アフィングラスマン多様体

数学において、体k上の代数群Gのアフィングラスマン多様体は、ループ群G ( k (( t ))) の旗多様体として考えることができるind-スキーム(有限次元スキームの余極限)であり、幾何学的佐竹対応として知られるものを通じてラングランズ双対群^L Gの表現論を記述します。

k を体とし、可換 k 代数の圏と集合の圏をそれぞれ と で表すものとする。米田の補題 により、体k 上のスキームXはその点の関数によって決定され、その関数はAをXのA点の集合X ( A )に導く関数である。このとき、この関数はスキームXによって表現可能であるという。アフィン グラスマン多様体は、k代数から集合への関数であり、それ自体は表現可能ではないが、表現可能な関数によるフィルタリングを持つ。そのため、これはスキームではないが、スキームの和集合として考えることができ、これは幾何学的手法を効果的に適用して研究するのに十分である。 ${\displaystyle k{\text{-Alg}}}$${\displaystyle \mathrm {セット} }$${\displaystyle X:k{\text{-Alg}}\to \mathrm {Set} }$

G をk上の代数群とする。アフィングラスマン多様体Gr _Gは、 k代数Aに( E , φ )の同型類の集合を関連付ける関手である。ここでEはSpec A [[ t ]]上のGの主同型空間であり、 φ はSpec A (( t ) ) 上で定義された、Eと自明なGバンドルG × Spec A (( t ) ) との同型である。ボーヴィル・ラズロの定理により、 k上の代数曲線X、X上のk点xを固定し、E をX _A上のGバンドル、φを( X  −  x ) _A上の自明化とすることで、このデータを指定することもできます。G が簡約群である場合、 Gr _Gは実際には ind 射影的、すなわち射影スキームの帰納的極限です。

k上の形式ローラン級数の体を で表し、k上の形式冪級数の環を で表す。全体にわたってEの自明化を選択すると、 Gr _Gのk点の集合は剰余類空間 と同一視される。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}=k((t))}$${\displaystyle {\mathcal {O}}=k[[t]]}$${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}}$${\displaystyle G({\mathcal {K}})/G({\mathcal {O}})}$

• アレクサンダー・シュミット (2010 年 8 月 11 日)。アフィン旗多様体と主バンドル。Springer。pp. 3–6。ISBN 978-3-0346-0287-7. 2012年11月1日閲覧。