に垂直な速度成分、および粒子の電荷に比例する横方向の力を受けます。この力はローレンツ力として知られており、次のように表されます。 [ 6 ] [ 7 ]
ここで、 Fは力、qは粒子の電荷、 vは粒子の瞬間速度、 Bは磁場（テスラ単位）である。電荷に働く力の方向は、右手の法則によって決定できる（図を参照）。
ローレンツ力は常に、粒子の速度と、その粒子を生み出した磁場の両方に垂直です。荷電粒子が静磁場中を運動する場合、らせん軸が磁場に平行ならせん状の軌道を描き、粒子の速度は一定に保たれます。
一定の電流が流れる導線を外部磁場中に置くと、導線内の各電荷はローレンツ力を受けます。これらの力が合わさって、導線には正味の巨視的な力が生じます。この力（巨視的な電流に働く力）は、しばしばラプラス力と呼ばれます。
一様な磁場中の直線状の静止した導線の場合、この力は次のように表されます。[ 19 ]
ここで、Iは電流であり、ℓは大きさが導線の長さで、方向が導線に沿って電流の方向と一致するベクトルである。
導線が直線でない場合、または磁場が不均一な場合は、導線の各微小セグメントに式を適用することで、総力を計算できます。そして、これらの力をすべて積分して合計します。この場合、定常電流が流れる静止した導線にかかる正味の力は[ 20 ]です。
この力は、2本の平行な導線の間に引力／斥力を生み出します。それぞれの導線を流れる電流によって磁場が発生し、それが互いに押し合ったり引き合ったりするからです。また、磁場中の電流ループは、ループの両側で力の方向が異なるため、トルクを受けます。これについては次のセクションで説明します。
電流が流れるループに作用する磁場は、トルクと正味の力（磁場が不均一な場合）の両方を生み出します。[ 21 ]この効果は、特定の種類のモーターを駆動したり、原子に作用する力やトルクをモデル化したりする際に重要です。
長方形ループのトルクを計算するのは簡単です。右の図は、均一な磁場B (方向は緑色の矢印で示されています) 内の長方形の電流ループを示しています。簡単にするために、ループは磁場の方向に沿って配置されています。ループの反対側の磁力は等しく反対方向であるため、ループには正味の力は発生しません。ただし、短い辺 (ここでは紫色の矢印で示されています) にかかる力は、力とそれらの間の垂直距離の積に等しい正味のトルクを発生させます。短い辺の長さをbとすると、前のセクションで示した直線ワイヤにかかる磁力の式を使用して、その力の大きさはF = IBbとなります。したがって、正味のトルク (破線軸に沿った方向) の大きさはN = IabBとなります。面積A = abであることを利用して、すべての角度について一般化すると、[ 22 ]となります。
ここで、面積Aの方向は、電流ループの右手グリップ法則によって決定される面積の法線です。長方形ループ用に導出されたこの方程式は、任意の形状と向きの平面ループにも有効です。 [ 23 ] 上記のように、均一な磁場内のループには正味の力は働きません。しかし、不均一な磁場は正味の力を生み出します。この正味の力は、物体をより強い磁場の方向に引っ張る傾向があります。
ループにかかる正味の力はループの電流と面積の積に比例するため、磁気双極子モーメントと呼ばれる量mを定義するのが自然である[ 24 ]。
十分に小さな電流ループの場合、その形状、面積、向き、ループを流れる電流などの詳細はすべてmの中に隠されており、それ以外は問題になりません。このようなループは磁気双極子と呼ばれます。同じ双極子モーメントmを持つすべての磁気双極子は同じように影響を受けます。
任意の形状の（十分に小さい）電流ループにローレンツ力を加えると、磁気双極子にトルクNが発生します。 [ 25 ]
どこは勾配を表します。この力は磁気双極子をBが増加する方向に押し込む傾向があります。
すべての運動する荷電粒子は磁場を生成します。電子などの運動する点電荷は、粒子の電荷、速度、加速度に依存する複雑だがよく知られた磁場を生成します。 [ 27 ]運動する電荷が定常状態の電流を形成すると、これらの方程式ははるかに単純になります。この電流の研究は静磁気学と呼ばれます。
一般に、磁力線は電流が流れる導線の周りに同心円状に形成されます。このような磁場の方向は、「右手の法則」を使用して決定できます（右の図を参照）。磁場の強さは導線からの距離とともに減少します。（無限長の導線の場合、強さは距離に反比例します。）十分に長い直線導線に流れる定常電流Iの磁場は次のようになります。 [ 28 ]
ここで、rはワイヤーに対する垂直距離です。方向磁場の線分は、右手の法則に従って、導線に垂直な円に接する。[ 29 ]
より具体的には、定常電流I (電荷が蓄積も減少もされない一定の電荷の流れ) [注 7 ]によって生成される磁場は、ビオ・サバールの法則によって記述されます。[ 31 ] [ 32 ]
ここで、積分はワイヤの長さにわたって合計され、ベクトルd ℓは電流Iと同じ方向の方向を持つベクトル線要素、μ 0は磁気定数、rはd ℓの位置と磁場が計算される位置との間の距離、r̂はrの方向の単位ベクトルです。
電流が流れる導線をループ状に曲げると、ループ内部の磁場が集中し、外部の磁場は弱まります。導線を複数のループ状に密に曲げてコイル、すなわち「ソレノイド」を形成すると、この効果はさらに高まります。鉄芯の周りにこのように形成された装置は電磁石として機能し、強力で制御性の高い磁場を発生させることができます。
無限に長いソレノイドは、内部に均一な磁場を持ち、外部には磁場がない。磁場はソレノイドの内部にのみ存在し、[ 33 ]
