タウ関数（可積分系）

タウ関数は、可積分系の現代数学理論の重要な要素であり、他のさまざまな分野で多数の応用があります。タウ関数は、ソリトン方程式を等価な双線形形式で表現することに基づいて、 広田亮吾^[1]によって最初に導入されました。

タウ関数または-関数という用語は、佐藤幹夫^[2]と彼の学生^{[3] [4]によって}、カドムツェフ–ペトビアシビリ (または KP) 方程式と関連する可積分階層の特定の文脈で初めて体系的に使用されました。これはソリトン理論の中心的な要素です。この設定では、広田型の双線形方程式系を満たす任意の -関数が与えられれば (以下の § KP タウ関数の広田双線形留数関係を参照)、積分階層の方程式の対応する解は、それと有限次までのその対数導関数によって明示的に表現できます。タウ関数はランダム行列のスペクトル理論における行列モデルの分割関数としても現れ、^{[5] [6] [7]}また、組合せ論や列挙幾何学の意味で、特にリーマン面のモジュライ空間や分岐被覆の列挙、いわゆるフルヴィッツ数に関連して、生成関数としても機能することがある。^{[8] [9] [10]}${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$

-関数には2つの概念があり、どちらも佐藤学派によって導入された。1つ目は佐藤-シーガル-ウィルソン型等スペクトル関数^{[2] [11]}であり、KP階層などの積分可能な階層に対して用いられる。これは、ラックス型の等スペクトル変形方程式を満たす線形演算子によってパラメータ化される。2つ目は等モノドロミック-関数である。^[12]${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \tau}$

特定の用途に応じて、-関数は次のいずれかになります。1) 有限または無限数の独立した可換なフロー変数または変形パラメータの解析関数。2) 有限または無限数の可算変数の離散関数。3) 有限または無限数の展開変数における形式的なべき級数展開。これは収束領域を持つ必要はありませんが、級数の係数として現れる特定の列挙不変量の生成関数として機能します。4) エントリが特定の多項式または準多項式関数、またはパラメトリック積分、およびそれらの導関数である有限または無限 (フレドホルム) 行列式。5)同様に多項式または準多項式タイプのエントリを持つ歪対称行列 (有限または無限次元) のパフィアン。これらすべてのタイプの例を次に示します。 ${\displaystyle \tau}$

リウヴィル可積分ハミルトン系へのハミルトン・ヤコビアプローチでは、ポアソン可換不変量の完全なセットのレベル面上で評価されるハミルトンの主関数は、関数と同様の役割を果たし、線形化正準座標への正準変換の生成関数として機能するとともに、ポアソン可換不変量の完全なセットの同時レベルセット上で評価された場合には、ハミルトン・ヤコビ方程式の完全な解としても機能します。 ${\displaystyle \tau}$

等スペクトル型の -関数は、広田双線型方程式の解として定義され（以下の KP タウ関数については § 広田双線型留数関係を参照）、この解から等スペクトル発展する線型演算子を一意に再構築できます。幾何学的には、佐藤^[2]とシーガル-ウィルソン^[11]の意味では、適切に定義された（無限次元）グラスマン多様体の要素の原点への直交射影として解釈されるフレドホルム積分演算子の行列式の値であり、その要素は一般線型群の最大アーベル部分群の線型指数作用の下で発展します。これは通常、基礎となる測度が線型指数変形を受けるため、 統計力学、多体量子力学、または量子場の理論の意味での分配関数として生じます。${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau}$フックス型線形システムの等モノドロミック関数は、§ フックス等モノドロミックシステムで定義されています。シュレジンジャー方程式。不規則特異点を含む有理係数の線形常微分方程式のより一般的なケースについては、参照^[12]で開発されています。

KP（カドムツェフ・ペトビアシビリ）関数は、双線型形式留数方程式を満たす 変数（KPフロー変数と呼ばれる）の 無限集合の関数である。${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau (\mathbf {t} )}$${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$

