商空間（線形代数）

線型代数学では、ベクトル空間を部分空間で割った商は、ゼロに「収縮」することによって得られるベクトル空間です。得られた空間は商空間と呼ばれ、 （「mod 」または「by 」と読みます） と表記されます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V/N}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$

形式的には、構築は次のようになります。^{[1] を}体上のベクトル空間とし、をの部分空間とします。 の同値関係を、の場合と定義します。つまり、はと関連しているため、 の要素を追加することで一方を他方から得ることができます。この定義は、 の任意の要素がゼロベクトルと関連していることを意味します。より正確には、 内のすべてのベクトルがゼロベクトルの 同値類にマッピングされます。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \sim}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle xy\in N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

の同値類、あるいはこの場合は剰余類は次のように定義される。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle [x]:=\{x+n:n\in N\}}$

多くの場合、省略形 で表されます。 ${\displaystyle [x]=x+N}$

商空間は、つまり上の によって誘導される同値類全体の集合として定義される。スカラー乗算と加算は同値類上で次のように定義される^{[2] [3]}${\displaystyle V/N}$${\displaystyle V/_{\sim}}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle V}$

• ${\displaystyle \alpha [x]=[\alpha x]}$すべての に対して、そして${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$
• ${\displaystyle [x]+[y]=[x+y]}$。

これらの演算が明確に定義されていること（つまり、代表値の選択に依存しないこと）を確認するのは難しくありません。これらの演算は、商空間を、が零類である上のベクトル空間に変換します。 ${\displaystyle V/N}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle N}$${\displaystyle [0]}$

同値類に関連付けられたマッピングは商マップとして知られています。 ${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle [v]}$

言い換えると、商空間はに平行なすべてのアフィン部分集合の集合である。^[4]${\displaystyle V/N}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$

X = R ²を標準の直交平面とし、Y をX内の原点を通る直線とします。すると、商空間X / Y は、Yに平行なX内のすべての直線の空間と同一視できます。つまり、集合X / Yの要素は、 Yに平行なX内のすべての直線です。このような直線上の点は、その差ベクトルがYに属するため、同値関係を満たすことに注意してください。これにより、商空間を幾何学的に視覚化できます。(これらの直線を再パラメーター化することで、商空間は、Yに平行ではない原点を通る直線上のすべての点の空間として、より慣例的に表すことができます。同様に、原点を通る直線によるR ³の商空間は、すべての共平行直線の集合として再び表すことも、原点のみで直線と交差する平面からなるベクトル空間として表すこともできます。)

もう 1 つの例は、R ⁿを最初のm 個の 標準基底ベクトルが張る部分空間で割った商です。空間R ^{n は}、実数のn組すべて( x ₁、 ...、x _n )で構成されます。 R ^mと同一視される部分空間は、最後のn − m個の要素がゼロであるすべてのn組で構成されます( x ₁、 ...、x _m、 0、 0、 ...、 0) 。 R ⁿの 2 つのベクトルが部分空間を法として同じ同値類に属するのは、最後のn − m 個の座標でそれらが同一である場合のみです。商空間 R ⁿ / R ^{m は}、明らかに R ^{n − m}と 同型です。

を実数上のすべての 3 次多項式のベクトル空間とします。すると は商空間となり、各要素は 2 次項のみが異なる多項式に対応する集合となります。たとえば、商空間の 1 つの要素は ですが、商空間の別の要素は です。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )/\langle x^{2}\rangle }$${\displaystyle \{x^{3}+ax^{2}-2x+3:a\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \{ax^{2}+2.7x:a\in \mathbb {R} \}}$

より一般的には、 Vが部分空間UとWの（内部）直和である場合、

${\displaystyle V=U\oplus W}$

すると商空間V / Uは自然にWと同型となる。^[5]

関数商空間の重要な例はL ^p空間です。

Vから商空間V / Uへの自然なエピモーフィズムは、x をその同値類 [ x ] に写すことで得られる。このエピモーフィズムの核（または零空間）は部分空間Uである。この関係は、短い完全列によって簡潔にまとめられる。

${\displaystyle 0\to U\to V\to V/U\to 0.\,}$

U がVの部分空間である場合、V / Uの次元はVにおけるUの余次元と呼ばれる。Vの基底は、 Bの各要素の代表をAに追加することによって、 Uの基底AとV / Uの基底Bから構成できるため、 Vの次元はUとV / Uの次元の合計である。Vが有限次元である場合、 VにおけるUの余次元は、VとUの次元の差になる。^{[6] [7]}

${\displaystyle \mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).}$

T  : V → Wを線型作用素とする。Tの核ker( T ) は、 Tx = 0となるVのすべてのxの集合である。核はVの部分空間である。ベクトル空間の第一同型定理によれば、商空間V /ker( T ) はVのWの像に同型である。有限次元空間の直接の系は階数零定理である。すなわち、 Vの次元は、核の次元 ( Tの零) と像の次元 ( Tの階数) の合計に等しい。

線形作用素T  : V → Wのコカーネルは商空間W /im( T )として定義される。

Xがバナッハ空間でM がXの閉部分空間である場合、商X / M は再びバナッハ空間である。商空間は、前のセクションの構築によってすでにベクトル空間構造を備えている。X / M上のノルムを次のように 定義する。

${\displaystyle \|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|xm\|_{X}=\inf _{m\in M}\|x+m\|_{X}=\inf _{y\in [x]}\|y\|_{X}.}$

C [0,1]を区間[0,1]上の超ノルムを持つ連続実数値関数のバナッハ空間とします。f (0) = 0となるすべての関数f ∈ C [0,1]の部分空間をMとします。すると、ある関数gの同値類は0 における値によって決定され、商空間C [0,1]/ MはRと同型になります。

X がヒルベルト空間である場合、商空間X / M はMの直交補空間に同型です。

局所凸空間を閉部分空間で割った商も局所凸である。 ^[8] 実際、Xが局所凸で、 X上の位相が半ノルム族{ p _α  | α ∈  A }によって生成されると仮定する。ここでAはインデックス集合である。Mを閉部分空間とし、X / M上の半ノルムq _αを次のように 定義する。

${\displaystyle q_{\alpha}([x])=\inf _{v\in [x]}p_{\alpha}(v).}$

このとき、X / M は局所凸空間であり、その上の位相は商位相です。

さらに、Xが距離化可能であれば、 X / Mも距離化可能である。Xがフレシェ空間であれば、X / Mも距離化可能である。^[9]

• 商群
• 商モジュール
• 商集合
• 商空間（位相）

• アクラー、シェルドン(2015)。線形代数を正しく行う。学部生向け数学テキスト(第 3 版)。シュプリンガー。ISBN 978-3-319-11079-0。
• ジャン・デュドネ(1976)、分析に関する論文、vol. 2、アカデミックプレス、ISBN 978-0122155024
• ハルモス、ポール・リチャード（1974）[1958]。有限次元ベクトル空間。数学学部テキスト（第2版）。シュプリンガー。ISBN 0-387-90093-4。
• Katznelson, イツハク;カッツネルソン、ヨナタン R. (2008)。線形代数の (簡潔な) 入門。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-8218-4419-9。
• ローマン、スティーブン（2005）。上級線形代数。数学大学院テキスト（第2版）。シュプリンガー。ISBN 0-387-24766-1。