ここで、nはソレノイドの単位長さあたりの巻数であり、Hの方向はソレノイドの長さに沿っています。有限長のソレノイドは、数学的に評価できるより複雑な磁場を生成します。
ビオ・サバールの法則を用いて他の一般的な電流配置における磁場を計算する例については、下記の「一般的な公式」を参照してください。
半径aで電流Iが流れる円形電流ループの磁場は、ループの中心の真上zの位置では、ビオ・サバールの法則から簡単に計算できます。 [ 34 ] [ 35 ]
どここれは、上記の「磁気双極子にかかる正味の力とトルク」で電流ループにかかる力とトルクを計算する際に使用した磁気双極子モーメントと同じです。正方形ループ（およびその他の平面形状）の軸上の磁場を計算すると、円の場合と同様に、長距離では同じ方程式が得られる類似の方程式が得られます。。
任意の形状の電流ループから任意の位置r (軸上だけでなく)での磁場を計算するには、高度な数学が必要です。 [ 36 ]しかし、十分に長い距離では、結果はそのループの磁気モーメントmのみに依存し、次のように単純化されます。[ 37 ]
この式は、十分に長い距離では、磁石の詳細な形状を磁気双極子モーメントmという単一の量で置き換えることができることを示しています。したがって、この式は原子の磁場をうまくモデル化でき、磁性体の記述にも拡張できます。また、磁石間の長距離力を計算する際にも役立ちます。
電流を関連付けるもう少し一般的な方法[ 38 ] [注8 ]B場への伝達はアンペールの法則によるものである。[ 39 ] [ 40 ]
ここで、線積分は任意のループにわたって行われ、そのループで囲まれた電流は2 つの式では、Bには計算が難しい磁性体中の束縛電流が含まれるのに対し、Hには含まれないという点で若干異なります。[注 9 ]アンペールの法則は定常電流に対して常に有効であり、無限の導線や無限のソレノイドなどの特定の非常に対称的な状況の磁場を簡単に計算するために使用できます。
時間とともに変化する電場を考慮した修正版のアンペールの法則は、電気と磁気を記述する4つのマクスウェル方程式の1つである。
磁石は、自ら磁場を生成すると同時に、他の磁石や磁化された物質の磁場にも反応する物体です。磁石同士の相互作用、および磁石と磁場との相互作用は非常に複雑です。正確に説明するには、各磁石は多数の小さな磁性体の体積から成り立っており、それぞれの体積が独自の磁場を生成し、他の体積の磁場にも反応すると記述する必要があります。このようなモデルはしばしば非常に複雑です。幸いなことに、多くの場合、磁石は2つの等しいが反対の磁極、すなわち磁北極と磁南極を持つ物体として理解すれば十分です。反対の磁極は距離が小さくなるほど強く引き合い、同じ磁極は同じように反発します。このようなモデルは磁極モデルと呼ばれ、以下に説明するいくつかのケースでは、良好な定量的予測を行うために使用できます。
磁石間の力を特定することは、両方の磁石の強さと向き、および互いの距離と方向に依存するため、非常に複雑です。この力は、磁気トルクによる磁石の回転に特に敏感です。各磁石にかかる力は、その磁石の磁気モーメントと、もう一方の磁石の磁場[注10 ]に依存します。距離が短い場合（ rが小さい場合）、力はかなり強くなりますが、距離が長くなると（ 1/r 4 ）急速に減少します。
十分に小さな磁石が2つある場合、例えば互いに十分に離れた2つの原子の場合、磁力は2つの無限小の双極子の力として表すことができます。ベクトル表記を用いると、磁気双極子m1が磁気双極子m2に及ぼす力Fは次のようになります。
ここで、r は双極子モーメント m 1 から双極子モーメント m 2 までの距離ベクトルであり、r = ‖ r ‖ です。m 1に作用する力は逆方向です。正味の力は、両方の双極子モーメントの互いの向きと、それらの間の距離ベクトルに対する向きに依存し、急速に減少します (1/ r 4に比例)。
中程度の距離であれば、磁石間の力は、一方の磁石の磁場がもう一方の磁石の両極を押し引きする力としてモデル化すれば十分な場合が多い。この磁場がもう一方の磁石の両極で同じであれば、反対極では力が逆になるため、その磁石には正味の力は働かない。しかし、最初の磁石の磁場が不均一な場合（例えば、一方の極付近の磁場が不均一な場合）、もう一方の磁石の各極は異なる磁場を受け、異なる力を受ける。この2つの力の差によって磁石は磁場が強くなる方向に移動し、正味のトルクが発生することもある。
両方の磁極が十分に小さく、単一の点として表せる場合、それらは点磁荷とみなすことができます。古典的には、 2 つの磁極間の力Fは次のように与えられます。 [ 41 ]
ここで、q m1 と q m2 は各磁石の磁極強度 (SI 単位: アンペアメートル) 、 μは介在媒体の透磁率、rは2つ の極間の距離です。2 つの磁石 (それぞれ 2 つの極を持つ) の場合、4 つの力の合計が必要になることに注意してください。一方の磁石の 2 つの極それぞれが、もう一方の磁石の 2 つの極それぞれに個別の力を及ぼします。
磁極の記述は、実際の磁石を設計する実務的な磁気技術者にとって有用ですが、実際の磁石の磁極分布は単一の北極と南極よりも複雑です。そのため、磁極の概念をそのまま適用するのは容易ではありません。場合によっては、以下に示すより複雑な数式の方が役立つでしょう。
近接する 2 つの磁化面間の機械的力は、次の式で計算できます。この式は、フリンジングの影響が無視でき、エアギャップの体積が磁化材料の体積よりもはるかに小さい場合にのみ有効です。各磁化面の力は次のようになります。[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]
ここで、Aは磁極の表面積、μ₀は真空の透磁率である。この式は、磁極にほぼ接触している、または接触している鉄に対する磁極の力にも適用できる。
