均一な磁場を作り出す2つの円形コイル装置
ヘルムホルツコイル ヘルムホルツコイルの概略図 ヘルムホルツ コイル は、ほぼ均一な 磁場 の領域を生成する装置で 、ドイツの物理学者 ヘルマン フォン ヘルムホルツにちなんで名付けられました。同じ軸上に 2 つの 電磁石 があり 、同じ方向に等しい電流が流れます。磁場を生成する以外に、ヘルムホルツ コイルは科学機器で地球の磁場などの外部磁場を打ち消すためにも使用されます。
ヘルムホルツコイルの2つの電磁石のペアが反対方向に等しい電流を流すと、 反ヘルムホルツコイルと呼ばれ、ほぼ均一な磁場 勾配 の領域が生成され、原子物理学の実験用の 磁気トラップ を作成するために使用されます 。
真空管内の陰極線がヘルムホルツコイルによって円形に曲げられる
説明 ヘルムホルツ対は、共通の軸に沿って対称的に配置された2つの同一の円形磁気コイルで構成され、実験領域の両側に1つずつ、コイルの 半径に等しい距離だけ離して配置されています 。各コイルは 同じ方向に等しい 電流を流します。 [1]
h
{\displaystyle h}
R
{\displaystyle R}
ヘルムホルツ対を定義する を設定すると 、コイルの中心における磁場の不均一性は、設定の意味 [2] （つまり、最初の非ゼロ導関数が 以下に説明するとおりになる）で最小限に抑えられますが、中心とコイル面の間の磁場強度に約 7% の変動が残ります。 の値がわずかに大きくなると、 中心とコイル面の間の磁場の差は小さくなりますが、 で測定される中心付近の領域での磁場の均一性が悪化します 。 [3]
h = R
{\displaystyle h=R}
∂
2
B
/
∂
x
2
= 0
{\displaystyle \partial ^{2}B/\partial x^{2}=0}
∂
4
B
/
∂
x
4
{\displaystyle \partial ^{4}B/\partial x^{4}}
h
{\displaystyle h}
∂
2
B
/
∂
x
2
{\displaystyle \partial ^{2}B/\partial x^{2}}
ヘルムホルツコイルのペアに等しい電流を反対方向に流すと、ほぼ均一な磁場勾配の領域が生成されます。これは反ヘルムホルツコイルとして知られ、原子物理学の実験用の磁気トラップを作成するために使用されます。
いくつかの用途では、ヘルムホルツコイルは地球の磁場を 打ち消し 、磁場の強度がゼロに非常に近い領域を作り出すために使用されます。 [4]
数学 電流ループを二等分する平面内の磁力線。コイル ペア間の磁界はほぼ均一であることに注意してください。(この図では、コイルは隣り合って配置されており、軸は水平です。) コイルの中心を横切る軸に沿った磁場誘導。z = 0 はコイル間の距離の中央の点です。 コイル ペア付近の磁場の強さを示す等高線。一方のコイルが上、もう一方のコイルが下にあります。中央の「タコ」の内側では、磁場は中心値 B 0 の 1% 以内です。8 つの等高線は、磁場の強さが 0.5 B 0 、0.8 B 0 、 0.9 B 0 、0.95 B 0 、0.99 B 0 、1.01 B 0 、1.05 B 0 、および 1.1 B 0 の場合です。 空間内の任意の点における正確な磁場の計算は数学的に複雑で、 ベッセル関数 の研究を伴います。コイルペアの軸に沿った方向では物事はより単純であり、磁場強度の テイラー級数 展開を、コイルペアの中心点から軸に沿った距離 の関数として考えると便利です。対称性により、展開の奇数次の項はゼロです。原点が各コイルによる磁場強度の 変曲点に なるようにコイルを配置すると 、次数項もゼロになることが保証され 、したがって主要な非定数項は 次数になります 。単純なコイルの変曲点は、コイルの中心から の距離でコイル軸に沿って配置されます 。したがって、2 つのコイルの位置は です 。
x
{\displaystyle x}
x = 0
{\displaystyle x=0}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
4
{\displaystyle x^{4}}
R
/
2
{\displaystyle R/2}
x = ± R
/
2
{\displaystyle x=\pm R/2}
以下に詳述する計算により、中心点における磁場の正確な値が得られます。半径が R 、各コイルの巻き数が n 、コイルを流れる電流が I の場合、コイル間の中間点における磁場 B は次のように表されます。
B =
（
4 5
）
3
/
2
μ
0
ん 私
R
、
{\displaystyle B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}},}
ここで、 は 自由空間の透磁率 ( ) です 。
μ
0
{\displaystyle \mu_{0}}
4 π ×
10
− 7
T
⋅
メートル/A
{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{T}}\cdot {\text{m/A}}}
導出 まず、ビオ・サバールの法則 から導かれる、単線ループによる軸上磁場の式から始める ： [5]
B
1
（ x ） =
μ
0
私
R
2
2 （
R
2
+
x
2
）
3
/
2
= ξ （ x ）
