階級形成

数学において、類形成とは、特定の条件を満たすモジュールに作用する位相群のことである。類形成は、類体理論に現れるさまざまなガロア群とモジュールを整理するために、エミール・アルティンとジョン・テイトによって導入された。

形成とは、位相群 Gと、 G が連続的に作用する位相G加群 Aの組み合わせです。

フォーメーションの層 E / F は、 G の開部分群 E 、 F のペアであり、FはEの 有限指数部分群である。FがEの正規部分群である場合は 正規層と呼ばれ、さらに商群が巡回である場合は巡回層と呼ばれる。 E がGの部分群である場合、A ^{E は}Eによって固定されたAの要素として定義される。

Hn ( E / F )^の

テイトコホモロジー群 H ⁿ ( E / F , A ^F )に対して、E / F が正規層である場合に限ります。(著者によっては、EとF をGの部分群ではなく固定体と考える人もいるため、E / FではなくF / Eと書きます。) 応用においては、G は体の絶対ガロア群であることが多く、特にprofiniteであり、したがって開部分群は、ある固定された可分閉包に含まれる体の有限拡大に対応します。

クラス形成とは、すべての通常層E / Fに対して、

H ¹ ( E / F ) は自明であり、

H ² ( E / F ) は | E / F |の順序で循環します。

実際には、これらの巡回群には、基本類と呼ばれる標準的な生成子u _{E / F} ∈ H ² ( E / F )が付属しており、基本類の制限 (コホモロジー類の) が別の基本類であるという意味で互いに互換性があります。基本類は、類形成の構造の一部であると考えられることがよくあります。

条件H ¹ ( E / F )=1 のみを満たす形成は、体形成と呼ばれることがあります。たとえば、G が体Lに作用する任意の有限群であり、A=L ^{× で}ある場合、これはヒルベルトの定理90により体形成です。

クラス編成の最も重要な例（難易度順に並べたもの）は次のとおりです。

• アルキメデスの局所類体理論: モジュールAは非ゼロ複素数の群であり、G は自明であるか、複素共役によって生成される位数 2 の巡回群です。
• 有限体:モジュールA は整数 ( G作用は自明) であり、G は有限体の絶対ガロア群であり、整数の profinite 完備化に同型です。
• 特性p > 0の局所類体理論:モジュールA は有限体上の形式ローラン級数の体の可分代数閉包の単位群であり、Gはガロア群です。
• 特性 0 の非アルキメデス的局所類体理論:モジュールAはp進数の体の代数閉包の単位群であり、Gはガロア群です。
• 特性p > 0のグローバル類体理論:モジュールA は、有限体上のある関数体の可分有限拡大のイデアル類の群の和集合であり、 Gはガロア群です。
• 標数 0 の大域類体理論:加群Aは代数体のイデアル類の群の和集合であり、G はAに作用する有理数 (または何らかの代数体) のガロア群である。

有限体の場合とアルキメデスの局所体の場合の類形成特性を検証するのは簡単ですが、残りのケースはより困難です。類体理論の大変な作業のほとんどは、これらが実際に類形成であることを証明することです。これは、以下のセクションで説明するように、いくつかのステップで行われます。

類体理論の 第一不等式は、

| H ⁰ ( E / F )| ≥ | E / F |

周期層E / Fの場合。これは通常、エルブラン商の性質を用いて証明され、より正確な形式は次のようになる。

| H ⁰ ( E / F )| = | E / F |×| H ¹ ( E / F )|。

証明するのはかなり簡単です。なぜなら、エルブラン商は短い正確な数列に対しては乗法であり、有限モジュールに対しては 1 であるため、簡単に計算できるからです。

1950 年頃までは、最初の不等式は 2 番目の不等式として知られており、その逆も同様でした。

類体理論の第二不等式は、

| H ⁰ ( E / F )| ≤ | E / F |

すべての通常レイヤーE / Fの場合。

局所体の場合、この不等式は、最初の不等式および群コホモロジーのいくつかの基本的性質とともに、 ヒルベルトの定理 90から簡単に導かれます。

2 番目の不等式は、次のように、数体の L 級数の特性を使用して、ウェーバーによってグローバル フィールドに対して初めて証明されました。層E / F がグローバル フィールドの拡大k ⊂ Kに対応すると仮定します。Kのデデキント ゼータ関数を調べると、 Kの次数 1 の素数は、 s =1の極の位数で与えられるディリクレ密度を持つことがわかります。この位数は 1 です ( Kが有理数の場合、これは本質的に、リーマン ゼータ関数のs =1の極を使用して、素数が無限に存在するというオイラーの証明です) 。kのノルムである各素数は、 Kの異なる次数 1の素数の deg( K / k )= | E / F | の積であるため、これは、ノルムであるkの素数の集合の密度が 1/| E / F | であることを示しています。一方、群H ⁰ ( E / F ) のディリクレ L 級数の指標を調べると、この群の自明な元を表すkの素数のディリクレ密度は密度 1/| H ⁰ ( E / F )| であることがわかります。(この証明の部分は、等差数列には無限に多くの素数が存在するというディリクレの証明の一般化です。) しかし、素数が主イデアルを法とするノルムに等しい場合、それは群H ⁰ ( E / F ) の自明な元を表すので、この集合は少なくともノルムである素数の集合と同じくらい密です。したがって、