2つの別々の磁石の同じ極同士を近づけ、一方の磁石を回転させると、すぐに回転して最初の磁石の方向と一致するようになります。この例では、静止している磁石の磁場が、自由に回転できる磁石に磁気トルクを発生させます。この磁気トルクNは、磁石の極を磁力線に合わせようとする性質を持っています。したがって、方位磁針は地球の磁場に合うように回転します。
数学的には、小さな磁石にかかるトルクNは、印加された磁場と磁石の磁気モーメントm[45]"}]],"parts":["magnet:",{"template":{"target":{"wt":"sfn","href":"./Template:Sfn"},"params":{"1":{"wt":"Ida"},"2":{"wt":"2021"},"p":{"wt":"483"},"loc":{"wt":"Eq. 9.127"}},"i":0}}]}">の両方に比例します。[ 45 ]
ここで、×はベクトル外積を表します。この式には、上記で説明した定性的な情報がすべて含まれています。mが磁場と同じ方向にある場合、2つのベクトルの外積はゼロになるため、磁石にはトルクはかかりません。さらに、その他の向きでは、磁場の方向にねじれるトルクが発生します。
ほとんどの物質は、外部から磁場を印加されると（少なくとも一時的に）磁化され、それによって独自の磁場を発生させます。通常、この反応は弱く、磁場が印加されている間だけ発生します。外部から磁場を印加された際の反応が異なる、様々な種類の物質が存在します。
磁石という用語は通常、外部から磁場が印加されていない状態でも、自ら持続的な磁場を発生させる物体に用いられます。このような性質を持つ物質は限られています。しかし、ほとんどの物質は外部から磁場を印加されると磁場を発生させます。この現象は磁性として知られています。磁性にはいくつかの種類があり、すべての物質は少なくともそのうちの1つを示します。
物質の全体的な磁気特性は、物質の構造、特に電子配置によって大きく変化する可能性があります。また、温度、圧力、磁場強度によっても変化するため、特定の物質が複数の磁気相を持つ場合もあります。さまざまな物質において、以下のような複数の磁気特性が観察されています。
常磁性および反磁性の場合、印加磁場と磁化の関係はしばしば線形です。しかし、超伝導体および強磁性体では、印加磁場と生成される磁化の関係はより複雑です（磁気ヒステリシスを参照）。永久磁石は、独自の持続磁場を生成する物体です。これらは、鉄やニッケルなどの強磁性体[注11 ]でできており、磁化されています。
磁化された物質の磁場は原子レベルで生成されます。この効果を適切に記述するには量子力学が必要です。幸いなことに、これらの磁気相互作用を合計した正味の効果は、磁性物質を構成する原子によって生成される磁場の、はるかに単純なモデルを使用して計算できる場合がよくあります。これは、十分に大きな距離（または十分に小さな磁石の場合）では、あらゆる磁性体のすべての磁気特性が、単一の（ベクトル）量である磁気双極子モーメントmで記述できるためです。（§ 平らな電流ループ（磁気双極子）の磁場、§ 磁気双極子にかかる正味の力とトルクを参照）。このようにモデル化できる物体、たとえば原子は、磁気双極子と呼ばれます。
したがって、磁気双極子は磁化の構成要素である。磁化された物質によって生成される磁場は、これらの双極子の正味の磁場である。同様に、磁化された物質に働く正味の力（およびトルク）は、磁化された物質を構成する個々の双極子に働く力とトルクを合計した結果である。
磁化ベクトル場Mは、物質の領域がどれだけ強く磁化されているかを表します。これは、その領域の単位体積あたりの正味の磁気双極子モーメントとして定義されます。[ 51 ]均一に磁化された磁石の磁化は、磁石の磁気モーメントmをその体積で割った値に等しい定数です。磁気モーメントの SI 単位は A⋅m 2なので、磁化Mの SI 単位はアンペア毎メートルであり、 H場の単位と同じです。
ある領域の磁化場Mは、その領域における平均磁気双極子モーメントの方向を向いています。したがって、磁力線は（磁化された物質内部では）磁気南極付近から始まり、（磁化された物質内部では）磁気北極付近で終わります。（磁化された物質の外部には磁化は存在しません。）
アンペールのループモデルでは、磁化は多数の微小な磁気双極子ループが結合して束縛電流と呼ばれる結果的な電流を形成することによって生じます。この束縛電流は、磁石による磁場Bの源となります。磁気双極子の定義を考慮すると、磁化場はアンペールの法則と同様の法則に従います。[ 52 ]
ここで、積分は任意の閉ループに沿った線積分であり、I bはその閉ループによって囲まれた束縛電流である。
開始も終了もない磁気B磁力線とは異なり、磁化磁力線は開始と終了が可能です。実際、磁化場は物質の内部にのみ存在するため、磁化磁力線は磁化された物質の境界 (磁極) と交差する場所で開始および終了する必要があります。これは、電荷で開始および終了する電場線に類似しています。したがって、特定の領域に対して正味の「磁荷」が次のようになるような「磁荷」 q mを定義することが可能です。 [ 53 ]
ここで、積分は閉曲面S上の閉曲面積分であり、q MはSで囲まれた「磁束の単位」です。（閉曲面は、磁力線が逃げる穴のない領域を完全に囲んでいます。）負の符号は、磁化場が南から北へ移動するためです。このような磁束は存在しません。むしろ、これは、電荷を持つ静電気のために開発された多くの仕組みを、仮想の磁束を持つ磁化に適用できるようにする便利な類推です。たとえば、極の正味の磁束は、磁極強度q mとして定義されます。