μ
0
私
2 R
。
{\displaystyle B_{1}(x)={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}=\xi (x){\frac {\mu _{0}I}{2R}}.}
ここ
μ
0
{\displaystyle \mu_{0}\;}
= 透磁率定数 =
4 π ×
10
− 7
T
⋅
メートル/A
= 1.257 ×
10
− 6
T
⋅
メートル/A
、
{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{T}}\cdot {\text{m/A}},}
私
{\displaystyle I\;}
= コイル電流（ アンペア ）
R
{\displaystyle R\;}
= コイルの半径（メートル）
x
{\displaystyle x\;}
= コイルから軸上の点までの距離（メートル）
ξ （ x ） = [ 1 + （ x
/
R
）
2
]
− 3
/
2
{\displaystyle \xi (x)=[1+(x/R)^{2}]^{-3/2}\;}
距離に依存する無次元係数です。 ヘルムホルツ コイルは n ターンのワイヤで構成されているため、1 ターンのコイルの等価電流は n ターンのコイルの 電流 Iの n 倍になります。上記の式の I を nI に代入すると、 n ターン の コイル の磁場が得られます 。
B
1
（ x ） = ξ （ x ）
μ
0
ん 私
2 R
。
{\displaystyle B_{1}(x)=\xi (x){\frac {\mu _{0}nI}{2R}}.}
の場合 、距離係数は テイラー級数 で次のように展開できます 。
x
≪
R
{\displaystyle x\ll R}
ξ
(
x
)
=
[
1
+
(
x
/
R
)
2
)
]
−
3
/
2
{\displaystyle \xi (x)=[1+(x/R)^{2})]^{-3/2}\;}
ξ
(
x
)
=
1
−
3
2
(
x
/
R
)
2
+
O
(
(
x
/
R
)
4
)
.
{\displaystyle \xi (x)=1-{\frac {3}{2}}(x/R)^{2}+{\mathcal {O}}((x/R)^{4}).}
ヘルムホルツコイル対では、2つのコイルは に配置されている ため、任意の における B 磁場の 強度は 次のようになります。
x
=
±
R
/
2
{\displaystyle x=\pm R/2}
x
{\displaystyle x}
B
(
x
)
=
μ
0
n
I
2
R
[
ξ
(
x
−
R
/
2
)
+
ξ
(
x
+
R
/
2
)
]
=
μ
0
n
I
2
R
(
[
1
+
(
x
/
R
−
1
/
2
)
2
]
−
3
/
2
+
[
1
+
(
x
/
R
+
1
/
2
)
2
]
−
3
/
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left[\xi (x-R/2)+\xi (x+R/2)\right]\\&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left([1+(x/R-1/2)^{2}]^{-3/2}+[1+(x/R+1/2)^{2}]^{-3/2}\right)\\\end{aligned}}}
中心付近の点（2 つのコイルの中間）では となり 、 の テイラー級数 は次のように表されます。
x
≪
R
{\displaystyle x\ll R}
ξ
(
x
−
R
/
2
)
+
ξ
(
x
+
R
/
2
)
{\displaystyle \xi (x-R/2)+\xi (x+R/2)}
(
16
5
)
/
25
−
(
x
/
R
)
4
(
2304
5
)
/
3125
+
O
(
(
x
/
R
)
6
)
≈
1.43
−
1.65
(
x
/
R
)
4
+
O
(
(
x
/
R
)
6
)
{\displaystyle (16{\sqrt {5}})/25-(x/R)^{4}(2304{\sqrt {5}})/3125+{\mathcal {O}}((x/R)^{6})\approx 1.43-1.65(x/R)^{4}+{\mathcal {O}}((x/R)^{6})}
。
反ヘルムホルツ対では、任意の位置での B フィールドの強度は次 のようになります。
x
{\displaystyle x}
B
(
x
)
=
μ
0
n
I
2
R
[
ξ
(
x
−
R
/
2
)
−
ξ
(
x
+
R
/
2
)
]
=
μ
0
n
I
2
R
(
[
1
+
(
x
/
R
−
1
/
2
)
2
]
−
3
/
2
−
[
1
+
(
x
/
R
+
1
/
2
)
2
]
−
3
/
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left[\xi (x-R/2)-\xi (x+R/2)\right]\\&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left([1+(x/R-1/2)^{2}]^{-3/2}-[1+(x/R+1/2)^{2}]^{-3/2}\right)\\\end{aligned}}}
