対称性が保護された位相的秩序

対称性保護トポロジカル秩序（SPT秩序）^{[1] [2]は、対称性と有限のエネルギーギャップを持つ物質の}ゼロ温度量子力学的状態 における一種の秩序である。

最も不変な方法で結果を導くために、再正規化群法が使用される（特定の固定点に対応する同値類につながる）。^[1] SPT順序には次の定義特性がある。

(a)対称性が保たれる変形の場合、与えられた対称性を持つ異なる SPT 状態は、相転移なしに互いに滑らかに変形することはできません。
(b)ただし、変形中に対称性が破れると、相転移なしにそれらすべてを同じ自明な積状態に滑らかに変形することができます。

上記の定義はボゾン系とフェルミオン系の両方に適用でき、ボゾン SPT 秩序とフェルミオン SPT 秩序という概念につながります。

量子もつれの概念を用いると、SPT 状態は対称性を持つ短距離のもつれ状態であると言えます(対照的に、長距離のもつれについては、有名なEPR パラドックスとは関係のない位相的秩序を参照してください)。短距離のもつれ状態には自明な位相的秩序しかないため、SPT 秩序を対称性が保護された「自明な」秩序と呼ぶこともできます。

1. 非自明な SPT 状態の境界有効理論は、対称性群に対して常に純粋ゲージ異常または混合ゲージ重力異常を持ちます。^[3]その結果、サンプルをどのように切断して境界を形成するかに関係なく、SPT 状態の境界はギャップレスまたは縮退のいずれかになります。ギャップのある非縮退境界は、非自明な SPT 状態では不可能です。境界がギャップのある縮退状態である場合、縮退は自発的な対称性の破れや (固有の) 位相秩序によって引き起こされる可能性があります。
2. 非自明な 2+1D SPT 状態におけるモノドロミー欠陥は、対称群の非自明な統計^[4]と分数量子数^[5]を持ちます。モノドロミー欠陥は、対称変換によるカットに沿って境界条件をねじることで作成されます。このようなカットの端がモノドロミー欠陥です。たとえば、2+1D ボゾン Z _{n SPT 状態は、 Z n}整数mによって分類されます。mでラベル付けされた Z _n SPT 状態におけるn個の同一の基本モノドロミー欠陥は、nの倍数ではない合計 Z _n量子数2mを持つことがわかります。
3. 2+1DボゾンU(1) SPT状態は偶数として量子化されたホール伝導度を持つ。^{[6] [7]} 2+1DボゾンSO(3) SPT状態は量子化されたスピンホール伝導度を持つ。^[8]

SPT状態は短距離エンタングルメントであるのに対し、位相的に秩序付けられた状態は長距離エンタングルメントである。固有の位相的秩序とSPT秩​​序は両方とも、保護されたギャップレス境界励起を持つことがある。その違いは微妙で、固有の位相的秩序におけるギャップレス境界励起はあらゆる局所摂動に対して堅牢であるのに対し、SPT秩序におけるギャップレス境界励起は対称性を破らない局所摂動に対してのみ堅牢である。そのため、固有の位相的秩序におけるギャップレス境界励起は位相的に保護されているが、SPT秩序におけるギャップレス境界励起は対称性が保護されている。^[9]

また、固有の位相的秩序には、創発的な分数電荷、創発的な分数統計、創発的なゲージ理論があることもわかっています。対照的に、SPT 秩序には、有限エネルギー励起に対する創発的な分数電荷/分数統計はなく、創発的なゲージ理論もありません (短距離エンタングルメントのため)。上で説明したモノドロミー欠陥は、ハミルトニアンのスペクトルにおける有限エネルギー励起ではなく、ハミルトニアンを 変更することによって作成された欠陥であることに注意してください。

SPT秩序の最初の例は、奇整数スピン鎖のハルデイン相である。 ^{[10] [11] [12] [13] [14]これは}SO(3)スピン回転対称性によって保護されたSPT相である。 ^[1] 偶整数スピン鎖のハルデイン相にはSPT秩序がないことに注意。SPT秩序のよりよく知られた例は、相互作用しないフェルミオンのトポロジカル絶縁体であり、 U(1)と時間反転対称性によって保護されたSPT相である。