上記のMの定義を用いることで、磁場Hを定義することが可能になる[ 54 ]。
この式から、磁性材料の外側（） それしたがって、磁性体の外では、BとHは単位が異なるだけで機能的に同一である。定数です。
H場に関して言えば、アンペールの法則は次のようになります。[ 55 ]
ここで、I f はループで囲まれた「自由電流」を表すため、Hの線積分は束縛電流に全く依存しない。[ 56 ]
同様に、任意の閉曲面上のHの面積分は自由電流とは無関係であり、その閉曲面内の「磁気電荷」を抽出する。
これは自由電流に依存しない。
したがって、 H場は2つの独立した部分に分けることができる[注12 ]。ここで、H 0は自由電流のみによる印加磁場であり、H dは束縛電流のみによる反磁場であり、仮想的な磁荷q mを用いて等価的に表すことができる。したがって、磁場Hは束縛電流を「磁荷」を用いて再因子化する。H磁力線は「自由電流」の周りだけをループし、磁場Bとは異なり、磁極の近くで始まり、磁極の近くで終わる。
多くの材料（特に反磁性材料と常磁性材料）では、 BとHの関係は線形です。[ 57 ]
ここでμは材料に依存するパラメータで、透過率と呼ばれます。場合によっては透過率は2階テンソルとなるため、HとBの方向が一致しないことがあります。BとHの間のこれらの関係は構成方程式の例です。
拡張された印加磁場内の小さな磁性体など、多くの実際のアプリケーションでは、材料が線形であっても構成関係だけでは不十分です。これは、材料が経験するH場が印加されるHと同じではないためです。このような場合でも磁場を計算することはできますが、磁性体の境界を横切る磁場の変化を区別するように注意する必要があります。最も単純化された形式 (線形材料でHのみ、自由電流なし) でのこれらの関係は次のとおりです。 [ 58 ] [ 59 ]
ここで、添え字tはHの接線成分を表し、nはその法線成分を表す。
時間とともに変化する磁場（より一般的には変化する電流や加速する電荷）の場合、磁場と電場は連動し、一方の変化が他方を誘発します。電場と磁場が合わさって電磁場を形成します。このように電場と磁場がどのように相互作用するかを研究する学問は電気力学と呼ばれ、物理学や電気工学において重要な多くの現象を含みます。電気力学は変圧器の基礎であり、電線や空間を通して電磁放射（光はその一形態）の形で電力を生成・伝送する原理でもあります。また、磁場がエネルギーを蓄積・伝達することも可能にします。
時間とともに変化する磁場がワイヤーのループを通過すると、そのループに電流（より正確には起電力）が誘導されます。これは電磁誘導として知られており、インダクタ、変圧器、発電機などの多くの電子機器にとって重要です。これを支配する方程式は、磁束の法則またはファラデーの誘導の法則として知られています。[ 60 ]
どこは起電力（またはEMF、閉ループの周囲に発生する電圧）であり、 Φは磁束、つまり面積とそれに垂直な磁場の積です。（この磁束の定義から、 Bは磁束密度と呼ばれることが多いのです。）[ 61 ]負の符号は、コイル内の変化する磁場によって発生する電流は、その電流を誘起した磁場の変化に抵抗する磁場を生成するという事実を表しています。この現象はレンツの法則として知られています。
磁場を生成するには、変化する磁場が作り出す電場に対抗し、磁場内のあらゆる物質の磁化を変化させるためにエネルギーが必要です。特定の領域で磁場を生成するだけのエネルギー密度は次のとおりです。[ 62 ]
非分散性材料の場合、材料を磁化するために使用されたエネルギーは磁場が破壊されたときに放出されるため、エネルギーは磁場に蓄積されているものとしてモデル化できます。非分散性材料が線形である場合（B = μ H 、ここでμは周波数に依存しない）、磁場に蓄積され、材料を磁化する際にある場所で蓄積される全エネルギー密度は次のようになります。[ 63 ]
ただし、上記の式は非線形材料には適用できません。一般に、磁場δBの小さな変化を引き起こすために必要な単位体積あたりの仕事量δWは次のようになります。[ 64 ]
HとBの関係が分かれば、この式を用いて特定の磁気状態に到達するために必要な仕事量を求めることができます。強磁性体や超伝導体などのヒステリシス特性を持つ材料の場合、必要な仕事量は磁場の生成方法にも依存します。しかし、線形非分散性材料の場合、この一般式は上記のより単純なエネルギー密度式に直接結びつきます。
磁場は電場とともに電力を伝達します。このようにして伝達される電力の量（単位面積あたり）はポインティングベクトルSと呼ばれ、磁場との外積として依存します。[ 65 ] [ 66 ]
ここでEは電場です。この電力には、電場と磁場によって伝達される電力と、材料の磁化と分極によって吸収および放出されるエネルギーの両方が含まれることに注意してください。また、この式は線形非分散材料にのみ適用されます。この式は、H = B /μ 0となる真空でも有効です。
ポインティングベクトルの時間平均は放射照度として知られており、光学において特定の点における光の強さを表す重要な量である。
与えられた時間的に変化する電荷と電流のセットに対して、磁場を直接計算するために用いられる複雑な方程式を用いずに磁場を計算することが有用な場合がある。その一例として、光波が表面で反射・屈折する際の磁場を計算する場合が挙げられる。このような場合、磁場と電場の両方を求めるためにマクスウェル方程式が用いられる。（電気力学では、電場と磁場は連成している。）
マクスウェル方程式は、単純な形状（コンピュータや有限要素解析を用いれば複雑な形状も含む）における磁場と電場を計算できる強力な微分方程式系です。マクスウェル方程式とローレンツ力法則を組み合わせることで、電気と磁気の両方を含む古典電磁気学の完全な記述が得られます。
