ザイフェルト・ファン・カンペンの定理

数学において、代数位相幾何学のザイフェルト・ファン・カンペンの定理（ヘルベルト・ザイフェルトとエグベルト・ファン・カンペンにちなんで名付けられた）は、単にファン・カンペンの定理と呼ばれることもあり、位相空間の基本群の構造を、を覆う2 つの開路連結部分空間の基本群によって表現する。したがって、この定理は、より単純な空間から構成される基本群の計算に使用できる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

X を、2 つ_の開経路連結部分空間U ₁、U _2の和集合である位相空間とします。U 1 ∩ U 2 が経路連結かつ空でないと仮定し、 x 0_をU 1 ∩ U 2 内の点とし、これ_をすべて_の基本群_の基底として使います。U 1とU _2のXへの包含写像により、群準同型写像とが生まれます。すると、X は経路連結であり、可換なプッシュアウト図が_形成されます。 ${\displaystyle j_{1}:\pi _{1}(U_{1},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle j_{2}:\pi _{1}(U_{2},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle j_{1}}$${\displaystyle j_{2}}$

自然射kは同型である。つまり、Xの基本群はU ₁とU ₂の基本群の自由積に を併合したものである。^[1]${\displaystyle \pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})}$

通常、この定理への包含によって誘導される射自体は単射ではなく、この定理のより正確なバージョンは、群のプッシュアウトの観点から述べられます。

残念ながら、上記の定理は、代数位相幾何学における最も重要な基本例である円の基本群を計算するものではありません。なぜなら、円は、連結された交差を持つ2つの開集合の和集合として実現できないからです。この問題は、状況の幾何学に応じて選択された基点の集合A上の基本群 を扱うことで解決できます。したがって、円の場合、2つの基点を使用します。^[2]${\displaystyle \pi_{1}(X,A)}$

この群体は、 A ∩ Xの点を結ぶX内の経路の終点に対するホモトピー類から構成される。特に、X が収縮可能な空間であり、A がXの異なる 2 点から構成される場合、 は、 2 つの頂点と任意の 2 つの頂点間のちょうど 1 つの射で記述される群体に同型であることが容易にわかる。この群体は、群体理論における整数群の役割に類似した役割を果たす。^[3]群体により、群体にホモトピーの概念も可能になる。これは、群体のカテゴリにおける単位区間オブジェクトである。 ${\displaystyle \pi_{1}(X,A)}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

群体のカテゴリはすべての余極限、特にすべてのプッシュアウトを許容します。

定理。位相空間X が2 つの部分空間X ₁、X ₂の内部で覆われ、A がX ₁、X ₂の各パス要素と交わり、X ₀ = X ₁ ∩ X ₂となる集合であるとする。このとき、 A はXの各パス要素と交わり、包含によって誘導される射の 図式P が成立する。

は群体のカテゴリにおけるプッシュアウト図です。^[4]

この定理は、基本群を完全に決定する際に位相幾何学から代数への移行を与えます。その後、代数と組合せ論を使用して、ある基点における基本群を決定する必要があります。 ${\displaystyle \pi_{1}(X,A)}$

この定理の 1 つの解釈は、ホモトピー 1 型を計算するというものです。その有用性を確認するには、Xが連結されているが、それぞれが 402 個のパス要素を持ち、その交差が 1004 個のパス要素を持つ 2 つの部分空間の内部の和集合である場合を簡単に見つけることができます。この定理を「基本群」の計算ツールとして解釈するには、「組み合わせ群理論」の発展が必要です。^{[5] [6]}この定理は、円の基本群を整数群として計算することを意味しています。整数群は、群のカテゴリでその 2 つの頂点を識別することによって群から取得されるためです。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

最後の定理のバージョンでは、Xは部分集合族の内部の和集合で覆われている。^{[7] [8]}${\displaystyle \{U_{\lambda }:\lambda \in \Lambda \}}$

結論は、Aが集合の1、2、3重交差のすべてのパス要素と出会う場合、AはXのすべてのパス要素と出会い、図 ${\displaystyle U_{\lambda }}$

${\displaystyle \bigsqcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda ^{2}}\pi _{1}(U_{\lambda }\cap U_{\mu },A)\rightrightarrows \bigsqcup _{\lambda \in \Lambda }\pi _{1}(U_{\lambda },A)\rightarrow \pi _{1}(X,A)}$

包含によって誘導される射の共等化子は、群のカテゴリにおける 共等化子です。

[...] 人々は、基本群を計算するときに、状況の対称性の下で不変である点のパケット全体を巧みに選択するのではなく、単一の基本点を固定することに依然として固執しています。その結果、その点のパケットは途中で失われます。特定の状況（ファン・カンペン流の基本群の降下定理など）では、適切な基本点のパケットに関して基本群を扱う方がはるかにエレガントであり、何かを理解するために不可欠でさえあります [...]

