ベーテ仮説

物理学において、ベーテ仮説は、特定の量子多体系モデル、最も一般的には1次元格子モデルの正確な波動関数を求める仮説である。1931年にハンス・ベーテが1次元反強磁性等方性（XXX）ハイゼンベルクモデルの正確な固有値と固有ベクトルを求めるために初めて使用した。^[1]

それ以来、この方法は他のスピン鎖や統計格子モデルにも拡張されてきました。

「ベーテ仮説問題」はリチャード・ファインマンが亡くなった当時、彼の黒板の「学ぶべきこと」の欄に書かれていたテーマの一つであった。 ^[2]

多体量子力学の枠組みでは、ベーテ仮説で解けるモデルは自由フェルミオンモデルと対比できます。自由モデルのダイナミクスは 1 体還元可能であると言えます。フェルミオン (ボソン) の多体波動関数は、1 体波動関数の反対称化 (対称化) 積です。ベーテ仮説で解けるモデルは自由ではありません。2 体セクターには非自明な散乱行列があり、これは一般に運動量に依存します。

一方、ベーテ仮説で解けるモデルのダイナミクスは 2 体縮約可能です。つまり、多体散乱行列は 2 体散乱行列の積です。多体衝突は 2 体衝突のシーケンスとして発生し、多体波動関数は 2 体波動関数の要素のみを含む形式で表すことができます。多体散乱行列は、ペアワイズ散乱行列の積に等しくなります。

多体波動関数の（座標）ベーテ仮説の一般的な形式は

${\displaystyle \Psi _{M}(j_{1},\cdots ,j_{M})=\prod _{M\geq a>b\geq 1}{\text{sgn}}(j_{a}-j_{b})\sum _{P\in {\mathfrak {S}}_{M}}(-1)^{[P]}\exp \left(i\sum _{a=1}^{M}k_{P_{a}}j_{a}+{\frac {i}{2}}\sum _{M\geq a>b\geq 1}\mathrm {sgn} (j_{a}-j_{b})\phi (k_{P_{a}},k_{P_{b}})\right)}$

ここで、 は粒子の数、粒子の位置、は整数 のすべての順列の集合、は正または負の 1 のいずれかの値を取る順列の偶奇、は 番目の粒子の (準) 運動量、は散乱位相シフト関数、 は符号関数です。 この形式は普遍的であり (少なくともネストされていないシステムでは)、運動量関数と散乱関数はモデルに依存します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle j_{a},a=1,\cdots M}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{M}}$${\displaystyle 1,\cdots ,M}$${\displaystyle (-1)^{[P]}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle k_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \mathrm {sgn} }$

ヤン・バクスター方程式は構成の一貫性を保証します。パウリの排他原理は、相互作用するボソンのモデルであっても、ベーテ仮説で解けるモデルに対して有効です。

基底状態はフェルミ球である。周期境界条件はベーテ仮説方程式または単にベーテ方程式につながる。対数形式では、ベーテ仮説方程式はヤン作用によって生成できる。ベーテ波動関数のノルムの2乗は、ヤン作用のヘッセ行列式の行列式に等しい。^[3]

実質的な一般化は量子逆散乱法、または代数ベーテ仮説であり、これは基礎となる作用素代数の仮説を与え、「広範囲の非線形発展方程式を解くことを可能にした」^{[4] 。}

いわゆるsdモデル (PB Wiegmann ^[5]が1980 年に、また独立して N. Andrei ^[6]が1980 年に) およびアンダーソン モデル (PB Wiegmann ^[7]が1981 年に、N. Kawakami および A. Okiji ^[8]が 1981 年に) の厳密な解も、どちらも Bethe 仮説に基づいています。これら 2 つのモデルには、厳密な解を適用できるマルチチャネル一般化も存在します (N. Andrei および C. Destri ^[9]および CJ Bolech および N. Andrei ^[10]による)。最近、Bethe 仮説で解けるいくつかのモデルが固体および光格子で実験的に実現されました。これらの実験の理論的記述で重要な役割を果たしたのは、Jean-Sébastien Caux およびAlexei Tsvelikです。^[要出典]

ベーテ仮説と呼ばれる同様の方法は数多くある。

• 代数的ベーテ仮説^[11]量子逆散乱法は代数的ベーテ仮説による解法であり、両者は実質的に同義である。
• 分析的ベーテ仮説
• コーディネート ベーテ アンザッツ (ハンス ベーテ 1931)
• 機能的ベーテアンザッツ^{[12] [13]}
• ネストされたベーテ仮説
• 熱力学ベーテ分析 (CN Yang & CP Yang 1969)