マクスウェル方程式は、すべてのベクトル場（電場や磁場など）が2種類のソースと適切な境界条件で表現できるという事実を利用しています。[注13 ] 1つ目のソース（流出ソース）は、ベクトル場を特定の点に向かって流出（またはシンクの場合は流入）させます。2つ目のソース（または循環ソース）は、ベクトル場を特定の点の周りで回転（渦を形成）させます。これらのソースはどちらも明確に定義されており、よく理解されているベクトル演算子を使用して、それらが生成するベクトル場から計算できます。
ベクトル場Aの発散∇ · Aは、与えられたベクトル場に発散演算子を適用すると流出源が得られるように定義されます。回転は、∇ × Aが循環源となるように定義されます。これらのベクトル演算子の強力さの例として、磁荷が存在しないことが実験的に証明されているため (したがってBのソースもシンクも存在しない)、 Bの発散はゼロでなければならず、∇ · B = 0 となります。これはマクスウェル方程式の 1 つです。
マクスウェル方程式には大きく分けて2つのバージョンがあります。1つは、すべての電荷と電流（原子レベルの複素数を含む）を知る必要がある微視的なバージョン、もう1つは、既知の「自由」電荷と「自由」電流のみに依存する巨視的なバージョンです。ここでいう「自由」とは、実験によって直接制御される電荷または電流を意味し、物質中に存在する電場や磁場への応答として生じる、原子レベルの「束縛」電荷や電流は含まれません。
マクスウェルの巨視的方程式は次のように表される。
これらの式では、は電束密度場です。電場、自由電荷密度、そして自由電流密度。
マクスウェル方程式の1つ目はガウスの法則として知られていますが、磁場を伴わないため、ここではこれ以上詳しく説明しません。2つ目の方程式は磁気に関するガウスの法則で、磁荷が存在しないことを反映しており、ベクトルポテンシャルAの回転としてBを決定できます。3つ目の方程式はファラデーの誘導法則です。そして、4つ目の方程式はマクスウェルの補正を加えたアンペールの法則です。
高度な方程式を導出する場合や、量子力学や相対性理論などの高度なトピックでは、電場や磁場ではなく、ポテンシャルによる電気力学の定式化を用いる方が簡単な場合が多い。この表現では、磁気ベクトルポテンシャルAと電気スカラーポテンシャルφは次のように定義される。[ 68 ]
この形式で与えられるベクトルポテンシャルAは、 φ が単位電荷あたりの一般化されたポテンシャルエネルギーとして解釈されるのと同様に、単位電荷あたりの一般化されたポテンシャル運動量として解釈される可能性がある[ 69 ]。上記の条件を満たすポテンシャル場には複数の選択肢がある。ただし、ポテンシャルの選択は、それぞれのゲージ条件によって表される。
マクスウェル方程式をポテンシャルで表すと、特殊相対性理論と明確に一致する形式[ 70 ]に書き換えることができる[ 71 ]。Aとφは合わせて4元ポテンシャルを形成する。電場と磁場の代わりに4元ポテンシャルを使う方がはるかに簡単で、量子力学にも容易に適用できる。
磁場は本質的に相対論的な現象です。より具体的に言うと、電場と磁場は、異なる基準系で見ると同じ現象です。ある観測者が知覚する電気力は、別の観測者（異なる基準系にいる観測者）からは磁力、あるいは電気力と磁力の混合として知覚される可能性があります。（ここで「異なる基準系」とは、一方の基準系が他方の基準系に対して相対的に移動していることを意味します。）相対論的な現象の場合、ある基準系から別の基準系へ移動（または変換）するには、ローレンツ変換を用いる必要があります。
電場と磁場が一方の基準系から他方の基準系へどのように変換されるかを示すのは簡単な作業である[ 72 ] 。しかし、変換規則はかなり複雑である。簡単な例として、クーロンの法則（静止系における荷電粒子の純粋な電場）が運動する基準系にどのように変換されるかを調べてみよう。運動する基準系内の点は、次の磁場を経験する。[ 73 ]： 29-42
どこは点源の電荷であり、は真空の誘電率です。は点光源から空間内の点までの位置ベクトルです。は荷電粒子の速度ベクトルであり、は荷電粒子の速度を光速で割った比率であり、角度はそして。
形式的には、特殊相対性理論は電場と磁場を電磁テンソルと呼ばれるランク2のテンソルに組み合わせます。参照系を変更すると、これらの成分が混ざり合います。これは、特殊相対性理論が空間と時間を時空に、質量、運動量、エネルギーを4元運動量に混合する方法に類似しています。[ 74 ]同様に、磁場に蓄えられたエネルギーは、電磁応力エネルギーテンソルにおいて電場に蓄えられたエネルギーと混合されます。
点電荷の電場と磁場に関するマクスウェル方程式の解は、遅延時間、つまり過去に粒子が点に場を生じさせる時間で表されます。ただし、影響は光速で空間を伝わると仮定します。点粒子の遅延時間は、次の式の解として与えられます。[ 75 ]
遅延時間は、その場の発生源の寄与が始まった時刻です。は、時間の関数としての粒子の位置ベクトルです。空間内の点であり、はフィールドが測定される時間であり、は光速です。点電荷の任意の運動は、次のような電場と磁場を発生させます。[ 76 ]
ここで、qは点源の電荷であり、は、荷電粒子から空間内の点に向かう単位ベクトルです。は粒子の速度を光速で割ったもので、は対応するローレンツ因子です。