変数については同一であり、ここで はすべての因子を のローラン級数として展開した結果得られる正式なローラン展開の係数であり 、 ${\displaystyle \delta t_{j}}$${\displaystyle \mathrm {res} _{z=0}}$${\displaystyle z^{-1}}$${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\bf {s}}:={\bf {t}}+(\delta t_{1},\delta t_{2},\cdots ),\quad [z^{-1}]:=(z^{-1},{\tfrac {z^{-2}}{2}},\cdots {\tfrac {z^{-j}}{j}},\cdots ).}$$

以下のセクション「形式的な Baker-Akhiezer 関数と KP 階層」で説明されているように、このような関数はすべて、KP 階層の方程式の解の集合を決定します。 ${\displaystyle \tau}$

が広田留数方程式（１ ）を満たすKP関数であり、最初の３つのフロー変数を次のように同定する。 ${\displaystyle \tau (t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots )}$${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle t_{1}=x,\quad t_{2}=y,\quad t_{3}=t,}$

関数

${\displaystyle u(x,y,t):=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log \left(\tau (x,y,t,t_{4},\dots )\right)}$

（空間）（時間）次元の非線形偏微分方程式 を満たす${\displaystyle 2}$${\displaystyle +1}$

カドムツェフ・ペトビアシビリ（KP）方程式として知られています。この方程式はプラズマ物理学と浅水海洋波において重要な役割を果たします。

の対数微分をさらに取ると、さらに非線形自律偏微分方程式系を満たす関数の無限列が得られます。各関数は、有限個の KP フロー パラメータに関する有限次数の偏微分を含みます。これらはまとめてKP 階層と呼ばれます。 ${\displaystyle \tau (t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots )}$${\displaystyle {\bf {t}}=(t_{1},t_{2},\dots )}$

（形式的な）ベイカー・アキエザー関数を 佐藤の公式^{[2] [3]で定義すると、}${\displaystyle \psi (z,\mathbf {t} )}$

${\displaystyle \psi (z,\mathbf {t} ):=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}{\frac {\tau (\mathbf {t} -[z^{-1}])}{\tau (\mathbf {t} )}}}$

そしてそれを変数のべき乗の正式な級数として展開する${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi (z,\mathbf {t} )=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}(1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}(\mathbf {t} )z^{-j}),}$

これは、互換性のある進化方程式の無限列を満たす。

ここで、は 変数 の次数 の線型常微分演算子であり、係数はフロー変数 の関数であり 、次のように定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x:=t_{1}}$${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}:={\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}}$

ここで、形式的な擬微分演算子は${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial +\sum _{j=1}^{\infty }u_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}={\mathcal {W}}\circ \partial \circ {\mathcal {W}}^{-1}}$

と、 ${\displaystyle \partial :={\frac {\partial }{\partial x}}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}:=1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}}$

は波動演算子であり、 の純粋に非負のべき乗を含む の部分、つまり の微分演算子部分への射影を表します。 ${\displaystyle {\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{i}}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{i}}$

擬微分演算子は、等スペクトル変形方程式の無限系を満たす。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

そして、システム（３）と（４） の両方の適合条件は

これは、関数 に対する、独立変数の集合に関するKP (Kadomtsev-Petviashvili) 階層として知られる、互換性のある無限の非線形偏微分方程式系であり、独立変数の集合にはそれぞれ有限個の のみが含まれており、3 つの独立変数 についてのみ導関数が存在します。これらの最初の非自明なケースは、Kadomtsev-Petviashvili 方程式( 2 ) です。${\displaystyle \{u_{j}(\mathbf {t} )\}_{j\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$${\displaystyle u_{j}}$${\displaystyle (x,t_{i},t_{j})}$