ハイゼンベルク反強磁性鎖はハミルトニアンによって定義される（周期境界条件を仮定）

${\displaystyle H=J\sum _{j=1}^{N}\mathbf {S} _{j}\cdot \mathbf {S} _{j+1},\qquad \mathbf {S} _{ j+N}\equiv \mathbf {S} _{j}.}$

このモデルは、（座標）ベーテ仮説を用いて解くことができる。散乱位相シフト関数は であり、ここで運動量はラピディティに関して として都合よく再パラメータ化されている。 （ここでは周期的）境界条件は、ベーテ方程式を課す。${\displaystyle \phi (k_{a}(\lambda _{a}),k_{b}(\lambda _{b}))=\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})}$${\displaystyle \theta _{n}(\lambda )\equiv 2\arctan {\frac {2\lambda }{n}}}$${\displaystyle k(\lambda )=\pi -2\arctan 2\lambda }$ ${\displaystyle \lambda .}$

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda _{a}+i/2}{\lambda _{a}-i/2}}\right]^{N}=\prod _{b\neq a}^{M}{\frac {\lambda _{a}-\lambda _{b}+i}{\lambda _{a}-\lambda _{b}-i}},\qquad a=1,...,M}$

または対数形式でより便利に

${\displaystyle \theta _{1}(\lambda _{a})-{\frac {1}{N}}\sum _{b=1}^{M}\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})=2\pi {\frac {I_{a}}{N}}}$

ここで、量子数は偶数の場合は異なる半奇数整数、奇数の場合は整数（mod が定義されている）です。 ${\displaystyle I_{j}}$${\displaystyle NM}$${\displaystyle NM}$${\displaystyle I_{j}}$${\displaystyle (N)}$

以下のシステムはベーテ仮説を使って解くことができる。

• アンダーソン不純物モデル
• ゴーダンモデル
• 任意のスピンに対するXXXおよびXXZハイゼンベルクスピン鎖${\displaystyle s}$
• ハバードモデル
• 近藤モデル
• リープ・リニガーモデル
• 6頂点モデルと8頂点モデル（ハイゼンベルクスピン鎖経由）

• 1928年:ヴェルナー・ハイゼンベルクがモデルを発表。^[14]
• 1930年:フェリックス・ブロッホは、ハイゼンベルク鎖のシュレーディンガー方程式の解の数を誤って数えた単純化された仮説を提唱した。^[15]
• 1931年:ハンス・ベーテが正しい仮説を提唱し、それが正しい数の固有関数を生み出すことを注意深く示した。^[1]
• 1938年：ラメック・フルテン [de]がハイゼンベルク模型の正確な基底状態エネルギーを得る。^[16]
• 1958年:レイモンド・リー・オーバックがベーテ仮説を用いて異方性相互作用を持つハイゼンベルク模型を解いた。^[17]
• 1962年：J.デクロワゾとJJピアソンはハイゼンベルクの反強磁性体の正しいスペクトル（スピノン分散関係）を取得し、^[18]それがアンダーソンのスピン波理論の予測とは異なることを示した^[19]（定数因子が異なる）。
• 1963年:エリオット・H・リーブとヴェルナー・リニガーが1次元δ関数相互作用ボーズ気体の厳密解を提示^[20]（現在はリーブ・リニガーモデルとして知られている）。リーブはスペクトルを研究し、2つの基本的な励起タイプを定義した。^[21]
• 1964年:ロバート・B・グリフィスがハイゼンベルク模型の零温度における磁化曲線を得る。^[22]
• 1966年: CNヤンとCPヤンは、ハイゼンベルク鎖の基底状態がベーテ仮説によって与えられることを厳密に証明した。^{[23]彼らは[24]}と^[25]でその性質と応用を研究した。
• 1967年: CNヤンは、リープとリニガーのδ関数相互作用ボーズ気体の解を波動関数の任意の順列対称性に一般化し、ネストされたベーテ仮説を生み出した。^[26]
• 1968年:エリオット・H・リーブとF・Y・ウーが1次元ハバード模型を解いた。^[27]
• 1969年：CNヤンとCPヤンがリープ・リニガーモデルの熱力学を確立し、^[28]熱力学的ベーテ仮説（TBA）の基礎を築いた。

• ベーテ計画の紹介