量子力学に組み込まれた古典的な電磁場は、半古典的放射理論として知られています。しかし、それは自発放出過程やラムシフトなどの実験的に観測された予測を行うことができず、場の量子化が必要であることを示しています。現代物理学では、電磁場は古典場ではなく量子場であると理解されています。それは各点で 3 つの数値のベクトルとしてではなく、各点で 3 つの量子演算子のベクトルとして表されます。電磁相互作用 (およびその他多くのもの) の最も正確な現代の記述は量子電磁力学(QED) [ 77 ]であり、これは素粒子物理学の標準モデルとして知られるより完全な理論に組み込まれています。
量子電磁力学（QED）では、荷電粒子（およびその反粒子）間の電磁相互作用の大きさは摂動論を用いて計算される。これらのかなり複雑な数式は、仮想光子が交換されるファインマン図という、非常に分かりやすい図解を生み出す。
QEDの予測は、実験結果と極めて高い精度で一致しています。現在の精度は約10⁻¹² （実験誤差によって制限されます）。詳細は「QEDの精密テスト」を参照してください。このことから、QEDはこれまでに構築された物理理論の中で最も精度の高いものの一つと言えます。
この記事中のすべての方程式は古典近似によるものであり、ここで述べた量子力学的記述よりも精度は劣ります。しかし、ほとんどの日常的な状況においては、これら2つの理論の差は無視できる程度です。
地球の磁場は、外核内の液体鉄合金の対流によって生成される。ダイナモ作用では、この動きがフィードバック過程を引き起こし、電流が電場と磁場を生成し、それが今度は電流に作用する。[ 78 ]
地球表面の磁場は、巨大な棒磁石を地球の中心に置き、地球の自転軸から約 11° の角度で傾けた場合とほぼ同じです (図を参照)。[ 79 ]磁気コンパスの北極は、おおよそ北、つまり北磁極の方向を指します。しかし、磁極は反対の磁極に引き寄せられるため、北磁極は実際には地磁気の南極です。この用語の混乱は、磁石の極がそれが指す地理的な方向によって定義されることから生じます。[ 80 ]
地球の磁場は一定ではなく、磁場の強さと極の位置は変化します。[ 81 ]さらに、極は地磁気逆転と呼ばれるプロセスで周期的に向きを反転します。直近の逆転は78万年前に起こりました。[ 82 ]
磁気探査は、考古地球物理学で使用される多くの方法の 1 つです。磁気探査は、地球の磁場の空間的変動を記録します。考古学では、磁気探査は考古学的遺物や特徴を検出およびマッピングするために使用されます。磁気探査は、陸上考古学と海洋考古学の両方で使用されます。陸上考古学では、磁気探査は通常、既知の考古学的遺跡の考古学的特徴の詳細なマッピングに使用されます。まれに、磁力計は低解像度の探索的調査に使用されます。磁気探査は、調査エリアがより詳細な研究や科学的発掘の可能性があることを証明するのに役立ちます。磁気探査は、水中考古学的遺跡の発掘と調査に非常に役立ちます。海洋考古学では、これらはしばしば難破船の地質をマッピングし、海底で見つかった磁性物質の組成を決定するために使用されます。
地球の磁場を測定することは、鉱物探査、石油探査、地質図作成において非常に有用な手段です。広範囲を均一なデータでカバーするために、ヘリコプター、飛行機、ドローンなどの航空機が使用されます。データの精細度は、飛行高度、サンプル密度、そして測定機器の感度によって決まります。調査にはドローンが使用され、作業効率を大幅に向上させます。航空磁気探査は、不発弾の偵察地図作成にも使用されます。
回転磁界は、交流モーターの動作における一般的な設計原理である。このような磁界中の永久磁石は、外部磁界との向きを維持するように回転する。
電気モーターの駆動には磁気トルクが利用されます。シンプルなモーター設計では、磁石が自由に回転するシャフトに固定され、電磁石アレイからの磁場にさらされます。各電磁石に流れる電流を連続的に切り替えることで、磁場の極性を反転させ、同極をローターの近くに配置します。その結果生じるトルクがシャフトに伝達されます。
回転磁場は、2つのコイルを直角に配置し、それらの交流電流の位相差を90度とすることで生成できます。実際には、 3つの電流の大きさが等しく、位相差が120度の三相システムが用いられます。互いに120度の角度で配置された3つの類似したコイルによって回転磁場が生成されます。電気モーターに利用される回転磁場を生成できる三相システムの能力は、三相システムが世界の電力供給システムを席巻している主な理由の一つです。
同期電動機は直流電圧で駆動される回転子巻線を使用し、これにより機械の励磁を制御できます。一方、誘導電動機は、多巻線ステータの回転磁界に追従する短絡された回転子（磁石の代わりに）を使用します。回転子の短絡された巻線には、ステータの回転磁界によって誘起される渦電流が発生し、これらの電流がローレンツ力によって回転子にトルクを発生させます。
イタリアの物理学者ガリレオ・フェラリスとセルビア系アメリカ人の電気技師ニコラ・テスラは、それぞれ独立して電気モーターにおける回転磁場の利用について研究を行った。1888年、フェラリスはトリノ王立科学アカデミーに論文を発表し、テスラは自身の研究に対して米国特許第381,968号を取得した。
Hの重要な用途の一つは磁気回路です。磁気回路は、磁束を含む1つ以上の閉ループ経路で構成されています。磁束は通常、永久磁石または電磁石によって生成され、鉄などの強磁性体からなる磁気コアによって経路内に閉じ込められますが、経路内には空隙や他の物質が存在する場合もあります。磁気回路は、電動機、発電機、変圧器、リレー、昇降用電磁石、SQUID、検流計、磁気記録ヘッドなど、多くの機器で磁場を効率的に伝達するために利用されています。