一方、分数量子ホール状態は SPT 状態ではありません。これらは (固有の) 位相的秩序と長距離エンタングルメントを持つ状態です。

量子エンタングルメントの概念を用いると、ゼロ温度でのギャップ相の一般的な図が次のように得られます。すべてのギャップゼロ温度相は、長距離エンタングルメント相（つまり、固有の位相秩序を持つ相）と短距離エンタングルメント相（つまり、固有の位相秩序を持たない相）の 2 つのクラスに分けることができます。すべての短距離エンタングルメント相は、さらに、 対称性の破れ相、SPT 相、およびそれらの混合（対称性の破れの秩序と SPT 秩序が同時に現れることがあります）の 3 つのクラスに分けることができます。

対称性の破れ秩序が群論によって記述されることはよく知られています。純粋なゲージ異常境界を持つボゾン SPT 相については、群コホモロジー理論によって分類されることが示されました: ^{[15] [16]対称性}Gを持つ (d+1)D SPT 状態は、群コホモロジークラス の要素によってラベル付けされます 。混合ゲージ重力異常境界を持つその他の (d+1)D SPT 状態^{[17] [18] [19] [20]}については、 によって記述できます。[ ^21]ここで、 は、非自明な位相励起を持たない (d+1)D 位相的に秩序立った相 (iTO 相と呼ばれる) によって形成されるアーベル群です。 ${\displaystyle H^{d+1}[G,U(1)]}$ ${\displaystyle \oplus _{k=1}^{d}H^{k}[G,iTO^{d+1-k}]}$${\displaystyle iTO^{d+1}}$

上記の結果から、ボソントポロジカル絶縁体（U(1)と時間反転対称性によって保護されたSPT状態）やボソントポロジカル超伝導体（時間反転対称性によって保護されたSPT状態）など、他の対称性によって保護された多くの新しいSPT状態を含む、物質の多くの新しい量子状態が予測されます。

群コホモロジー（=時間反転対称群） からのボゾンSPT状態のリスト${\displaystyle H^{d+1}[G,U(1)]\oplus _{k=1}^{d}H^{k}[G,iTO^{d+1-k}]}$${\displaystyle Z_{2}^{T}}$

「+」の前の位相は から来ます。「+」の後の位相は から来ます。群論が 3+1D で 230 の結晶構造を提供できるのと同様に、群コホモロジー理論は、任意のオンサイト対称群を持つ任意の次元でさまざまな SPT 位相を提供できます。 ${\displaystyle H^{d+1}[G,U(1)]}$${\displaystyle \oplus _{k=1}^{d}H^{k}[G,iTO^{d+1-k}]}$

一方、フェルミオンのSPT秩序は群超コホモロジー理論によって記述される。^[22]そのため、群（超）コホモロジー理論により、相互作用するトポロジカル絶縁体/超伝導体を含む相互作用系に対しても多くのSPT秩序を構築することができる。

量子もつれと SPT 秩序の概念を使用すると、すべての 1D ギャップ量子位相の完全な分類を取得できます。

まず、 1Dには（本質的な）位相秩序が存在しない（つまり、すべての1Dギャップ状態は短距離エンタングルメントである）ことが示される。^[23] したがって、ハミルトニアンが対称性を持たない場合、すべての1Dギャップ量子状態は1つの位相、つまり自明な積状態の位相に属します。一方、ハミルトニアンが対称性を持つ場合、1Dギャップ量子状態は対称性を破る位相、SPT位相、およびそれらの混合のいずれかになります。

このような理解により、1D ギャップ量子相のすべてを分類することができます。^{[15] [24] [25] [26] [27]}すべての 1D ギャップ相は、次の 3 つの数学的対象によって分類されます。、ここで はハミルトニアンの対称群、基底状態の対称群、の2 番目のグループコホモロジークラスです。 (は の射影表現を分類することに注意してください。) 対称性の破れがない場合 (つまり)、1D ギャップ相は対称群 の射影表現によって分類されます。 ${\displaystyle (G_{H},G_{\Psi },H^{2}[G_{\Psi },U(1)])}$${\displaystyle G_{H}}$${\displaystyle G_{\Psi }}$${\displaystyle H^{2}[G_{\Psi },U(1)]}$${\displaystyle G_{\Psi }}$${\displaystyle H^{2}[G,U(1)]}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{\Psi }=G_{H}}$${\displaystyle G_{H}}$

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