したがって、すべての KP関数は、少なくとも形式的な意味では、この無限の非線形偏微分方程式系の解を提供します。 ${\displaystyle \tau }$

一次行列偏微分方程式の 過剰決定系を考える

ここで、はトレースレス行列 の集合、は複素パラメータの集合、複素変数、はおよびの可逆な行列値関数である。これらは、有理共変微分演算子に対応する 点で穿孔されたリーマン球面の基本群の 基底モノドロミー表現の必要十分条件である。${\displaystyle \{N_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r\times r}$${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Psi (z,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$${\displaystyle r\times r}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$${\displaystyle \pi _{1}({\bf {P}}^{1}\backslash \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n})}$${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle {\partial \over \partial z}-\sum _{i=1}^{n}{N_{i} \over z-\alpha _{i}}}$

パラメータに依存しない、つまりこれらのパラメータの変化が等モノドロミック変形を引き起こす。このシステムの適合条件はシュレジンジャー方程式^{[12]である。}${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$

関数 の定義${\displaystyle n}$

シュレジンジャー方程式（８）は、微分形式

${\displaystyle \omega :=\sum _{i=1}^{n}H_{i}d\alpha _{i}}$

パラメータ空間は閉じている：

${\displaystyle d\omega =0}$

したがって、局所的には正確である。したがって、少なくとも局所的には、 乗法定数の範囲内で定義されるパラメータの関数が存在し、 ${\displaystyle \tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$

${\displaystyle \omega =d\mathrm {ln} \tau }$

この関数は、系( 6 )、( 7 )の 基本解に関連する等モノドロミック関数と呼ばれる。 ${\displaystyle \tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Psi }$

行列の組の空間上のリーポアソン括弧を定義する: ${\displaystyle n}$${\displaystyle \{N_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$${\displaystyle r\times r}$

${\displaystyle \{(N_{i})_{ab},(N_{j})_{c,d}\}=\delta _{ij}\left((N_{i})_{ad}\delta _{bc}-(N_{i})_{cb}\delta _{ad}\right)}$

${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,\quad 1\leq a,b,c,d\leq r,}$

そして、 （９ ）で定義された関数をこのポアソン空間上のハミルトン関数として見ると、シュレジンジャー方程式（８）はハミルトン形式で次のように表される^{[13] [14]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \{H_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f(N_{1},\dots ,N_{n})}{\partial \alpha _{i}}}=\{f,H_{i}\},\quad 1\leq i\leq n}$

任意の微分可能関数に対して。 ${\displaystyle f(N_{1},\dots ,N_{n})}$

シュレジンジャー方程式の最も単純で非自明なケースは、およびの場合である。変数 にメビウス変換を適用することにより、有限極のうちの 2 つをおよびに選択し、3 番目を独立変数と見なすことができる。シュレジンジャー方程式の不変量である( 6 )に現れる行列の合計を定数に設定し、共役の下でその安定化因子で割ると、 6 つのパンルヴェ超越方程式の最も一般的なケースと等価なシステムが得られ、このシステムに対しては多くの詳細な明示的解のクラスが知られている。^{[15] [16] [17]}${\displaystyle r=2}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}N_{i}}$${\displaystyle Gl(2)}$${\displaystyle P_{VI}}$

高次の極を持つ非フックス系の場合、一般化モノドロミーデータにはストークス行列と接続行列が含まれ、局所漸近線に関連するさらなる等モノドロミック変形パラメータが存在するが、等モノドロミック関数は${\displaystyle \tau }$、拡張パラメータ空間上の微分を使用して同様の方法で定義することができる。^[12] 同様に、等モノドロミック変形ダイナミクスを生成するスペクトルパラメータと対応するスペクトル不変ハミルトニアンの有理行列値関数の空間上にポアソン括弧構造が存在する。^{[13] [14]}${\displaystyle z}$