磁気回路の磁気特性間の関係は、電気回路のオームの法則と表面上類似しているホプキンソンの法則によって記述でき、その結果、磁気回路の特性と類似の電気回路の特性との間に一対一の対応関係が生じます。この概念を使用すると、変圧器などの複雑なデバイスの磁場を、電気回路用に開発された方法と技術を使用して迅速に解くことができます。ホプキンソンの法則は次のとおりです。[ 83 ]
どこは回路内の磁束であり、は回路に加わる起磁力であり、 R mは回路の磁気抵抗です。ここで、磁気抵抗R mは、磁束に対する抵抗と性質が類似した量です。この類推を用いることで、回路理論のあらゆる手法を用いて、複雑な磁場形状の磁束を容易に計算できます。
磁気浮上（マグレブ）または磁気サスペンションは、磁場以外の支持なしに物体を浮上させる方法です。磁力は、重力やその他の力の影響を打ち消すために使用されます。 [ 84 ] 磁気浮上に関わる主な問題は、（a） 揚力（重力に対抗するのに十分な上向きの力を提供する）、および（b）安定性（システムが自発的に滑ったり、揚力が相殺されるような構成に反転したりしないようにする）の 2 つです。
磁場は、様々な方法で物質に影響を与える。
電流が流れる導体を横方向の磁場中に置くと、電荷キャリアは横方向のローレンツ力を受けます。これにより、電流と磁場に垂直な方向に電荷分離が生じます。その結果生じる電圧は、印加された磁場に比例します。これはホール効果として知られています。
ホール効果は、磁場の大きさを測定するためによく用いられる。また、半導体などの材料における主要な電荷キャリアの符号（負の電子または正の正孔）を調べるためにも用いられる。
実験室以外の環境で巨視的な体積にわたって生成された最大の磁場は 2.8 kT です (ロシア、サロフのVNIIEF、1998 年)。[ 85 ]実験室で巨視的な体積にわたって生成された最大の磁場は、2018 年に東京大学の研究者によって 1.2 kTでした。 [ 86 ] 実験室で生成される最大の微視的磁場は、RHICなどの粒子加速器内の重イオンの衝突で発生し、微視的磁場は 10 14 Tに達します。 [ 87 ] [ 88 ]マグネターは、自然界に存在する物体の中で最も強い巨視的磁場を持ち、その範囲は 0.1 ～ 100 GT (10 8～ 10 11 T) です。[ 89 ]
有限ビームの磁場を通して追加の磁場値を求めることができる。例えば、角度の弧の磁場は半径中心にはまたは、辺の長さがNの正多角形の中心における磁場は両方とも、右手の親指の法則から推測される適切な方向で、平面の外側にある。
磁石や磁気の性質の一部は古代社会で知られていましたが、磁場の研究は1269年にフランスの学者ペトルス・ペレグリヌス・ド・マリクールが鉄針を使って球形磁石の表面の磁場をマッピングしたことから始まりました。結果として生じる磁力線が2点で交差することに注目し、地球の極になぞらえてそれらの点を「極」と名付けました。また、磁石はどんなに細かく切断しても必ず北極と南極の両方を持つという原理も明確にしました。[ 90 ] [注14 ]
1600年（約3世紀後）、コルチェスターのウィリアム・ギルバートは『De Magnete』を出版した。『De Magnete』の中で、ギルバートはペトルス・ペレグリヌスの研究を再現し、地球が磁石であると明言した最初の人物となった。[ 91 ] : 34また、彼は電気と磁気は別々の現象であると主張した。
1750年、ジョン・ミッチェルは磁極が逆二乗法則に従って引き合い、反発し合うと述べた[ 91 ]： 56シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンは1785年にこれを実験的に検証し、北極と南極は分離できないと明言した[ 91 ]： 59この磁極間の力を基に、シメオン・ドニ・ポアソン（1781～1840）は磁場の最初の成功したモデルを作成し、1824年に発表した[ 91 ]： 64
1820年に3つの発見があり、磁気の基礎に疑問を投げかけました。ハンス・クリスチャン・エルステッドは、電流が流れる導線が円形の磁場に囲まれていることを示しました。[注15 ] [ 92 ]次に、アンドレ＝マリー・アンペールは、電流が流れる平行な導線は、電流の方向が同じであれば互いに引き合い、反対方向であれば反発し合うことを示しました。[ 91 ] : 87 [ 93 ]最後に、ジャン＝バティスト・ビオとフェリックス・サヴァールは、電流が流れる長い直線導線が小さな磁石に及ぼす力に関する実験結果を発表し、その力が導線から磁石までの垂直距離に反比例することを明らかにしました。[ 94 ] [ 91 ] : 86ラプラスは後に、ワイヤーの微小部分の微小作用に基づく力の法則を導き出したが、[ 94 ] [ 95 ]ラプラスは自身の発見を公表しなかったため、これはビオ・サバールの法則として知られるようになった。[ 96 ]
これらの実験を拡張し、アンペールは1825年に自身の磁気モデルを発表した。その中で、彼は電流と磁石の等価性を示し[ 91 ] : 88、磁気はポアソンのモデルにおける磁荷の双極子ではなく、絶えず流れる電流のループによるものであると提唱した[注16 ] 。さらに、アンペールは2つの電流間の力を記述するアンペールの力法則と、ビオ・サバールの法則と同様に定常電流によって生成される磁場を正しく記述するアンペールの法則の両方を導出した。
また、アンペールは1825年の著作の中で、電気と磁気の関係を説明するために「電気力学」という用語を導入した。 [ 91 ]： 88-92
