フィールドライン

磁力線はベクトル場を視覚化するためのグラフィカルな視覚補助手段です。磁力線は、その長さに沿った各点で場のベクトルに接する仮想積分曲線で構成されます。 ^{[1] [2]隣接する磁力線の代表的なセットを示す図は、科学および数学の}文献 でベクトル場を表す一般的な方法で、これは磁力線図と呼ばれます。これらは、電場、磁場、重力場など、多くの種類を示すために使用されます。流体力学では、流体の流れの速度場を示す磁力線を流線と呼びます。

ベクトル場は、空間内の各点における方向と大きさを定義します。磁力線は、そのベクトル場の積分曲線であり、ある点を起点として、ベクトル場の方向に沿って空間を通る線をトレースすることで構築できます。このとき、各点における磁力線は場のベクトルに接します。 ^{[3] [2] [1]} 磁力線は通常、矢印でベクトル場の方向を示す有向線分として示されます。2 次元の場の場合、磁力線は平面曲線です。3 次元の磁力線セットを平面で描くと視覚的にわかりにくいため、ほとんどの磁力線図はこのタイプです。ベクトル場が非ゼロかつ有限である各点ではベクトル場が一意の方向を持つため、磁力線が交差することはなく、ベクトル場が非ゼロかつ有限である各点を通過する磁力線は 1 本だけです。^{[3] [2]} 場がゼロまたは無限である点には、方向を定義できないため磁力線が存在しませんが、磁力線の 終点になることはあります。

どの領域にも無数の点があるため、無限の数の磁力線を描くことができますが、磁力線図に表示できるのは限られた数だけです。したがって、どの磁力線を表示するかは、図を描く人またはコンピュータ プログラムによって選択され、1 つのベクトル フィールドが異なる磁力線のセットで表される場合があります。磁力線図は、描画された磁力線間のフィールドに関する情報を提供しないため、必然的にベクトル フィールドの不完全な説明となり、表示する線の数と選択によって、図から得られる有用な情報の量が決まります。

個々の磁力線はベクトル場の方向を示しますが、大きさは示しません。場の大きさも示すために、各線が同じ量の磁束を表すように磁力線図が描かれることがよくあります。すると、任意の場所における磁力線の密度 (単位垂直面積あたりの磁力線の数) は、その点のベクトル場の大きさに比例します。隣接する磁力線が収束している (互いに近づいている) 領域は、その方向の場が強くなっていることを示しています。

非ゼロの発散を持つベクトル場においては、磁力線は正の発散点（ソース）から始まり、負の発散点（シンク）で終わるか、無限に伸びる。例えば、電場線は正の電荷から始まり、負の電荷で終わる。発散のない（ソレノイド状の）場、例えば磁場においては、磁力線に終点はなく、閉じたループか無限大である。^{[4] [5]}

物理学では、フィールド ラインの描画は、例えばラジアル調和関数の力場の場合とは異なり、ソースとシンクが物理的な意味を持つ場合に主に役立ちます。たとえば、ガウスの法則では、電場は正電荷にソースを持ち、負電荷にシンクを持ち、それ以外の場所にはソースがないため、フィールド ラインは正電荷で始まり、負電荷で終わります。重力場にはソースがなく、質量にシンクがあり、それ以外の場所にはシンクがありません。重力フィールド ラインは無限大から始まり、質量で終わります。磁場にはソースもシンクもありません (磁気に関するガウスの法則)。そのため、フィールド ラインには始まりも終わりもありません。フィールド ラインは、閉じたループを形成するか、両方向に無限大に延びるか、または交差することなく無限に続くことしかできません。ただし、上で述べたように、フィールドが 0 の点 (方向が定義されないためフィールド ラインが交差できない点) の周囲では、フィールド ラインの始まりと終わりが同時に発生する特殊な状況が発生することがあります。この状況は、例えば、2 つの同一の正電荷点の中間で発生します。そこでは、電界は消失し、電荷から軸方向に伸びる線は終了します。同時に、中間点を通過する横断面では、無数の電界線が放射状に発散します。終了線と開始線が同時に存在するため、その点における電界の発散のない特性が維持されます。^[5]

この種の描画では、電界線密度が電界の大きさに比例することが意図されているため、3 次元すべてを表現することが重要であることに注意してください。たとえば、単一の孤立した点電荷から生じる電界を考えてみましょう。この場合の電界線は、3 次元空間で電荷から一様に全方向に放射される直線です。つまり、電界線密度は に比例し、この場合のクーロンの法則と一致する正しい結果となります。ただし、この設定の電界線が 2 次元平面上に描画された場合、2 次元密度は に比例しますが、この状況では正しくありません。^[6]${\displaystyle 1/r^{2}}$${\displaystyle 1/r}$

