ダイナモ理論

物理学において、ダイナモ理論は、地球や恒星などの天体が磁場を生成するメカニズムを提唱している。ダイナモ理論は、回転、対流、電気伝導性を持つ流体が、天文学的な時間スケールにわたって磁場を維持できる過程を説明する。ダイナモは、地球の磁場、水星の磁場、そして木星型惑星の磁場の発生源であると考えられている。

ウィリアム・ギルバートが1600年に『De Magnete』を出版したとき、彼は地球が磁気を帯びていると結論付け、この磁気の起源に関する最初の仮説、すなわち磁鉄鉱に見られるような永久磁気を提唱した。1822年、アンドレ＝マリー・アンペールは、地球の磁気は内部電流によるものだと提唱した。^{[ 2 ]} 1919年、ジョセフ・ラーモアは、ダイナモが磁場を生成している可能性があると提唱した。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}しかし、彼がこの仮説を提唱した後も、著名な科学者の中には別の説明を提唱する者もいた。ノーベル賞受賞者のパトリック・ブラケットは、角運動量と磁気モーメントの間の基本的な関係を探す一連の実験を行ったが、そのような関係は見つからなかった。^{[ 5 ] [ 6 ]}

地球の磁気現象を説明する現在広く受け入れられているダイナモ理論の「父」とされるウォルター・M・エルサッサーは、地球の流体状の外核に誘起される電流によって磁場が生じると提唱した。彼は岩石中の鉱物の磁気配向を研究することで、地球の磁場の歴史を明らかにした。

オーム減衰（双極子磁場の場合、20,000 年で発生する）に抗して磁場を維持するためには、外核が対流していなければならない。対流は、熱対流と組成対流の組み合わせであると考えられる。マントルは、核から熱が抽出される速度を制御する。熱源には、核の圧縮によって放出される重力エネルギー、核が成長するにつれて内核境界で軽元素（おそらく硫黄、酸素、またはケイ素）が排出されることによって放出される重力エネルギー、内核境界での結晶化潜熱、カリウム、ウラン、トリウムの放射能などがある。^{[ 7 ]}

21世紀の幕開けの時点では、地球の磁場の数値モデル化は精度に欠けていた。初期のモデルは、惑星の流体外核における対流による磁場生成に焦点を当てていた。モデルが均一な核表面温度と核流体の極めて高い粘性を仮定した場合、地球のような強い磁場の生成を示すことができた。より現実的なパラメータ値を組み込んだ計算では、地球のような磁場は得られなかったが、モデルの改良によって最終的には正確な解析モデルが得られる可能性があることが示された。数ミリケルビンの範囲での核表面温度のわずかな変化は、対流流の著しい増加をもたらし、より現実的な磁場を生成する。^{[ 8 ] [ 9 ]}

ダイナモ理論は、回転、対流、電気伝導性を持つ流体が磁場を維持する過程を説明する。この理論は、天体における異常に長寿命な磁場の存在を説明するために用いられる。地球ダイナモにおける導電性流体は外核の液体鉄であり、太陽ダイナモにおける導電性流体はタコクラインの電離ガスである。天体のダイナモ理論は、磁気流体力学方程式を用いて、流体が磁場を継続的に再生する方法を研究する。^{[ 10 ]}

かつては、地球の磁場の大部分を占め、自転軸に対して11.3度ずれている双極子は、地球内部の物質の永久磁化によって生じると考えられていました。つまり、太陽の磁場と地球の磁場の関係を説明するために、当初はダイナモ理論が用いられていたのです。しかし、 1919年にジョセフ・ラーモアによって提唱されたこの仮説は、地磁気の永年変化、古地磁気学（極性反転を含む）、地震学、太陽系の元素存在量に関する広範な研究によって修正されました。また、カール・フリードリヒ・ガウスの理論を地磁気観測に適用した結果、地球の磁場は外部ではなく内部に起源を持つことが明らかになりました。

ダイナモが作動するには、3つの条件が必要です。

• 電気伝導性のある流体媒体
• 惑星の自転によって得られる運動エネルギー
• 流体内部の対流運動を駆動する内部エネルギー源。^{[ 11 ]}

地球の場合、磁場は外核内の液体鉄の対流によって誘導され、常に維持されています。磁場誘導には回転する流体が必要です。外核の回転は、地球の自転によって生じるコリオリ効果によってもたらされます。コリオリ力は、流体の動きと電流を回転軸に沿った柱状（テイラー柱も参照）に整列させる傾向があります。磁場の誘導または生成は、誘導方程式によって記述されます。 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} +\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )}$$ ここで、uは速度、Bは磁場、tは時間、${\displaystyle \eta =1/(\sigma \mu )}$は磁気拡散率であり、${\displaystyle \sigma }$電気伝導率と${\displaystyle \mu }$透磁率。右辺の第2項と第1項の比は、磁場の移流と拡散の無次元比である磁気レイノルズ数を与える。