1/| H ⁰ ( E / F )| ≥ 1/| E / F |

これは2番目の不等式です。

1940 年にシュヴァレーは、2 番目の不等式の純粋に代数的な証明を発見しましたが、これはウェーバーの最初の証明よりも長く、困難でした。1950 年頃までは、2 番目の不等式は 1 番目の不等式として知られていましたが、シュヴァレーの代数的証明が 1 番目の不等式を使用しているため、名前が変更されました。

高木は、類体を、2 番目の不等式で等式が成り立つものとして定義しました。以下のアルティン同型により、H ⁰ ( E / F ) はE / Fのアーベル化と同型であるため、2 番目の不等式での等式はアーベル拡大に対して正確に成り立ち、類体はアーベル拡大と同じになります。

最初の不等式と2番目の不等式は次のように組み合わせることができる。循環層の場合、2つの不等式を組み合わせると次のことが証明される。

H ¹ ( E / F )| E / F | = H ⁰ ( E / F ) ≤ | E / F |

それで

H ⁰ ( E / F ) = | E / F |

そして

H ¹ ( E / F ) = 1 です。

コホモロジー群に関する基本定理によれば、すべての巡回層に対して H ¹ ( E / F ) = 1なので、

H ¹ ( E / F ) = 1

すべての通常の層に対して(したがって、特に形成はフィールド形成です)。H ¹ ( E / F ) が常に自明であるというこの証明はかなり回りくどいです。グローバル フィールドに対して (それが何を意味するにせよ) それを直接証明する方法は知られていません。 (ローカル フィールドに対してH ¹ ( E / F ) がゼロになることは、ヒルベルトの定理 90 と同じです。)

巡回群の場合、H ^0はH ²と同じなので、すべての巡回層に対してH ² ( E / F ) = | E / F | となります。群コホモロジーの別の定理によれば、すべての通常層に対してH ¹ ( E / F ) = 1 となり、すべての巡回層に対してH ² ( E / F ) ≤ | E / F | となるので、

H ² ( E / F )≤ | E / F |

すべての通常のレイヤーに対して。(実際には、すべての通常のレイヤーに対して等式が成立しますが、これにはさらに作業が必要です。次のセクションを参照してください。)

クラス形成の Brauer 群 H 2 ( E /*) は、 F が E のすべての開部分群を通過するときのグループ H 2 ( E / F ) の直接の極限として定義されます。すべて の^レイヤーでH 1が消えること^から簡単にわかるのは、^グループH 2 ( E / F ) がすべて Brauer グループのサブグループであるということです。^ローカルクラスフィールド理論では、 Brauer グループはフィールドのBrauer グループと同じですが、グローバルクラスフィールド理論では、形成の Brauer グループは、対応するグローバルフィールドの Brauer グループではありません (ただし、それらは関連しています)。

次のステップは、H ² ( E / F ) がちょうど | E / F | の順序で巡回していることを証明することです。前のセクションでは、H 2 ( E / F ) が最大でこの順序を持​​つことが示されているため、H 2 ( E / F ) で順序 | E / F |のいくつ^かの要素を見つけるだけで十分です。

任意拡大の証明では、群Gから核G _∞を持つ整数の profinite 完備化への準同型写像、または言い換えると、核G _{n を}持つ、すべてのnに対して、位数nの巡回群へのGの準同型の互換列を使用します。これらの準同型は、体の巡回円分拡大を使用して構築されます。有限体の場合は代数閉包によって与えられ、非アルキメデス局所体の場合は最大非分岐拡大によって与えられ、大域体の場合はもう少し複雑です。これらの拡大は明示的に与えられているため、 H ² ( G / G _n ) が正準生成子を持つ位数nの巡回であるという特性を持つことを確認できます。このことから、任意の層Eに対して、群 H ² ( E / E ∩ G _{∞ ) は}Q / Zに正準同型であることがわかります。単位根を使用するというこの考え方は、チェボタレフがチェボタレフの密度定理の証明で導入し、その後すぐにアルティンが相互定理を証明するために使用しました。