（ 6）に現れる極の、およびの場合の可能なすべての合流点（におけるものを含む）を取り、対応する還元を行うと、パンルヴェの超越関数 の他のすべての例が得られ、これらに対しては多数の特殊解も知られている。^{[15] [16]}${\displaystyle r=2}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle z=\infty }$${\displaystyle P_{I}\cdots P_{V}}$

フェルミオンフォック空間は 半無限外積空間である ^[18]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Lambda ^{\infty /2}{\mathcal {H}}=\oplus _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {F}}_{n}}$

の基底元 と双対基底元を 持つ（可分）ヒルベルト空間上に定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }}$${\displaystyle \{e^{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$

自由フェルミオン生成消滅演算子は、 基底要素による外部乗算と内部乗算を介して、 上の自己準同型として作用する。 ${\displaystyle \{\psi _{j},\psi _{j}^{\dagger }\}_{j\in \mathbf {Z} }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \psi _{i}:=e_{i}\wedge ,\quad \psi _{i}^{\dagger }:=i_{e^{i}},\quad i\in \mathbf {Z} ,}$

標準的な反交換関係を満たす

${\displaystyle [\psi _{i},\psi _{k}]_{+}=[\psi _{i}^{\dagger },\psi _{k}^{\dagger }]_{+}=0,\quad [\psi _{i},\psi _{k}^{\dagger }]_{+}=\delta _{ij}.}$

これらは、スカラー積に対応する 直和上のクリフォード代数の標準的なフェルミオン表現を生成する。${\displaystyle {\mathcal {H}}+{\mathcal {H}}^{*}}$

${\displaystyle Q(u+\mu ,w+\nu ):=\nu (u)+\mu (v),\quad u,v\in {\mathcal {H}},\ \mu ,\nu \in {\mathcal {H}}^{*}}$

フォック空間を既約なモジュールとする。ゼロフェルミオン電荷セクターにおける真空状態を次のように表す。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$

${\displaystyle |0\rangle :=e_{-1}\wedge e_{-2}\wedge \cdots }$、

これは、すべての負の整数位置が占有され、すべての非負の整数位置が空である実整数格子に沿ったディラックの状態の 海に対応します。

これは次の演算子によって消滅します

${\displaystyle \psi _{-j}|0\rangle =0,\quad \psi _{j-1}^{\dagger }|0\rangle =0,\quad j=0,1,\dots }$

と表記される双対フェルミオンフォック空間の真空状態は、左方向に作用する随伴演算子によって消滅する。 ${\displaystyle \langle 0|}$

${\displaystyle \langle 0|\psi _{-j}^{\dagger }=0,\quad \langle 0|\psi _{j-1}|0=0,\quad j=0,1,\dots }$

線形演算子の積（つまり、生成演算子と消滅演算子の有限または無限線形結合）の 通常の順序付けは、その真空期待値（VEV）がゼロになるように定義されます。${\displaystyle :L_{1},\cdots L_{m}:}$

${\displaystyle \langle 0|:L_{1},\cdots L_{m}:|0\rangle =0.}$

特に、一対の線形演算 子の積については、${\displaystyle L_{1}L_{2}}$${\displaystyle (L_{1},L_{2})}$

${\displaystyle {:L_{1}L_{2}:}=L_{1}L_{2}-\langle 0|L_{1}L_{2}|0\rangle .}$

フェルミオン電荷演算子は次のように定義される。 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=\sum _{i\in \mathbf {Z} }:\psi _{i}\psi _{i}^{\dagger }:}$

部分空間は 、固有値を持つすべての固有ベクトルからなるの固有空間である。${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}\subset {\mathcal {F}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle C|v;n\rangle =n|v;n\rangle ,\quad \forall |v;n\rangle \in {\mathcal {F}}_{n}}$。

ゼロフェルミオン電荷セクターの標準的な正規直交基底は、整数分割によってラベル付けされます。ここで、 は弱減少する正の整数 の列であり、これは、ここで分割 について示されているように、 ヤング図によって同等に表すことができます。 ${\displaystyle \{|\lambda \rangle \}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})}$${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{\ell (\lambda )}}$${\displaystyle \ell (\lambda )}$${\displaystyle (5,4,1)}$

