磁気ヘリシティ

プラズマ物理学において、磁気ヘリシティは磁場のつながり、ねじれ、ねじれの尺度である。^{[1] [2]}

磁気ヘリシティは、天体物理システムなど、抵抗率が極めて低いシステムの解析に役立つ概念です。抵抗率が低い場合、磁気ヘリシティは長い時間スケールにわたってほぼ保存されます。磁気ヘリシティのダイナミクスは、太陽フレアやコロナ質量放出の解析に特に重要です。^{[3]磁気ヘリシティは、}太陽風のダイナミクスに関連しています。^[4]その保存はダイナモプロセスで重要であり、逆磁場ピンチ実験などの核融合研究でも役割を果たしています。^{[5] [6] [7] [8] [9]}

磁場が磁気ヘリシティを含む場合、小規模な構造から大規模構造を形成する傾向があります。^{[10]このプロセスは、}フーリエ空間での逆転送と呼ぶことができます。構造のスケールが大きくなるこの特性により、磁気ヘリシティは3次元では特別なものになります。通常の流体力学における他の3次元の流れは、その逆で乱流であり、大規模な渦がより小さな渦に 分解され、粘性効果によって熱に消散するという意味において、構造を「破壊」する傾向があります。平行ではあるが逆のプロセスによって、磁気渦では逆のことが起こり、磁気ヘリシティがゼロではない小さな螺旋構造が結合して大規模な磁場を形成します。これは、太陽系の大規模な磁気構造である太陽圏電流シートのダイナミクスで確認できます。 ^[11]

一般的に、体積内に閉じ込められた滑らかなベクトル場のヘリシティは、場の線が互いに巻き付いて渦を巻く程度を測る標準的な尺度である。^{[12] [2]}これは、 のスカラー積とその回転の体積積分として定義される。${\displaystyle H^{\mathbf {f}}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {f} }}$

${\displaystyle H^{\mathbf {f} }=\int _{V}{\mathbf {f} }\cdot \left(\nabla \times {\mathbf {f} }\right)\ dV.}$

磁気ヘリシティは、体積内に閉じ込められた磁場を伴う磁気ベクトルポテンシャルのヘリシティである。磁気ヘリシティは次のように表される^[5]。${\displaystyle H^{\mathbf {M}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle H^{\mathbf {M} }=\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV.}$

磁気ベクトルポテンシャルはゲージ不変ではないので、磁気ヘリシティも一般にゲージ不変ではない。その結果、物理システムの磁気ヘリシティを直接測定することはできない。しかし、特定の条件と特定の仮定の下では、システムの現在のヘリシティを測定することができ、さらに条件が満たされ、さらなる仮定の下では、そこから磁気ヘリシティを推測することができる。^[13]

磁気ヘリシティの単位は磁束の2乗で、 SI単位ではWb ²（ウェーバーの2乗） 、ガウス単位ではMx ²（マクスウェルの2乗）です。^[14]

電流ヘリシティ、つまり体積内に閉じ込められた磁場のヘリシティは次のように表される。 ${\displaystyle M^{\mathbf {J} }}$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle V}$

${\displaystyle H^{\mathbf {J} }=\int _{V}{\mathbf {B} }\cdot {\mathbf {J} }\ dV}$

ここで、は電流密度である。^{[15]磁気ヘリシティとは異なり、電流ヘリシティは理想的な不変量ではない（}電気抵抗がゼロの場合でも保存されない）。 ${\displaystyle {\mathbf {J} }=\nabla \times {\mathbf {B} }}$

磁気ヘリシティはゲージに依存する量であり、勾配を加えることで再定義できる（ゲージ選択）。しかし、完全に伝導性のある境界や正味の磁束のない周期系の場合、領域全体に含まれる磁気ヘリシティはゲージ不変である。 ^[15]つまり、ゲージの選択とは無関係である。境界面に非ゼロの磁束を持つ体積に対しては、ゲージ不変の相対ヘリシティが定義されている。 ^[11]${\displaystyle \mathbf {A} }$

「ヘリシティ」という名前は、速度と渦度を持つ流体中の流体粒子の軌道が、運動ヘリシティがの領域でヘリックスを形成することに由来しています。 のとき、結果として生じるヘリックスの形状は右巻きで、 のときは左巻きです。この動作は、磁力線に関して見られる動作と非常によく似ています。 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle \textstyle H^{K}=\int \mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0}$${\displaystyle \textstyle H^{K}>0}$${\displaystyle \textstyle H^{K}<0}$

磁気ヘリシティがゼロでない領域には、ヘリカル磁力線などの他の種類の磁気構造も含まれることがあります。磁気ヘリシティは、磁場を記述するために必要な微分量にリンク数を関連付ける位相概念の連続的な一般化です。 ^[11]リンク数が曲線が何回連結されているかを表すのに対し、磁気ヘリシティは磁力線がいくつ連結されているかを表します。^[5]

磁気ヘリシティは、磁力線の位相量であるねじれとよじれの合計に比例します。ねじれは磁束管の軸周りの回転であり、よじれは磁束管の軸自体の回転です。位相変換により、ねじれとよじれの数が変わりますが、その合計は保存されます。磁束管(閉じた磁力線ループの集合) は、磁気流体力学流体内で互いに交差しにくい傾向があるため、磁気ヘリシティは非常によく保存されます。

電磁気学における多くの量と同様に、磁気ヘリシティは流体力学的ヘリシティ（流体の流路に対応する量）と密接に関連しており、それらのダイナミクスは相互に関連しています。^{[10] [16]}

