グラスマンバンドル

代数幾何学において、代数スキームX上のベクトル束Eのグラスマンd平面束は、 X上のスキームである。

${\displaystyle p:G_{d}(E)\to X}$

ファイバーがのd次元ベクトル部分空間のグラスマン多様体となるようなもの。たとえば、はEの射影バンドルです。逆に、グラスマンバンドルは (部分)旗バンドルの特殊なケースです。具体的には、グラスマンバンドルはQuot スキームとして構築できます。 ${\displaystyle p^{-1}(x)=G_{d}(E_{x})}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle G_{1}(E)=\mathbb {P} (E)}$

通常のグラスマン多様体と同様に、グラスマンバンドルには自然なベクトルバンドルが付随する。つまり、普遍的またはトートロジー的なサブバンドル Sと普遍的な商バンドルQがあり、これらは

${\displaystyle 0\to S\to p^{*}E\to Q\to 0}$。

具体的には、V がファイバーp ⁻¹ ( x ) 内にある場合、 V上のSのファイバーはV自体です。したがって、 S は階数r = d = dim( V ) を持ち、行列式直線束です。ここで、射影束の普遍性により、この射影はX上の射影に対応します。 ${\displaystyle \wedge^{d}S}$${\displaystyle \wedge^{r}S\to p^{*}(\wedge^{r}E)}$

${\displaystyle G_{d}(E)\to \mathbb {P} (\wedge ^{r}E)}$、

これはPlücker埋め込みの族に他なりません。

G _d ( E )の相対接線束 T G _{d ( E ) / X}^は[1]で与えられる。

${\displaystyle T_{G_{d}(E)/X}=\operatorname {Hom} (S,Q)=S^{\vee }\otimes Q,}$

これは、道徳的には第2基本形式によって与えられます。d = 1の場合、次のように与えられます。Vが有限次元ベクトル空間である場合、原点 ( の点) を通過するV内の各直線に対して、自然な同一視が存在します (例として、 チャーン分類#複素射影空間を参照)。${\displaystyle l}$${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (l,V/l)=T_{l}\mathbb {P} (V)}$

そして、上記はこの同一視の家族版です。（一般的なケアはこれを一般化したものです。）

d = 1の場合、 S = O (-1) の双対でテンソル化された初期完全列は次のようになります。

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}\to p^{*}E\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1)\to T_{\mathbb {P} (E)/X}\to 0}$、

これはオイラー数列の相対バージョンです。

• アイゼンバッド、デイビッド、ジョー、ハリス（2016）、3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry、CUP、ISBN 978-1107602724
• Fulton, William (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 2 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-62046-4、MR  1644323