消磁場

一般に、反磁場は位置H ( r )の関数である。これは、電流のない物体に対する静磁方程式から導出される。^{[ 2 ]}これらはアンペールの法則である。

そしてガウスの法則

磁場と磁束密度は^{[ 5 ] [ 6 ]の関係にある。}

どこ$\displaystyle \mu _{0}}$は真空の透磁率であり、Mは磁化である。

最初の方程式の一般解は、スカラーポテンシャルU ( r )の勾配として表すことができる。

磁性体内部の電位U_は、( 3 )と( 4 )を( 2 )に代入することによって決定される。

体の外側では磁化はゼロなので、

磁石の表面には、2 つの連続性要件があります。^{[ 5 ]}

• 表面に平行なHの成分は連続でなければならない（表面で値が不連続になってはならない）。
• 曲面に対して垂直なBの成分は連続でなければならない。

これにより、磁石の表面における境界条件は以下のようになる。

ここでnは表面法線であり、${\textstyle \partial /\partial n}$は表面からの距離に関する微分である。^{[ 9 ]}

外部電位U _outも無限遠で正則でなければなりません。つまり、| r U |と| r ² U |の両方がr が無限遠に近づくにつれて有界でなければなりません。これにより、磁気エネルギーが有限であることが保証されます。^{[ 10 ]}十分に遠く離れると、磁場は有限体と同じモーメントを持つ磁気双極子の磁場のように見えます。

式（ ５）、（６）、（７ ）を満たし、無限遠で正則性を持つ任意の２つの電位は、同一の勾配を持つ。反磁場 H _dはこの電位の勾配である（式４）。

反磁場のエネルギーは、磁石の体積Vにわたる積分によって完全に決定される。

磁化M1_とM2を持つ2つの磁石があると仮定します。2番目の磁石_の反磁場 Hd ₍ ^{2)における最初の磁石のエネルギーは}

相互性の定理は次のように述べている^{[ 9 ]}

形式的には、電位に関する方程式の解は次のようになる。

ここで、r ′は最初の積分では物体の体積全体にわたって、2番目の積分では表面にわたって積分される変数であり、∇ ′はこの変数に関する勾配である。^{[ 9 ]}

定性的に言えば、磁化の発散の負の値− ∇ · M (体積極と呼ばれる) は、物体内のバルク束縛電荷に類似しており、 n · M (表面極と呼ばれる) は、束縛表面電荷に類似している。磁気電荷は実際には存在しないが、このように考えることは有用である。特に、磁気エネルギーを減少させる磁化の配置は、磁化が極を制限することによって (可能な限り極を減少させようとすることによって) 極に影響を及ぼすという極回避原理の観点から理解できることが多い。^{[ 9 ]}

強磁性体内部の磁極を除去する一つの方法は、磁化を均一にすることです。これは単磁区強磁性体で起こります。しかし、表面磁極は残るため、磁区に分割することで磁極をさらに減らすことができます。ただし、非常に小さな強磁性体は、交換相互作用によって均一に磁化されています。

磁極の集中度は磁化の方向によって決まります（図を参照）。磁化が最長軸に沿っている場合、磁極はより小さな表面積に分散するため、エネルギーは低くなります。これは形状異方性と呼ばれる磁気異方性の一種です。

強磁性体が十分に大きい場合、その磁化はドメインに分割される。この場合、磁化を表面に平行にすることができる。各ドメイン内では磁化は均一であるため、体積極は存在しないが、ドメイン間の界面（ドメイン壁）には表面極が存在する。ただし、ドメイン壁の両側の磁気モーメントが同じ角度で壁と交わる場合（つまり、成分n · Mが同じ値で符号が逆の場合）、これらの極は消滅する。このように構成されたドメインは、閉鎖ドメインと呼ばれる。