分割の別の表記法はフロベニウス指数 で構成されます 。ここで、 は腕の長さ、つまりヤング図で' 番目の対角ボックスの右側にあるボックスの数を表します。 は脚の長さ 、つまりヤング図で' 番目の対角ボックスの下のボックスの数を表します。 の場合、 はフロベニウス階数、つまり主対角線に沿った要素の数です。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (\alpha _{1},\dots \alpha _{r}|\beta _{1},\dots \beta _{r})}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}-i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i=1,\dots ,r}$${\displaystyle r}$

基底要素は、フロベニウス指数でラベル付けされた生成消滅演算子のペア の積を真空に作用させることによって与えられる。${\displaystyle |\lambda \rangle }$${\displaystyle r}$

${\displaystyle |\lambda \rangle =(-1)^{\sum _{j=1}^{r}\beta _{j}}\prod _{k=1}^{r}{\big (}\psi _{\alpha _{k}}\psi _{-\beta _{k}-1}^{\dagger }{\big )}|0\rangle .}$

整数は、ディラックの海を基準として、整数格子上の占有された非負のサイトを示し、 は 占有されていない負の整数サイトを示します。ディラックの海の有限の摂動である整数格子上の無限の占有サイトと非占有サイトからなる対応する図は、マヤ図と呼ばれます。^[2]${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,r}}$${\displaystyle \{-\beta _{i}-1\}_{i=1,\dots ,r}}$

空集合の場合には真空状態となり、双対基底は次のように定義される。 ${\displaystyle |\emptyset \rangle =|0\rangle }$${\displaystyle \{\langle \mu |\}}$

${\displaystyle \langle \mu |\lambda \rangle =\delta _{\lambda ,\mu }}$

任意のKP関数は和として表現できる ${\displaystyle \tau }$

ここで、はKPフロー変数、 は正規化されたべき乗和変数の関数として見た 分割に対応するシュアー関数である。${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots ,\dots )}$${\displaystyle s_{\lambda }(\mathbf {t} )}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle t_{i}:=[\mathbf {x} ]_{i}:={\frac {1}{i}}\sum _{a=1}^{n}x_{a}^{i}\quad i=1,2,\dots }$

補助的な（有限または無限の）変数列 と定数係数 の観点からは 、一般線型群の作用下にある ヒルベルト空間の部分 空間の軌道からなる無限次元グラスマン多様体の要素のプルッカー座標として見ることができます。 ${\displaystyle \mathbf {x} :=(x_{1},\dots ,x_{N})}$${\displaystyle \pi _{\lambda }(w)}$${\displaystyle w\in \mathrm {Gr} _{{\mathcal {H}}_{+}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{+}=\mathrm {span} \{e_{-i}\}_{i\in \mathbf {N} }\subset {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

これは、ボーズ-フェルミ対応の下では、分解可能な要素 に対応する。

${\displaystyle |\tau _{w}\rangle =\sum _{\lambda }\pi _{\lambda }(w)|\lambda \rangle }$

フォック空間の、射影化を除けば、プリュッカー写像の下の グラスマン元の像である${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$${\displaystyle w\in \mathrm {Gr} _{{\mathcal {H}}_{+}}({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle {\mathcal {Pl}}:\mathrm {span} (w_{1},w_{2},\dots )\longrightarrow [w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots ]=[|\tau _{w}\rangle ],}$

ここで は部分空間の基底であり 、の元の射影化を表します。 ${\displaystyle (w_{1},w_{2},\dots )}$${\displaystyle w\subset {\mathcal {H}}}$${\displaystyle [\cdots ]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Plücker座標は、 Plücker関係と呼ばれる無限の双線型関係を満たし、フェルミオンフォック空間の 射影化へのPlücker埋め込みの像を定義し、これはHirota双線型留数関係( 1 )と同等である。 ${\displaystyle \{\pi _{\lambda }(w)\}}$${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {F}})}$