中心付近の点（2 つのコイルの中間）では となり 、 のテイラー級数は 次のように表されます。
x
≪
R
{\displaystyle x\ll R}
ξ
(
x
−
R
/
2
)
−
ξ
(
x
+
R
/
2
)
{\displaystyle \xi (x-R/2)-\xi (x+R/2)}
(
x
/
R
)
(
96
5
)
/
125
−
(
x
/
R
)
3
(
512
5
)
/
625
+
O
(
(
x
/
R
)
5
)
≈
1.72
(
x
/
R
)
−
1.83
(
x
/
R
)
3
+
O
(
(
x
/
R
)
5
)
{\displaystyle (x/R)(96{\sqrt {5}})/125-(x/R)^{3}(512{\sqrt {5}})/625+{\mathcal {O}}((x/R)^{5})\approx 1.72(x/R)-1.83(x/R)^{3}+{\mathcal {O}}((x/R)^{5})}
。
時間とともに変化する磁場 ほとんどのヘルムホルツ コイルは、DC (直流) 電流を使用して静磁場を生成します。多くのアプリケーションや実験では、時間とともに変化する磁場が必要です。これらのアプリケーションには、磁場感受性テスト、科学実験、生物医学研究 (磁場と生体組織の相互作用) が含まれます。必要な磁場は通常、パルスまたは連続正弦波です。磁場の周波数範囲は、DC (0 Hz) 付近から数キロヘルツ、さらにはメガヘルツ (MHz) までさまざまです。必要な時間とともに変化する磁場を生成するには、AC ヘルムホルツ コイル ドライバが必要です。波形増幅器ドライバは、磁場を生成するために高 AC 電流を出力できる必要があります。
ドライバ電圧と電流
I
=
(
5
4
)
3
/
2
(
B
R
μ
0
n
)
{\displaystyle I=\left({\frac {5}{4}}\right)^{3/2}\left({\frac {BR}{\mu _{0}n}}\right)}
数学セクションの上記の式を使用して、目的の磁場 B に対するコイル電流を計算します。
自由空間の透磁率は どこにあるのか、
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
4
π
×
10
−
7
T
⋅
m/A
=
1.257
×
10
−
6
T
⋅
m/A
,
{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}},}
I
{\displaystyle I\;}
= コイル電流（アンペア）
R
{\displaystyle R\;}
= コイルの半径（メートル）
n = 各コイルの巻数。
関数発生器と高電流波形増幅ドライバを使用して高周波ヘルムホルツ磁場を生成する 次に、必要なヘルムホルツコイル駆動アンプの電圧を計算します。 [6]
V
=
I
[
ω
(
L
1
+
L
2
)
]
2
+
(
R
1
+
R
2
)
2
{\displaystyle V=I{\sqrt {{\bigl [}\omega {\bigl (}L_{1}+L_{2}{\bigr )}{\bigr ]}^{2}+{\bigl (}R_{1}+R_{2}{\bigr )}^{2}}}}
どこ
I はピーク電流、 ω は角周波数または ω = 2 πf 、 L 1 と L 2 は 2つのヘルムホルツコイルのインダクタンスであり、 R 1 と R 2 は 2 つのコイルの抵抗です。
高周波直列共振 静磁場を生成するのは比較的容易で、磁場の強さは電流に比例する。高周波磁場を生成するのはより困難である。コイルはインダクタであり、そのインピーダンスは周波数に比例して増加する。同じ磁場強度を 2 倍の周波数で供給するには、コイルにかかる電圧を 2 倍にする必要がある。コイルを高電圧で直接駆動する代わりに、直列共振回路を使用して高電圧を供給することができる。 [7] コイルと直列に直列コンデンサを追加する。容量は、コイルを目的の周波数で共振させるように選択される。コイルの寄生抵抗のみが残る。この方法は、共振周波数に近い周波数でのみ機能し、他の周波数で磁場を生成するには、異なるコンデンサが必要である。ヘルムホルツ コイルの共振周波数、 およびコンデンサ値、C は以下のとおりである。 [6]
f
0
{\displaystyle f_{0}}
f
0
=
1
2
π
(
L
1
+
L
2
)
C
{\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {\left(L_{1}+L_{2}\right)C}}}}}
C
=
1
(
2
π
f
0
)
2
(
L
1
+
L
2
)
{\displaystyle C={\frac {1}{\left(2\pi f_{0}\right)^{2}\left(L_{1}+L_{2}\right)}}}
マクスウェルコイル 1957 年の電子ビーム実験で真空タンク内の地球の磁場を打ち消すために使用された、3 つの垂直軸上の ヘルムホルツ コイル (フープ) コイル内部の空間における磁場の均一性を改善するために、コイルの外側にコイルを追加することができます。 ジェームズ・クラーク・マクスウェルは 1873 年に、2 つのヘルムホルツ コイルの中間に 3 つ目の直径の大きいコイルを配置し、コイル距離をコイル半径から に増やす と、軸上の磁場の分散を位置の 6 次導関数までゼロにできることを示しました。これは マクスウェル コイル と呼ばれることもあります 。