運動学的ダイナモ理論では、速度場は動的変数ではなく、規定された値として扱われます。このモデルでは、磁場に応じて流れが歪むことは考慮されていません。この方法では、完全非線形カオスダイナモの時間変動挙動を再現することはできませんが、磁場強度が流れの構造や速度によってどのように変化するかを研究するために使用できます。

マクスウェル方程式とオームの法則の回転を同時に用いることで、磁場（B）に関する基本的に線形の固有値方程式を導出できる。これは、磁場が速度場に依存しないと仮定した場合に可能である。臨界磁気レイノルズ数に到達し、この数を超えると流れの強さが印加された磁場を増幅するのに十分であり、この数を下回ると磁場は消散する。

磁場が流体の運動に影響を与えるほど強くなると、運動学的近似は無効になります。この場合、速度場はローレンツ力の影響を受けるため、誘導方程式は磁場に関して線形ではなくなります。ほとんどの場合、これはダイナモの振幅の減衰につながります。このようなダイナモは、流体磁気ダイナモと呼ばれることもあります。^{[ 18 ]} 天体物理学および地球物理学におけるダイナモは、ほぼすべて流体磁気ダイナモです。

この理論の主な考え方は、外核に存在するわずかな磁場が、ローレンツ力によってその中の流体の動きに電流を生み出すというものです。これらの電流は、アンペールの法則によってさらに磁場を生み出します。流体の動きによって、磁場が強くなる方向に電流が流れます（${\displaystyle \;\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\;}$負の値をとる^{[ 19 ]}）。したがって、「種」磁場は、既存の非磁気力に関連するある値に達するまで強くなり続ける可能性がある。

数値モデルは、完全非線形ダイナモをシミュレートするために使用されます。以下の式が使用されます。

• 上記に示した誘導方程式。
• 電場が無視できる場合のマクスウェル方程式：$${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \cdot \mathbf {B} =0\\[1ex]&\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}}$$
• 質量保存則の連続方程式（ブシネスク近似がよく用いられる）：$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}$$
• 運動量保存の法則を表すナビエ・ストークス方程式は、磁力と重力を外力として、同じ近似を用いて表される。$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho '\mathbf {g} +2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} +{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\mathbf {J} \times \mathbf {B} ~,}$$どこ${\displaystyle \,\nu \,}$は動粘度です。${\displaystyle \,\rho _{0}\,}$は平均密度であり、${\displaystyle \rho '}$は、浮力（熱対流の場合）を提供する相対密度摂動である。${\displaystyle \;\rho '=\alpha \Delta T\;}$どこ${\displaystyle \,\alpha \,}$は熱膨張係数です。${\displaystyle \,\Omega \,}$は地球の自転速度であり、${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$は電流密度です。
• 輸送方程式（通常は熱に関するもの、場合によっては軽元素濃度に関するもの）：$$\displaystyle {\frac {\,\partial T\,}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\varepsilon }$$ここでTは温度であり、${\displaystyle \;\kappa =k/\rho c_{p}\;}$は熱拡散率、kは熱伝導率である。${\displaystyle \,c_{p}\,}$熱容量、そして${\displaystyle \rho }$密度、そして${\displaystyle \varepsilon }$はオプションの熱源です。多くの場合、圧力は動圧であり、静水圧と求心ポテンシャルは除かれています。

これらの式は無次元化され、無次元パラメータが導入されます。 $${\displaystyle R_{\mathsf {a}}={\frac {\,g\alpha TD^{3}\,}{\nu \kappa }}\;,\quad E={\frac {\nu }{\,\Omega D^{2}\,}}\;,\quad P_{\mathsf {r}}={\frac {\,\nu \,}{\kappa }}\;,\quad P_{\mathsf {m}}={\frac {\,\nu \,}{\eta }}}$$ ここで、R _aはレイリー数、Eはエクマン数、P _rとP _{m は}それぞれプラントル数と磁気プラントル数である。磁場スケーリングは、多くの場合、エルサッサー数単位で表される。${\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}.}$