1831年、マイケル・ファラデーは、変化する磁場が周囲を囲む電場を生成することを発見し、電磁誘導を発見しました。これは現在ファラデーの誘導の法則として知られています。[ 91 ] : 189–192後に、フランツ・エルンスト・ノイマンは、磁場中の移動する導体の場合、誘導はアンペールの力の法則の結果であることを証明しました。[ 91 ] : 222その過程で、彼は磁気ベクトルポテンシャルを導入しましたが、これは後にファラデーが提案した基礎的なメカニズムと同等であることが示されました。[ 91 ] : 225 1850年、当時ウィリアム・トムソンとして知られていたケルビン卿は、現在HとBで表される2つの磁場を区別しました。前者はポアソンモデルに適用され、後者はアンペールモデルと誘導に適用されます。[ 91 ] : 224さらに、彼はHとBが互いにどのように関係しているかを導き出し、透過性という用語を作り出した。[ 91 ] : 245 [ 97 ]
1861年から1865年の間に、ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、古典的な電気と磁気のすべてを説明し統一するマクスウェル方程式を開発し発表しました。これらの方程式の最初のセットは、 1861年に「物理的な力線について」というタイトルの論文で発表されました。これらの方程式は有効でしたが、不完全でした。マクスウェルは、1865年の後の論文「電磁場の動力学的理論」で方程式のセットを完成させ、光が電磁波であるという事実を実証しました。ハインリヒ・ヘルツは、 1887年と1888年にこの事実を実験的に確認する論文を発表しました。[ 98 ] [ 99 ]
1887年、テスラは交流で動く誘導電動機を開発した。この電動機は多相電流を使用し、回転磁場を発生させて電動機を回転させた（テスラはこの原理を1882年に考案したと主張している）。[ 100 ] [ 101 ] [ 102 ]テスラは1888年5月に電動機の特許を取得した。[ 103 ] [ 104 ] 1885年、ガリレオ・フェラリスは独自に回転磁場を研究し、その後、テスラが特許を取得するわずか2か月前の1888年3月に、トリノの王立科学アカデミーに論文として研究成果を発表した。 [ 105 ]
20世紀には、古典電磁気学がすでに特殊相対性理論と整合していることが示され、古典電磁気学は量子力学と連携するように拡張されました。アルベルト・アインシュタインは、相対性理論を確立した1905年の論文で、電場と磁場は異なる参照系から見た同じ現象の一部であることを示しました。最終的に、新たに登場した量子力学の分野が電磁気学と融合し、量子電磁力学（またはQED）が形成されました。QEDは、光子の交換によって相互作用する帯電粒子を含むすべての現象を数学的に記述し、古典電磁気学の量子版を表し、物質と光の相互作用を完全に説明します。[ 106 ]
ウィキメディア・コモンズにある磁場に関するメディア。
![{\displaystyle \mathbf {H} _{dip}={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\hat {r}} )-\mathbf {m} }{r^{3}}}\right]={\frac {\mathbf {B} _{ディップ}}{\mu _{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e53be424ef2a1f424039b3f7be153ebfd09aebf)
![{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\frac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \右]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a82aa67d79d330ce71a8a371ddb57be27315be)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\mathbf {t} )&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {qc({\boldsymbol {\beta }}_{s}\times \mathbf {n} _{s})}{\gamma ^{2}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}^{3}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}\right|}^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times \left(\mathbf {n} _{s}\times \left(\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}\right)\right)}{{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}^{3}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}\right|}}\right]_{t=t_{r}}\\[1ex]&={\frac {\mathbf {n} _{s}(t_{r})}{c}}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\mathbf {t} \,,)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50768a8c7da290e20f5213d262f993bd0bc9c75c)