R
{\displaystyle R}
3
R
{\displaystyle {\sqrt {3}}R}
参照
参考文献
^ ラムズデン、エドワード (2006)。 ホール効果センサー：理論と応用 （第2版）。アムステルダム：エルゼビア/ニューネス。p. 195。ISBN 978-0-75067934-3 。 ^ CGS ユニットのヘルムホルツ コイル2012 年 3 月 24 日アーカイブ、 Wayback Machineより ^ 「電磁気学」。2011年6月3日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2007年11月20日 閲覧。 ^ 「地球磁場磁力計: ヘルムホルツコイル」リチャード・ウォティズ著 2004年 2007年6月28日アーカイブ、 archive.today ^ 「電流ループの磁場」。 ^ ab Yang, KC. 「高周波ヘルムホルツコイルが磁場を生成」 EDN . 2016年1月27日 閲覧 。 ^ 「高周波電磁コイル共振」 www.accelinstruments.com 。 2016年2月25日 閲覧 。 ^ “ログイン - ASACUSA MUSASHI グループ”. ^ J, DeTroye, David; J, Chase, Ronald (1994年11月). 「ヘルムホルツコイル場の計算と測定」。2018年6月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。 CS1 maint: multiple names: authors list (link)
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、ヘルムホルツコイル に関連するメディアがあります 。
理想的なヘルムホルツコイルの軸上磁場 実ヘルムホルツコイル対の軸方向磁場 ヘルムホルツコイル場、 Franz Kraft著、 Wolframデモンストレーションプロジェクト 。 Kevin Kuns (2007)「プラズマチャンバー内の磁場の計算」では、 楕円積分 とその 導関数 を使用して軸外磁場を計算します ( PBworks より) 。 DeTroye, David J.; Chase, Ronald J. (1994 年 11 月)、「ヘルムホルツ コイル フィールドの計算と測定」 (PDF) 、陸軍研究所、ARL-TN-35、2013 年 4 月 18 日のオリジナルからアーカイブ (PDF) コイルの磁場 2015-04-30 に Wayback Machineにアーカイブされました http://physicsx.pr.erau.edu/HelmholtzCoils/ 
![{\displaystyle \xi (x)=[1+(x/R)^{2}]^{-3/2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c04e520101786389944a0592ff613a071baaaf)
![{\displaystyle \xi (x)=[1+(x/R)^{2})]^{-3/2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bebd819c57af47ca3403834899d1a9df0c22c6ea)
![{\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left[\xi (xR/2)+\xi (x+R/2)\right]\\&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left([1+(x/R-1/2)^{2}]^{-3/2}+[1+(x/R+1/2)^{2}]^{-3/2}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f25f013b8669384340a1741bf73cd0f18102b5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left[\xi (xR/2)-\xi (x+R/2)\right]\\&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left([1+(x/R-1/2)^{2}]^{-3/2}-[1+(x/R+1/2)^{2}]^{-3/2}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6951619293fe79d473f10875216f8317c5e7b29b)
![{\displaystyle V=I{\sqrt {{\bigl [}\omega {\bigl (}L_{1}+L_{2}{\bigr )}{\bigr ]}^{2}+{\bigl (}R_{1}+R_{2}{\bigr )}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3848872b2b8b3a07ac799eabe750639fddaf5b3)
