n 群 (圏論)

数学において、n群、またはn次元高次群は、群の概念を高次元代数に一般化する特殊な種類のnカテゴリです。ここで、は任意の自然数または無限大です。アレクサンダー・グロタンディークの学生であるホアン・スアン・シンの論文は、「gr カテゴリ」という名称の2 群の詳細な研究でした。 ${\displaystyle n}$

-群の一般的な定義は現在も研究が進められている問題である。しかし、あらゆる位相空間はあらゆる点でホモトピー-群を持ち、それがホモトピー群までの空間のポストニコフ塔、または のポストニコフ塔全体をカプセル化すると予想される。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi_{n}}$${\displaystyle n=\infty}$

高次群の主な例の 1 つは、アイレンバーグ-マクレーン空間 のホモトピー型から来ます。これは、高次群、およびホモトピー型一般を構築するための基本的な構成要素だからです。たとえば、すべての群は単体構成^[1]によってアイレンバーグ-マクレーン空間に変換でき、関数的に のように動作します。この構成により、群 と1 群の間に同値性が与えられます。一部の著者はと書き、アーベル群の場合はと書きます。 ${\displaystyle K(A,n)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K(G,1)}$${\displaystyle K(G,1)}$${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle K(A,n)}$${\displaystyle B^{n}A}$

2-群の定義と多くの性質は既に知られている。2-群は交差加群とその分類空間を使って記述することができる。本質的には、これらはアーベル 群である4重項で与えられる。${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2},t,\omega )}$${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$${\displaystyle \pi_{2}}$

${\displaystyle t:\pi _{1}\to \operatorname {Aut} \pi _{2}}$

群準同型、コホモロジー類である。これらの群は、 およびを持つホモトピー型としてエンコードすることができ、その作用は高次のホモトピー群への の作用から来ており、ファイバリングが存在するため ポストニコフ塔から来ている。${\displaystyle \omega \in H^{3}(B\pi _{1},\pi _{2})}$${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}X=\pi _{1}}$${\displaystyle \pi _{2}X=\pi _{2}}$${\displaystyle \pi_{1}X}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle B^{2}\pi _{2}\to X\to B\pi _{1}}$

写像から来ている。この考え方は、自明な中間群を持つ群データを持つ他の高次の群を構築するために使用できることに注意されたい。この場合、ファイバ化シーケンスは ${\displaystyle B\pi _{1}\to B^{3}\pi _{2}}$${\displaystyle \pi _{1},e,\ldots ,e,\pi _{n}}$

${\displaystyle B^{n}\pi _{n}\to X\to B\pi _{1}}$

ホモトピー類が の要素である写像から来ています。 ${\displaystyle B\pi _{1}\to B^{n+1}\pi _{n}}$${\displaystyle H^{n+1}(B\pi _{1},\pi _{n})}$

厳密な群では利用できないホモトピー理論的手法を必要とする、興味深く利用しやすい別の例は、ホモトピー3型群を見ることから得られる。^[2]本質的に、これらは、最初の群のみが非可換である3つの群と、ポストニコフ塔からの追加のホモトピー理論的データによって与えられる。この3群をホモトピー3型とすると、普遍被覆の存在により、ファイバ列に適合する ホモトピー型が得られる。${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2},\pi _{3})}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$

${\displaystyle {\hat {X}}\to X\to B\pi _{1}}$

は、に作用する自明なホモトピー型を与える。これらは、 2群の以前のモデルを次数だけシフトしたもの（デループと呼ばれる）を使用して明示的に理解できる。明示的には、関連するセールファイバリングを伴うポストニコフタワーに適合する 。${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle \pi_{1}}$${\displaystyle \pi_{1}}$${\displaystyle {\hat {X}}}$