フェルミオン表現を持つグループ要素の場合、関数はフェルミオン真空状態期待値（VEV）として表すことができます。 ${\displaystyle w=g({\mathcal {H}}_{+})}$${\displaystyle g\in \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\hat {g}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau _{w}(\mathbf {t} )}$

${\displaystyle \tau _{w}(\mathbf {t} )=\langle 0|{\hat {\gamma }}_{+}(\mathbf {t} ){\hat {g}}|0\rangle ,}$

どこ

${\displaystyle \Gamma _{+}=\{{\hat {\gamma }}_{+}(\mathbf {t} )=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}J_{i}}\}\subset \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$

はKPフローを生成する アーベル部分群であり、${\displaystyle \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle J_{i}:=\sum _{j\in \mathbf {Z} }\psi _{j}\psi _{j+i}^{\dagger },\quad i=1,2\dots }$

「現在の」コンポーネントです。

式( 9 )に見られるように、すべてのKP関数は（少なくとも形式的には）係数が無限（または有限）グラスマン多様体の元に対応するプラッカー関係の双線型集合を満たすシュアー関数の線型結合として表すことができます。実際、最も単純なクラスの（多項式）タウ関数はシュアー関数自体で構成されており、これはグラスマン多様体の特殊元に対応し、プラッカー写像による像は です。 ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \pi _{\lambda }(w)}$${\displaystyle w}$ ${\displaystyle s_{\lambda }(\mathbf {t} )}$${\displaystyle |\lambda >}$

がすべて異なる複素定数を選択し、 関数を 定義すると、 ${\displaystyle 3N}$${\displaystyle \{\alpha _{k},\beta _{k},\gamma _{k}\}_{k=1,\dots ,N}}$${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}}$${\displaystyle \gamma _{k}\neq 0}$

${\displaystyle y_{k}({\bf {t}}):=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\alpha _{k}^{i}}+\gamma _{k}e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\beta _{k}^{i}}\quad k=1,\dots ,N,}$

ロンスキー行列式が得られる。

${\displaystyle \tau _{{\vec {\alpha }},{\vec {\beta }},{\vec {\gamma }}}^{(N)}({\bf {t}}):={\begin{vmatrix}y_{1}({\bf {t}})&y_{2}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}({\bf {t}})\\y_{1}'({\bf {t}})&y_{2}'({\bf {t}})&\cdots &y_{N}'({\bf {t}})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(N-1)}({\bf {t}})&y_{2}^{(N-1)}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}^{(N-1)}({\bf {t}})\\\end{vmatrix}},}$

これは一般的な-ソリトン-関数を与える。^{[3] [4] [19]}${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \tau }$

を種数 のコンパクトなリーマン面とし、交点数 の標準ホモロジー基底を固定する。${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}}$${\displaystyle H_{1}(X,\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle a_{i}\circ a_{j}=b_{i}\circ b_{j}=0,\quad a_{i}\circ b_{j}=\delta _{ij},\quad 1\leq i,j\leq g.}$

を標準正規化条件を満たす 正則微分空間の基底とする${\displaystyle \{\omega _{i}\}_{i=1,\dots ,g}}$${\displaystyle H^{1}(X)}$

${\displaystyle \oint _{a_{i}}\omega _{j}=\delta _{ij},\quad \oint _{b_{j}}\omega _{j}=B_{ij},}$

ここで、はリーマン周期行列である。この行列はジーゲル上半空間に属する。${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \mathbf {S} _{g}=\left\{B\in \mathrm {Mat} _{g\times g}(\mathbf {C} )\ \colon \ B^{T}=B,\ {\text{Im}}(B){\text{ is positive definite}}\right\}.}$