一般的な層E、Fについては、正確な順序がある。

${\displaystyle 0\rightarrow H^{2}(E/F)\cap H^{2}(E/E\cap G_{\infty })\rightarrow H^{2}(E/E\cap G_{ \infty })\rightarrow H^{2}(F/F\cap G_{\infty })}$

このシーケンスの最後の 2 つのグループは両方ともQ / Zと同一視でき、それらの間の写像は | E / F | による乗算になります。したがって、最初のグループはZ / n Zと標準的に同型です。H ² ( E / F ) の順序は最大でZ / n Zであるため、 Z / n Zと等しくなければなりません(特に、中間のグループに含まれています)。

これは、任意の層の 2 番目のコホモロジー グループH ² ( E / F ) が順序 | E / F | の巡回であることを示しており、クラス形成の公理の検証が完了します。証明にもう少し注意を払うと、基本クラスと呼ばれるH ² ( E / F )の標準的な生成元が得られます。

このことから、ブラウアー群H ² ( E /*) は、アルキメデス局所体RおよびCの場合に位数が 2 または 1 である場合を除き、群Q / Zと (標準的に) 同型であることがわかります。

群コホモロジーにおけるテイトの定理は次の通りである。Aが有限群G上の加群であり、aがH ² ( G , A )の元であるとする。この場合、 Gの任意の部分群Eに対して

• H ¹ ( E , A ) は自明であり、
• H ² ( E , A )は順序Eを持つRes(a)によって生成される。

すると、 aとのカップ積は同型となる。

• Hn ( G , ^Z )→ Hn + ² ( G , ^A )。

テイトの定理のn =−2の場合をクラス形成に適用すると、同型性が存在することがわかる。

• H ⁻² ( E / F , Z ) → H ⁰ ( E / F , A ^F )

任意の正規層E / Fに対して。群H ⁻² ( E / F , Z ) はE / Fのアーベル化にすぎず、群H ⁰ ( E / F , A ^F ) は A ^Fのノルム群を法としたA ^Eです。言い換えれば、ガロア群E / Fのアーベル化をA ^Eによって明示的に記述できるということです。

この同型の逆をとると準同型が得られる。

A ^E → E / Fのアーベル化、

そして、すべての開部分群F上の極限をとると、準同型写像が得られる。

A ^E → Eのアーベル化、

アルティン写像と呼ばれる。アルティン写像は必ずしも全射ではないが、稠密な像を持つ。存在定理により、その核はA ^Eの連結成分(類体論の場合) であり、これは非アルキメデス局所体の類体論および関数体の場合は自明であるが、アルキメデス局所体および数体の場合は非自明である。

類体論の残る主要な定理は、イデア類群のすべての有限指数閉部分群は、あるアーベル拡大に対応するノルムの群である、という高木存在定理である。これを証明する古典的な方法は、最初に多くの単位根を追加し、次にクンマー拡大とアルティン・シュライアー拡大をとることによって、ノルムの小群を持つ拡大をいくつか構成することです。これらの拡大は非アーベルである可能性があります (アーベル群によるアーベル群の拡大ですが)。ただし、これは実際には問題ではありません。非アーベルガロア拡大のノルム群は、その最大アーベル拡大のノルム群と同じだからです (これは、類体について既にわかっていることを使って示すことができます)。これにより、イデア類群の任意の有限指数部分群に対応するアーベル拡大があることを示すのに十分な (アーベル) 拡大が得られます。

結果として、アルティン写像の核はイデア類群の恒等式の連結成分となり、Fのガロア群のアーベル化はイデア類群の漸限完備化となる。

局所類体論では、ルビン・テイト形式群法則を使ってより明示的にアーベル拡大を構成することも可能である。大域体では、場合によってはアーベル拡大を明示的に構成できる。例えば、有理数のアーベル拡大は単位根を使って構成でき、2次虚数体のアーベル拡大は楕円関数を使って構成できるが、任意の大域体に対してこれと同様のものを見つけることは未解決の問題である。

これはワイル群ではなく、ワイル・シャトレ群やモーデル・ワイル群とは関係がない。

基本類u _{E / F} ∈ H ² ( E / F , A ^F )を持つ類形成のWeil群は、Weil (1951) によって導入され、類体理論のさまざまな定式化、特にLanglands プログラムで使用される、一種の修正ガロア群です。

E / Fが正規層である場合、 E / FのWeil群Uは拡張である。

1 → A ^F → U → E / F → 1

H ² ( E / F , A ^F )の基本クラスu _{E / F}に対応します。全体の形成のヴェイユ群は、 Gの開部分群Fに対して、すべての層G / Fのヴェイユ群の逆極限として定義されます。

クラス形成の相互写像( G、  A )は、 A ^Gからヴェイユ群のアーベル化への同型性を誘導します。

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