${\displaystyle B^{3}\pi _{3}\to {\hat {X}}\to B^{2}\pi _{2}}$

を与える。ここで、-バンドルは写像 から来ており、 におけるコホモロジー類を与える。次に、ホモトピー商 を使用して再構築できる。 ${\displaystyle B^{3}\pi _{3}}$${\displaystyle {\hat {X}}\to B^{2}\pi _{2}}$${\displaystyle B^{2}\pi _{2}\to B^{4}\pi _{3}}$${\displaystyle H^{4}(B^{2}\pi _{2},\pi _{3})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}//\pi _{1}\simeq X}$

前の構築は、一般に高次群を考える方法の一般的な考え方を示しています。n群と後者の束がアーベルである群について、関連するホモトピー型を考え、最初に普遍被覆 を考えます。すると、これは が自明な空間となり、ポストニコフ塔を使用してホモトピー型の残りの部分を簡単に構築できるようになります。すると、ホモトピー商はの再構成を与え、 -群のデータが高次群、つまり が自明な単純空間であり、群が理論的にホモトピーに作用することを示します。この観察は、ホモトピー型が単体群ではなく単体群^{[3] 295 ページ}によって実現されるという事実に反映されています。これは、群構造がホモトピー商 をモデル化するためです。 ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$${\displaystyle \pi _{1}({\hat {X}})=0}$${\displaystyle {\hat {X}}//\pi _{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi_{1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle -//\pi _{1}}$

4群の構築を経験することは、群を一般的に構築する方法についての一般的な考え方を与えるので有益です。簡単にするために、が自明であると仮定すると、非自明な群は です。これにより、ポストニコフタワーが得られます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}=e}$${\displaystyle \pi _{2},\pi _{3},\pi _{4}}$

${\displaystyle X\to X_{3}\to B^{2}\pi _{2}\to *}$

ここで、最初の非自明な写像は、ファイバー を持つファイバー化である。これもまた、 のコホモロジー類によって分類される。さて、から構築するために、関連するファイバー化が存在する。 ${\displaystyle X_{3}\to B^{2}\pi _{2}}$${\displaystyle B^{3}\pi _{3}}$${\displaystyle H^{4}(B^{2}\pi _{2},\pi _{3})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{3}}$

${\displaystyle B^{4}\pi _{4}\to X\to X_{3}}$

ホモトピー類 によって与えられる。原理的には^[4]このコホモロジー群は、正しい係数、すなわち を持つセールスペクトル列による前のファイバ化を使用して計算できるはずである。これを再帰的に行うには、たとえば-群に対して複数のスペクトル列計算が必要になり、最悪の場合、-群に対して多数のスペクトル列計算が必要になる。 ${\displaystyle [X_{3},B^{5}\pi _{4}]\cong H^{5}(X_{3},\pi _{4})}$${\displaystyle B^{3}\pi _{3}\to X_{3}\to B^{2}\pi _{2}}$${\displaystyle \pi_{4}}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$

普遍被覆と上のアーベル群の層を持つ複素多様体 に対して、任意の に対して^[5]標準準同型が存在する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle \phi _{n}:H^{n}(\pi _{1}X,H^{0}({\チルダ {X}},\pi ^{*}{\mathcal {F} }))\to H^{n}(X,{\mathcal {F}})}$

複素多様体と 上の層コホモロジーから構成されるn群を関連付ける手法を示します。これは特に複素トーラスに適用されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• ∞-群
• 交差モジュール
• ホモトピー仮説
• アーベル2群

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  • 「Hoàng Xuân Sínhの論文（Gr-categories）」。2022年8月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。
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• nラボにおけるホモトピー n 型の代数モデル- n キューブでホモトピー n 型をモデル化する際の問題を論じる Tim Porter の考察

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これは前のセクションとは（少し）異なることに注意してください。なぜなら、これは、より高いグループ の値を持つ空間上のコホモロジーを取り、より高いコホモロジー グループを与えることです。 をホモトピー型として考え、ホモトピー仮説を仮定すると、これらは同じコホモロジー グループです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {G} _{\bullet }}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{*}(X,\mathbb {G} _{\bullet })}$${\displaystyle X}$

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