周期行列に対応するリーマン関数は次のように定義される 。${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {C} ^{g}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \theta (Z|B):=\sum _{N\in \mathbb {Z} ^{g}}e^{i\pi (N,BN)+2i\pi (N,Z)}.}$

の近傍にある点、および次数の正の約数 を持つ局所パラメータを選択する。${\displaystyle p_{\infty }\in X}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle p_{\infty }}$${\displaystyle \zeta (p_{\infty })=0}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}:=\sum _{i=1}^{g}p_{i},\quad p_{i}\in X.}$

任意の正の整数に対して、が以下の条件で特徴付けられる唯一の第二種 有理型微分であるとします。${\displaystyle k\in \mathbf {N} ^{+}}$${\displaystyle \Omega _{k}}$

• の唯一の特異点は、剰余が消えるにおける秩序の極です。${\displaystyle \Omega _{k}}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle p=p_{\infty }}$
• 周りの拡大は ${\displaystyle \Omega _{k}}$${\displaystyle p=p_{\infty }}$

  ${\displaystyle \Omega _{k}=d(\zeta ^{-k})+\sum _{j=1}^{\infty }Q_{ij}\zeta ^{j}d\zeta }$。

• ${\displaystyle \Omega _{k}}$は、消失サイクルを持つように正規化されます。 ${\displaystyle a}$

  ${\displaystyle \oint _{a_{i}}\Omega _{j}=0.}$

の -サイクルのベクトルで表します。 ${\displaystyle \mathbf {U} _{k}\in \mathbf {C} ^{g}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \Omega _{k}}$

${\displaystyle (\mathbf {U} _{k})_{j}:=\oint _{b_{j}}\Omega _{k}.}$

アーベル写像の 下の像を表す${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}:{\mathcal {S}}^{g}(X)\to \mathbf {C} ^{g}}$

${\displaystyle \mathbf {E} :={\mathcal {A}}({\mathcal {D}})\in \mathbf {C} ^{g},\quad \mathbf {E} _{j}={\mathcal {A}}_{j}({\mathcal {D}}):=\sum _{j=1}^{g}\int _{p_{0}}^{p_{i}}\omega _{j}}$

任意の基点を持つ。 ${\displaystyle p_{0}}$

すると、次の式はKP関数である: ^[20]${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau _{(X,{\mathcal {D}},p_{\infty },\zeta )}(\mathbf {t} ):=e^{-{1 \over 2}\sum _{ij}Q_{ij}t_{i}t_{j}}\theta \left(\mathbf {E} +\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}\mathbf {U} _{k}{\Big |}B\right)}$。

を複素エルミート行列の次元空間上のルベーグ測度とする。を共役不変積分密度関数とする。 ${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$${\displaystyle N^{2}}$${\displaystyle {\mathbf {H} }^{N\times N}}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle \rho (M)}$

${\displaystyle \rho (UMU^{\dagger })=\rho (M),\quad U\in U(N).}$

変形尺度群を定義する

${\displaystyle d\mu _{N,\rho }(\mathbf {t} ):=e^{{\text{ Tr }}(\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}M^{i})}\rho (M)d\mu _{0}(M)}$

小さいと ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\cdots )}$

${\displaystyle \tau _{N,\rho }({\bf {t}}):=\int _{{\mathbf {H} }^{N\times N}}d\mu _{N,\rho }({\bf {t}}).}$

をこのランダム行列モデルの分割関数とする。^{[21] [5]} すると、双線型広田留数方程式( 1 )を満たすので、KP階層の -関数となる。^[22]${\displaystyle \tau _{N,\rho }(\mathbf {t} )}$${\displaystyle \tau }$

を（二重）無限複素数列とする。任意の整数分割に対して、内容積係数 を定義する。${\displaystyle \{r_{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }}$${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})}$