—  Alexander Grothendieck、Esquisse d'un Program (セクション 2、英語翻訳)

組合せ群論の言語では、 が位相空間であり、およびが の開経路連結部分空間であり、が空でなく経路連結であり、 である場合、 は、(必ずしも単射ではない)準同型および に関して、 および の融合による自由積です。群の表現が与えられている場合: ${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\cap V}$${\displaystyle w\in U\cap V}$${\displaystyle \pi _{1}(X,w)}$${\displaystyle \pi _{1}(U,w)}$${\displaystyle \pi _{1}(V,w)}$${\displaystyle I:\pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(U,w)}$${\displaystyle J:\pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(U,w)&=\langle u_{1},\dots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,w)&=\langle v_{1},\dots ,v_{m}\mid \beta _{1},\dots ,\beta _{n}\rangle \\\pi _{1}(U\cap V,w)&=\langle w_{1},\dots ,w_{p}\mid \gamma _{1},\dots ,\gamma _{q}\rangle \end{aligned}}}$

この合併は次のように 表される^[9]。

${\displaystyle \pi _{1}(X,w)=\left\langle u_{1},\dots ,u_{k},v_{1},\dots ,v_{m}\left|\alpha _{1},\dots ,\alpha _{l},\beta _{1},\dots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\dots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .}$

圏論では、図の 群の圏における押し出しは次のようになります。${\displaystyle \pi _{1}(X,w)}$

${\displaystyle \pi _{1}(U,w)\gets \pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w).}$

ファン・カンペンの定理を使うと、より単純な空間に分解できる位相空間の基本群を計算することができます。たとえば、球面 を考えてみましょう。開集合とを選びます。ここで、nとs はそれぞれ北極と南極を表します。すると、A、B、A ∩ Bは開路連結集合であるという性質が得られます。したがって、A ∩ B をAとBに含む可換図式があり、さらにAとBから への別の包含があり、各部分空間の基本群の間には準同型の対応する図式があることがわかります。ファン・カンペンの定理を適用すると、次の結果が得られます。 ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle A=S^{2}\setminus \{n\}}$${\displaystyle B=S^{2}\setminus \{s\}}$${\displaystyle S^{2}}$

${\displaystyle \pi _{1}(S^{2})=\pi _{1}(A)\cdot \pi _{1}(B)/\ker(\Phi ).}$

しかし、AとBは両方ともR ²に同相で、R 2は単連結なので、 AとB は両方とも自明な基本群を持ちます。このことから、 の基本群が自明であることは明らかです。 ${\displaystyle S^{2}}$

2 つの尖った空間 と が与えられている場合、それらの 2 つの基点を同一視しての商を取ることで、それらのくさびの和 、を形成できます。 ${\displaystyle (X,x)}$${\displaystyle (Y,y)}$${\displaystyle (X\vee Y,p)}$${\displaystyle X\coprod Y}$

が収縮可能な開近傍を許容し、 が収縮可能な開近傍を許容する場合（たとえば、と がCW 複体である場合）、と を2 つの開集合としてとることで、にファン・カンペンの定理を適用できます。これにより、くさびの基本群は、 最初に使用した 2 つの空間の基本群の 自由積であると結論付けられます。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle V\subset Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\vee Y}$${\displaystyle X\vee V}$${\displaystyle U\vee Y}$

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y,p)\cong \pi _{1}(X,x)*\pi _{1}(Y,y)}$。

より複雑な例として、種数n の有向曲面 Sの基本群、別名種数 n 曲面群の計算があります。 S は、その標準の基本多角形を使って構築できます。最初の開集合Aに対して、多角形の中心にある円板を選択します。B をAの中心点のS内の補集合として選択します。すると、 AとBの交点は環状となり、これは円とホモトピー同値であることが知られています(したがって、基本群は円と同じです)。次に、 は整数であり、 です。したがって、を に含めると、任意の生成元が自明な要素に送られます。ただし、を に含めることは自明ではありません。これを理解するには、まず を計算する必要があります。これは、 B ( 1 つの点が削除されたS ) を でラベル付けされたエッジに 変形後退させることができるため、簡単に実行できます。${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)=\pi _{1}(S^{1})}$${\displaystyle \pi _{1}(A)=\pi _{1}(D^{2})={1}}$${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$${\displaystyle \pi _{1}(A)}$${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$${\displaystyle \pi _{1}(B)}$${\displaystyle \pi _{1}(B)}$

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}.}$

この空間は2 n個の円のくさび和(円の花束とも呼ばれる)であることが知られており、さらに2 n 個の生成元を持つ自由群と同型の基本群を持つことが知られています。この場合、生成元はエッジ自体で表すことができます: 。これで、ファン・カンペンの定理を適用するのに十分な情報が得られました。生成元はループであり( Aは単連結なので、生成元は提供しません)、関係は 1 つだけです: ${\displaystyle \{A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\}}$ ${\displaystyle \{A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\}}$

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.}$

生成子と関係を用いて、この群は次のように表される。

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$

Xが、 U∩Vが空でなく経路連結である2つの開単連結集合UとVの和集合として書ける空間である場合、Xは単連結である。^[10]