ベクトル場と開始点が与えられれば、その点 における場のベクトルを見つけることによって、磁力線を反復的に構築することができます。その点 における単位接線ベクトルは です。場の方向に沿って短い距離を移動することで、線上の新しい点 を見つけることができます 。次に、その点 における場 を見つけ、その方向にさらに距離を移動することで、磁力線の次の点を見つけます。各点で、次の点は によって見つけることができます 。これを繰り返して点を接続すると、磁力線を必要なだけ延長することができます。これは実際の磁力線の近似値に過ぎません。各直線セグメントは、開始点でのみ、その長さに沿って場と接しているわけではないからです。しかし、 に十分小さい値を使用し、より短いステップを多数取ることで、磁力線を必要なだけ正確に近似することができます。負のステップ を使用することで、各ステップを反対方向に取ることによって、磁力線を から反対方向に延長することができます。 ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{0}}}$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})}$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})/|\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})|}$${\displaystyle ds}$$${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{1}}=\mathbf {x} _{\text{0}}+{\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}}) \over |\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})|}ds}$$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{1}})}$${\displaystyle ds}$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{2}})}$${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{i}}}$$${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{i+1}}=\mathbf {x} _{\text{i}}+{\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{i}}) \over |\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{i}})|}ds}$$${\displaystyle ds}$${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{0}}}$${\displaystyle -ds}$

ベクトル場が速度 場を表す場合、磁力線は流れの中で流線に沿って進みます。磁力線によって表されるベクトル場の最もよく知られた例はおそらく磁場であり、これは磁石から発せられる磁力線を使用して表されることが多いです。

場の線はベクトル計算から得られる馴染みのある量を追跡するために使用できます。

• 発散は、磁力線の密度が磁力線の大きさに比例するように線が描かれていると仮定すると、磁力線を通して簡単に確認できます (上記を参照)。この場合、発散は磁力線の始まりと終わりとして見ることができます。ベクトル場が 1 つ以上のソースに関する放射状の逆二乗則フィールドの結果である場合、これは、そのようなフィールドの発散がソースの外側ではゼロであるという事実に対応します。ソレノイド ベクトル場(つまり、発散がどこでもゼロであるベクトル場) では、磁力線は始まりも終わりもなく、閉じたループを形成するか、両方向に無限に伸びます。ベクトル場が一部の領域で正の発散を持つ場合、その領域内の点から始まる磁力線があります。ベクトル場が一部の領域で負の発散を持つ場合、その領域内の点で終わる磁力線があります。
• ケルビン・ストークスの定理は、回転がゼロのベクトル場（つまり、重力場や静電場などの保存ベクトル場）の磁力線は閉じたループにはなり得ないことを示しています。言い換えると、磁力線が閉じたループを形成するときは常に回転が存在します。磁力線のらせん形状など、他の状況でも回転が存在する場合があります。

磁力線は「単なる」数学的構成ですが、状況によっては物理的な意味を持ちます。流体力学では、定常流における速度磁力線 (流線) は流体の粒子の経路を表します。プラズマ物理学の文脈では、同じ磁力線上にある電子またはイオンは強く相互作用しますが、異なる磁力線上にある粒子は一般に相互作用しません。これは、鉄粉の粒子が磁場内で示すのと同じ動作です。

写真の鉄粉は、個別の磁力線に沿って整列しているように見えますが、状況はより複雑です。2 段階のプロセスとして視覚化するのは簡単です。まず、鉄粉は磁場全体に均等に広がりますが、すべて磁場の方向に整列します。次に、鉄粉の大きさと強磁性特性に基づいて、磁場をどちらかの側に減衰させ、私たちが見ている線の間に見かけ上の空間を作り出します。^[要出典] もちろん、ここで説明した 2 つの段階は、平衡が達成されるまで同時に発生します。鉄粉の固有の磁性が磁場を変更するため、鉄粉によって示される線は、元の磁場の磁力線の近似値にすぎません。磁場は連続しており、個別の線はありません。

• 力場（物理学）
• ジュリア集合のフィールドライン
• 外部光線-マンデルブロ集合または充填されたジュリア集合のドゥアディ・ハバードポテンシャルのフィールドライン
• 力の線
• ベクトル場
• 線積分畳み込み

ウィキメディア・コモンズには、フィールド図に関連するメディアがあります。

• 選択された電荷ペアの電界線を表示するインタラクティブな Java アプレット。2011 年 8 月 13 日にWayback MachineでWolfgang Bauer によってアーカイブされました。
• マサチューセッツ工科大学のコースの「場の可視化と発散および回転」コースノート。