${\displaystyle r_{\lambda }:=\prod _{(i,j)\in \lambda }r_{j-i}}$、

ここで、積は、ヤング図のボックスに対応する正の整数のすべてのペアにわたっており、対応する行列の行列要素の位置として見ることができます 。次に、無限列と複素変数のすべてのペアについて、 補助変数の無限列の （正規化された）べき乗和として見ることができます。${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \ell (\lambda )\times \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$${\displaystyle \mathbf {s} =(s_{1},s_{2},\dots )}$${\displaystyle \mathbf {t} =[\mathbf {x} ],\ \mathbf {s} =[\mathbf {y} ]}$

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots )}$そして、${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\dots )}$

定義:

${\displaystyle t_{j}:={\tfrac {1}{j}}\sum _{a=1}^{\infty }x_{a}^{j},\quad s_{j}:={\tfrac {1}{j}}\sum _{j=1}^{\infty }y_{a}^{j}}$、

機能

は、変数と変数の両方において二重KP関数であり、超幾何型関数として知られている。^[23]${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle \tau }$

特に、

${\displaystyle r_{j}=r_{j}^{\beta }:=e^{j\beta }}$

ある小さなパラメータに対して、対応するコンテンツ積係数を と表し 、設定すると ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle r_{\lambda }^{\beta }}$

${\displaystyle \mathbf {s} =(1,0,\dots )=:\mathbf {t} _{0}}$、

結果として得られる関数は、次のように展開できる。 ${\displaystyle \tau }$

ここで、は単純フルヴィッツ数であり、これは 、分割の部分に等しいサイクル長を持つ対称群の要素を、 -サイクル の積として因数分解できる方法の数の倍数で ある。${\displaystyle \{H_{d}(\lambda )\}}$${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}$${\displaystyle k_{\lambda }\in {\mathcal {S}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$${\displaystyle n=|\lambda |}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle k_{\lambda }=(a_{1}b_{1})\dots (a_{d}b_{d})}$、

そして

${\displaystyle p_{\lambda }(\mathbf {t} )=\prod _{i=1}^{\ell (\lambda )}p_{\lambda _{i}}(\mathbf {t} ),\ {\text{with}}\ p_{i}(\mathbf {t} ):=\sum _{a=1}^{\infty }x_{a}^{i}=it_{i}}$

はべき乗和対称関数である。したがって、式（１２ ）は、コンテンツ積係数に対応する （形式的な）KP超幾何関数（１１ ）が、組み合わせ論的な意味で、単純なフルヴィッツ数に対する生成関数であることを示している。^{[8] [9] [10]}${\displaystyle \tau }$${\displaystyle r_{\lambda }^{\beta }}$

• ディッキー、LA（2003）、ソリトン方程式とハミルトン系、数理物理学の高度シリーズ、第26巻、ワールドサイエンティフィック出版株式会社、リバーエッジ、ニュージャージー、第2版、doi：10.1142/5108、ISBN 9789810202156
• Harnad, J. ; Balogh, F. (2021)、「タウ関数とその応用」、ケンブリッジ数理物理学モノグラフ、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、英国、doi :10.1017/9781108610902、ISBN 9781108610902、S2CID  222379146
• 広田 亮 (2004)、永井 篤、ニモ ジョン、ギルソン クレア (編)、「ソリトン理論における直接法」、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、英国、ケンブリッジ数学論文集、155、doi :10.1017/CBO9780511543043、ISBN 9780511543043
• 神保 正之、三輪 剛志(1999)、『ソリトン：微分方程式、対称性、無限次元代数』、ケンブリッジ数学論集、第135巻、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、英国、ISBN 9780521561617
• 児玉 勇 (2017)、KP ソリトンとグラスマン多様体: 2次元波パターンの組合せ論と幾何学、Springer Briefs in Mathematical Physics、vol. 22、Bibcode :2017ksgc.book.....K、doi :10.1007/978-981-10-4094-8、ISBN 978-981-10-4094-8