1950年代後半、ロデウィク・ウォルチャーとウォルター・M・エルサーは独立して、磁気ヘリシティの理想的な不変性^{[17] [18]、}つまり電気抵抗がゼロのときの磁気ヘリシティの保存性を発見した。ウォルチャーの証明は閉鎖系に有効であり、次のように繰り返される。

理想的な磁気流体力学では、磁場と磁気ベクトルポテンシャルの時間発展は誘導方程式を使って次のように 表される。

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}=\nabla \times ({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }),\quad {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}={\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }+\nabla \Phi ,}$

それぞれ、ここで はゲージ条件によって与えられるスカラーポテンシャルです(§ ゲージの考慮を参照)。スカラーポテンシャルがゼロになるようにゲージを選択すると、体積内の磁気ヘリシティの時間発展は次のように表されます。 ${\displaystyle \nabla \Phi }$${\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} }$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}&=\int _{V}\left({\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\cdot {\mathbf {B} }+{\mathbf {A} }\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\right)dV\\&=\int _{V}({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} })\cdot {\mathbf {B} }\ dV+\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot \left(\nabla \times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)dV.\end{aligned}}}$

最初の項の積分関数のドット積は、外積に直交しているのでゼロであり、2番目の項は部分積分されて次のようになる。 ${\displaystyle {\mathbf {B} }}$${\displaystyle {\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }}$

${\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=\int _{V}\left(\nabla \times {\mathbf {A} }\right)\cdot {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\ dV+\int _{\partial V}\left({\mathbf {A} }\times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {S} }$

ここで、2番目の項は閉システムの境界面上の面積分である。1番目の項の積分関数のドット積は0である。なぜなら、はに直交するからである。2番目の項も消える。なぜなら、閉システム内の動きは外部のベクトルポテンシャルに影響を与えられないからである。したがって、境界面では磁気ベクトルポテンシャルは連続関数であるからである。したがって、 ${\displaystyle \partial V}$${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }}$${\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t.}$${\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t=\mathbf {0} }$

${\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=0,}$

そして磁気ヘリシティは理想的に保存される。磁気ヘリシティがゲージ不変であるすべての状況では、磁気ヘリシティは特定のゲージを選択する必要なく理想的に保存される。${\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} .}$

磁気ヘリシティは、小さいながらも有限の抵抗率でも良好な近似で保存され、その場合には磁気再結合によってエネルギーが消散する。^{[11] [5]}

小規模ならせん構造は、ますます大きな磁気構造を形成する傾向があります。これは、3次元乱流流体力学フローにおける（直接的な）エネルギーカスケードとは対照的に、フーリエ空間における逆伝達と呼ぶことができます。このような逆伝達の可能性は、 Uriel Frischと協力者によって最初に提案され^[10]、多くの数値実験を通じて検証されました。^{[19] [20] [21] [22] [23] [24]}結果として、磁気ヘリシティの存在は、宇宙における大規模な磁気構造の存在と維持を説明できる可能性があります。

^[10]から引用したこの逆変換の議論をここで繰り返すが、これは磁気ヘリシティフーリエスペクトルに関するいわゆる「実現可能性条件」に基づく（ここで は磁場 の波動ベクトルにおけるフーリエ係数、 についても同様で、複素共役 を表す星）。「実現可能性条件」はコーシー・シュワルツの不等式の応用に対応し、次式が得られる。 磁気エネルギースペクトル の場合。この不等式を得るために、 （フーリエ変換された磁気ベクトルポテンシャルのソレノイド部分で、フーリエ空間で波動ベクトルに直交する）という事実が使用されている。 という論文^[10]には係数 2 は存在しない。なぜなら、そこでは磁気ヘリシティが として代わりに定義されているからである。 ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}={\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$${\displaystyle {\mathbf {B} }}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}}$$${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}\right|\leq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|{\mathbf {k} }|}},}$$${\textstyle E_{\mathbf {k} }^{M}={\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$${\displaystyle |{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }|=|{\mathbf {k} }||{\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }|}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }=i{\mathbf {k} }\times {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV}$

次に、速度場がなく、2 つの波動ベクトルとにのみ磁場が存在する初期状況を想像することができます。ここでは、実現可能性条件 および を飽和させる完全ならせん状の磁場を想定します。すべてのエネルギーと磁気らせんの転送が別の波動ベクトル に対して行われると仮定すると、一方では磁気らせんの保存則、他方では全エネルギー (磁気エネルギーと運動エネルギーの合計) の保存則により、次の式が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {p} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|{\mathbf {p} }|}}}$${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {q} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|{\mathbf {q} }|}}}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle E^{T}=E^{M}+E^{K}}$

$${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M},}$$

$${\displaystyle E_{\mathbf {k} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{T}+E_{\mathbf {q} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}.}$$

エネルギーに関する 2 番目の等式は、運動エネルギーがない初期状態を考慮することから来ています。すると、必然的に が成り立ちます。実際、 であれば、次のようになります。 ${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$${\displaystyle |\mathbf {k} |>\max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$

$${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M}={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|\mathbf {p} |}}+{\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|\mathbf {q} |}}>{\frac {2\left(E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}\right)}{|\mathbf {k} |}}={\frac {2E_{\mathbf {k} }^{T}}{|\mathbf {k} |}}\geq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|\mathbf {k} |}},}$$

これは実現可能性条件を破ることになります。これは を意味します。特に、 の場合、磁気ヘリシティはより小さな波数ベクトル、つまりより大きなスケールに転送されます。 ${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$${\displaystyle |{\mathbf {p} }|=|{\mathbf {q} }|}$

• ウォルチャーの定理

• AA Pevtsov の Helicity ページ
• ミッチ・バーガーの出版物ページ