上で説明したように、この定理はロナルド・ブラウンによって、基点の集合A上の基本群を用いて非連結なケースに拡張されました。A が被覆の集合の 3 重交差すべてを満たすという制限付きの任意の被覆に対する定理は、ブラウンとアブドゥル・ラザク・サレの論文で与えられています。^[11]基本群に対する 定理と証明は、いくつかの群法を使用して、 J. ピーター・メイの本にも与えられています。^{[12] 3 つ以上の重なり合う集合を許容するが}A がシングルトンで あるバージョンも、以下のアレン・ハッチャーの本、定理 1.20 で与えられています。${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$

基点集合上の基本群のジョルダン曲線定理、被覆空間、軌道空間への応用は、ロナルド・ブラウンの本^[13]で説明されている。軌道空間の場合、Aに作用の不動点をすべて含めると便利である。ここでの例は、円上の共役作用である。

ホモトピー型に関する情報をもたらす高次元版の定理については、高次元群論と群論に関する記事で参照されている。^{[14]したがって、非可換第2相対}ホモトピー群を計算する2次元のファン・カンペン定理は、ロナルド・ブラウンとフィリップ・J・ヒギンズによって与えられた。^[15]完全な説明とすべての次元への拡張は、ブラウン、ヒギンズ、ラファエル・シベラによって与えられている。^{[16]一方、} n立方体の空間への拡張は、ロナルド・ブラウンとジャン＝ルイ・ロデイによって与えられている。^[17]

基本群は代数幾何学にも登場し、アレクサンダー・グロタンディークの最初の代数幾何学セミナー（SGA1）の主要トピックである。そこにはファン・カンペンの定理のバージョンが登場し、代数位相幾何学とはまったく異なる方法で、すなわち降下理論によって証明されている。同様の証明は代数位相幾何学でも機能する。^[18]

• 高次元代数
• 高等圏理論
• マイヤー・ヴィエトリス配列
• 擬似円
• ロナルド・ブラウン（数学者）

• アレン・ハッチャー『代数的位相幾何学』(2002) ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-XおよびISBN 0-521-79540-0  
• Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology. (1999) University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9 (セクション 2.7 では、群のカテゴリにおける余極限としての定理のカテゴリ理論的表現を示します)。 
• ロナルド・ブラウン「群体とファン・カンペンの定理」、ロンドン数学会誌(3) 17 (1967) 385–401。
• 多くの基本ポイントに関する Mathoverflow の議論
• ロナルド・ブラウン『トポロジーと群体』（2006年）Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8 
• R. Brown と A. Razak、「非連結空間の和集合に対する Van Kampen 定理」、Archiv. Math. 42 (1984) 85–88。(この論文は、おそらく定理の最適バージョン、つまり任意の開被覆と、被覆の集合の 1-2-3 重交差のすべてのパス成分を満たす基点集合に対する定理の群バージョンを示しています。)
• PJ ヒギンズ、カテゴリーと群体(1971) ヴァン・ノストランド・ラインホールド
• ロナルド・ブラウン、高次元群論（2007年）（複数の群を含む高次元のヴァン・カンペンの定理の広い見方を示しています）。
• グリーンバーグ、マーヴィン J.; ハーパー、ジョン R. (1981)、代数的位相幾何学。最初のコース、数学講義ノートシリーズ、第 58 巻、ベンジャミン/カミングス、ISBN 0805335579
• Seifert、H.、Construction drei Dimensioner geschlossener Raume。ベリヒテ・サックス。アカド。ライプツィヒ、数学-物理学。 Kl. (83) (1931) 26–66。
• ER van Kampen.いくつかの関連した空間の基本群間の接続について。American Journal of Mathematics、vol. 55 (1933)、pp. 261–267。
• Brown, R., Higgins, P. J, 「いくつかの関連空間の第二相対ホモトピー群間の接続について」、Proc. London Math. Soc. (3) 36 (1978) 193–212。
• Brown, R.、Higgins, PJ、Sivera, R.。2011、EMS Tracts in Mathematics Vol.15 (2011) 非アーベル代数的位相幾何学: フィルター空間、交差複体、立方ホモトピー群。(3 部構成の最初の部分では、Seifert–van Kampen の定理の 1 次元および 2 次元バージョンの応用について説明します。後者は、非アーベル第 2 相対ホモトピー群、および実際にはホモトピー 2 タイプの計算を可能にします。第 2 部では、第 3 部で証明された交差複体の高次ホモトピー van Kampen 定理を適用します。)
• 「ファン・カンペンの定理の結果」。プラネットマス。
• R. Brown、H. Kamps、T. Porter：「ハウスドルフ空間のホモトピー二重群II：ヴァン・カンペンの定理」、カテゴリーの理論と応用、14（2005）200-220。
• Dylan GL Allegretti、「単体集合と Van Kampen の定理」(位相空間と単体集合に適用された Van Kampen の定理の一般化バージョンについて説明します)。
• R. Brown と J.-L. Loday、「空間の図に対する Van Kampen の定理」、Topology 26 (1987) 311–334。

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