概して、地磁気ダイナモのモデルは、前述のセクションで述べた特定の条件と方程式に基づいて、観測データと整合する磁場を生成しようと試みます。磁気流体力学方程式をうまく実装できたことは、ダイナモモデルを自己整合的にする上で特に重要でした。地磁気ダイナモモデルは特に広く用いられていますが、ダイナモモデルは必ずしも地磁気ダイナモに限定されるものではなく、太陽ダイナモや一般的なダイナモモデルも注目されています。ダイナモモデルを研究することは、地球などの天体によって生成される磁場のような磁場が様々なメカニズムによってどのように形成されるか、また、磁場が磁極反転などの特定の特性を示す原因となる仕組みを特定できるため、地球物理学の分野で有用です。

ダイナモの数値モデルで使用される方程式は非常に複雑です。数十年にわたり、理論家は上述の2次元運動学的ダイナモモデルに限定されていました。このモデルでは、流体の動きが事前に選択され、磁場への影響が計算されます。線形から非線形の3次元ダイナモモデルへの進展は、運動学的モデルで行われる多くの仮定を不要にし、自己整合性を可能にする磁気流体力学方程式の解の探索によって大きく妨げられてきました。

流体運動と磁場の両方を決定する最初の自己整合ダイナモモデルは、1995 年に 2 つのグループによって開発されました。 1 つは日本^{[ 22 ]} 、もう 1 つは米国^{[ 23 ] [ 24 ]}です。後者は地磁気ダイナモに関するモデルとして作成され、地球の磁場のいくつかの特性をうまく再現したため、大きな注目を集めました。^{[ 19 ]}このブレークスルーの後、妥当な 3 次元ダイナモモデルの開発が大きく盛り上がりました。^{[ 19 ]}

現在では多くの自己整合モデルが存在するものの、それらのモデル間には、生成される結果と開発方法の両方において大きな違いがある。^{[ 19 ]}地磁気ダイナモモデルの開発は複雑であるため、ダイナモにエネルギーを供給するメカニズムに関する仮定を行う際、方程式で使用されるパラメータの値を選択する際、または方程式を正規化する際など、不一致が生じる可能性のある箇所が多数存在する。発生する可能性のある多くの違いにもかかわらず、ほとんどのモデルには明確な軸双極子などの共通の特徴がある。これらのモデルの多くでは、永年変化や地磁気極性反転などの現象もうまく再現されている。^{[ 19 ]}

観察結果

ダイナモ モデルからは多くの観測ができます。モデルは、磁場が時間とともにどのように変化するかを推定するために使用でき、観測された古地磁気データと比較することで、モデルと地球との類似点を見つけることができます。ただし、古地磁気観測の不確実性のため、比較は完全に有効または有用ではない可能性があります。^{[ 19 ]}簡略化されたジオダイナモ モデルは、ダイナモ数 (外核の回転速度の変動と鏡像非対称対流 (たとえば、対流が北で一方の方向を、南で他方の方向を好む場合) によって決定される) と磁極反転との関係を示し、ジオダイナモと太陽のダイナモとの類似点を発見しました。^{[ 19 ]}多くのモデルでは、磁場は平均するとゼロになる通常の傾向に従う、ややランダムな大きさを持っているようです。^{[ 19 ]}これらの観測に加えて、モデルが地球から収集された実際のデータをどれだけ正確に反映しているかに基づいて、ジオダイナモを駆動するメカニズムに関する一般的な観測を行うことができます。

• スタニスラフ・I・ブラギンスキー、研究地球物理学者

• 反ダイナモ定理
• 回転磁場
• 長期的な変化

• Demorest, Paul (2001年5月21日)。「ダイナモ理論と地球の磁場（レポート）」（PDF）。2007年2月21日にオリジナル（PDF）からアーカイブ済み。 2011年10月14日取得。
• フィッツパトリック、リチャード（2002年5月18日）。「MHDダイナモ理論」。プラズマ物理学。テキサス大学オースティン校。 2011年10月14日取得。
• メリル、ロナルド・T.、マケルヒニー、マイケル・W.、マクファデン、フィリップ・L. (1996).地球の磁場：古地磁気学、核、深部マントル.アカデミック・プレス. ISBN 978-0-12-491246-5。
• スターン、デイビッド P. 「第 12 章：ダイナモ過程」。『地球という巨大な磁石』。2011年10 月 14 日取得。
• スターン、デイビッド P. 「第 13 章：地球の核におけるダイナモ」。『地球という巨大な磁石』 。2011年10 月 14 日に取得。