テイトコホモロジー群

数学において、テイトコホモロジー群は、有限群の通常のコホモロジー群をわずかに修正した形式で、ホモロジー群とコホモロジー群を1つの列にまとめたものです。これらはジョン・テイト（1952年、297ページ）によって導入され、類体論で用いられています。 

もし${\displaystyle G}$は有限群であり、${\displaystyle A}$1${\displaystyle G}$-モジュールの場合、自然なマップがあります${\displaystyle N}$から${\displaystyle H_{0}(G,A)}$に ${\displaystyle H^{0}(G,A)}$代表者を選出する${\displaystyle a}$に${\displaystyle \sum _{g\in G}ga}$（すべての合計）${\displaystyle G}$-共役${\displaystyle a}$テイトコホモロジー群$\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)}$定義は以下のとおりです。

• ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)=H^{n}(G,A)}$のために${\displaystyle n\geq 1}$、
• ${\displaystyle {\hat {H}}^{0}(G,A)=\operatorname {coker} N=}$商${\displaystyle H^{0}(G,A)}$要素の規範によって${\displaystyle A}$、
• ${\displaystyle {\hat {H}}^{-1}(G,A)=\ker N=}$規範の商${\displaystyle 0}$要素${\displaystyle A}$主要要素によって${\displaystyle A}$、
• $\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)=H_{-n-1}(G,A)}$のために${\displaystyle n\leq -2}$。

• もし

${\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0}$

G加群の短完全列である場合、通常のテイトコホモロジー群の長完全列が得られます。

${\displaystyle \cdots \longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,B)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,C)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,B)\cdots }$

• Aが誘導G加群（つまり、自明群の加群から誘導されたもの）である場合、 Aのすべてのテイトコホモロジー群は消滅する。
• Aのゼロ次テイトコホモロジー群は

( A上のGの不動点)/( Aに作用するGの明らかな不動点)

ここで「明白な」固定点とは、次の形式の固定点を意味する。${\displaystyle \sum ga}$言い換えれば、ゼロ次コホモロジー群はある意味で、Aに作用するGの自明でない固定点を記述する。

テイトコホモロジー群は、上記の３つの性質によって特徴づけられる。

テイトの定理（テイト 1952 ）は、コホモロジー類による乗法がコホモロジー群間の同型写像となるための条件を与える。この定理にはいくつかの微妙に異なるバージョンが存在するが、類体論に特に便利なバージョンは以下のとおりである。

Aは有限群G上の加群であり、aは G の要素であると仮定します。${\displaystyle H^{2}(G,A)}$Gの任意の部分群Eに対して

• ${\displaystyle H^{1}(E,A)}$些細なことであり、
• ${\displaystyle H^{2}(E,A)}$によって生成されます${\displaystyle \operatorname {Res} (a)}$位数がEである。

すると、カップ積とaは同型写像となる。

• ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,\mathbb {Z} )\longrightarrow {\hat {H}}^{n+2}(G,A)}$

すべてのnに対して;言い換えれば、Aの次数付き Tate コホモロジーは、次数が 2 だけずれた整数係数の Tate コホモロジーと同型である。

F. トーマス・ファレルは、テイトのコホモロジー群を、有限の仮想コホモロジー次元を持つすべての群Gの場合に拡張した。ファレルの理論では、群は $\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)}$nが群Gの仮想コホモロジー次元より大きい場合、それらは通常のコホモロジー群と同型である。有限群の仮想コホモロジー次元は0であり、この場合、ファレルのコホモロジー群はテイトのコホモロジー群と同じである。

• ハーブランド指数
• クラス編成

• MF AtiyahおよびCTC Wall、「群のコホモロジー」、JWS Cassels、A. Frohlich著『代数的整数論』所収、ISBN 0-12-163251-2第4章。第6節を参照。
• Brown, Kenneth S. (1982). Cohomology of Groups . Graduate Texts in Mathematics. Vol.  87. New York-Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90688-6MR 0672956 .​ 
• Farrell, F. Thomas (1977). 「無限群のクラスへのテイトコホモロジーの拡張」。純粋応用代数学ジャーナル。10 ( 2): 153–161。doi : 10.1016 / 0022-4049(77)90018-4。MR 0470103。 
• テイト、ジョン（1952）「類体論の高次元コホモロジー群」、Annals of Mathematics、2、56 （ 2）：294–297、doi：10.2307/1969801、JSTOR 1969801、MR 0049950