アレクサンダー・ヴァルチェンコ

アレクサンダー・ヴァルチェンコ
生まれる	(1949-02-06) 1949年2月6日（75歳） ロシア
母校	モスクワ国立大学 (1971)
知られている	ヴァルチェンコの定理
科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	ノースカロライナ大学チャペルヒル校
博士課程の指導教員	ウラジミール・アーノルド

アレクサンダー・ニコラエヴィチ・ヴァルチェンコ(ロシア語: Александр Николаевич Варченко、1949 年 2 月 6 日生まれ) は、幾何学、トポロジー、組合せ論、および数理物理学を研究するソビエトおよびロシアの数学者です。

1964年から1966年までヴァルチェンコはモスクワ第18コルモゴロフ寄宿学校で優秀な高校生のために学び、そこではアンドレイ・コルモゴロフとヤ・A・スモロジンスキーが数学と物理学を講義していた。ヴァルチェンコは1971年にモスクワ国立大学を卒業した。彼はウラジミール・アルノルドの学生であった。^[1]ヴァルチェンコは1976年に博士号を取得しました。 1974年に博士論文「代数的集合と写像の族の位相的等特異点に関する定理」 、1982年に理学博士論文「積分の漸近解析と関数の臨界点の代数幾何不変量」を受賞。1974年から1984年までモスクワ国立大学の研究員、1985年から1990年までグブキンガス石油研究所の教授、1991年からはノースカロライナ大学チャペルヒル校のアーネスト・エリエル教授を務めている。

1969年にヴァルチェンコは、奇数変数関数の型の 臨界点のモノドロミー群を、型の単純リー代数のワイル群である対称群と同一視した。^[2]${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle S_{n+1}}$${\displaystyle A_{n}}$

1971年、ヴァルチェンコは、既約基底を持つ複素準射影代数集合の族が、基底のザリスキ開部分集合上の位相的に局所的に自明な束を形成することを証明した。^[3]オスカー・ザリスキによって予想されたこの主張は、 1937年に発表された複素代数超曲面の補集合の基本群に関するザリスキの定理^[4]の証明のギャップを埋めるものでした。1973年、ヴァルチェンコは、ジェネリックな滑らかな写像の芽は多項式写像の芽と位相的に同値であり、有限次元の多項式位相的バーサル変形を持ち、一方、非ジェネリック写像はすべての芽の空間で無限余次元の部分集合を形成するというルネ・トムの予想を証明しました。^[5]

ヴァルチェンコは特異点理論におけるニュートン多角形理論の創始者の一人であり、特に、関数の臨界点に関連する振動積分の漸近挙動とニュートン多角形を関連付ける公式を与えた。この公式を使用して、ヴァルチェンコは、コースティック上の一点における光の明るさは、隣接する点の明るさよりも小さくないというVIアーノルドの半連続性予想に対する反例を構築した。^[6]

ヴァルチェンコは、臨界点の変形に対する臨界点のスペクトルの半連続性に関する予想を定式化し、準同次特異点の低重み変形に対してそれを証明した。ヴァルチェンコは、半連続性を用いて、与えられた次数と次元の射影超曲面の特異点の数を上記のように推定した。^[7]

Varchenko は、関数の臨界点で消滅するコホモロジー上の漸近混合ホッジ構造を、消失サイクル族上の正則微分形式の積分の漸近性を研究することによって導入した。このような積分は、関数の値であるパラメータに依存する。積分には 2 つの特性がある。パラメータが臨界値に向かうときにどれだけ速くゼロに向かうか、およびパラメータが臨界値付近を回ったときに積分がどのように変化するかである。最初の特性は漸近混合ホッジ構造のホッジ濾過を定義するために使用され、2 番目の特性は重み濾過を定義するために使用された。^[8]

16 次ヒルベルト問題の 2 番目の部分は、与えられた次数の多項式ベクトル場におけるリミット サイクルの数に上限が存在するかどうかを決定することです。VI アーノルドによって定式化された無限小 16 次ヒルベルト問題は、微分形式の係数の次数とハミルトニアンの次数に関して、多項式ハミルトニアンの等高線族上の多項式微分形式の積分の零点の数に上限が存在するかどうかを決定することです。ヴァルチェンコは無限小 16 次ヒルベルト問題における上限の存在を証明しました。^[9]

Vadim Schechtman と Varchenko は^{[10]で、適切な}Gauss-Manin 接続を持つKnizhnik –Zamolodchikov 方程式(または KZ 方程式)を識別し、KZ 方程式の多次元超幾何解を構築しました。その構築では、解は適切なホモロジー群の要素によってラベル付けされました。次に、ホモロジー群は適切な量子群の表現のテンソル積の多重度空間と同一視され、KZ 方程式のモノドロミー表現は関連する R 行列表現と同一視されました。この構築により、KZ 方程式のモノドロミーに関する Kohno-Drinfeld 定理^{[11] [12]の幾何学的証明が与えられました。同様の図が、Giovanni Felder および Vitaly Tarasov との共同研究で}量子 KZ 方程式(または qKZ 型差分方程式)に対して開発されました。 ^{[13] [14]}多次元超幾何解に現れる重み関数は、後にアンドレイ・オクンコフの同変数え上げ幾何学における安定エンベロープと同一視された。^{[15] [16]}

90年代後半、フェルダー、パベル・エティンゴフ、ヴァルチェンコは動的量子群の理論を展開した。^{[17] [18]} KZ型方程式と互換性のある動的方程式は、G.フェルダー、Y.マルコフ、V.タラソフとの共同論文で導入された。^{[19] [20]}応用面では、動的方程式は部分旗多様体の余接束の量子微分方程式として現れる。^[21]

^[22]では、エフゲニー・ムキン、タラソフ、ヴァルチェンコが実代数幾何学におけるボリス・シャピロとマイケル・シャピロの予想を証明した。^{[23] 1変数の多項式の複素有限次元ベクトル空間のロンスキー}行列式が実根のみを持つ場合、そのベクトル空間は実係数の多項式の基底を持つ。

N次元平面のグラスマン多様体におけるシューベルト多様体の交差指数は、一般線型群の表現の適切なテンソル積における不変量空間の次元と一致することが古典的に知られている。 ^[24]で、Mukhin、Tarasov、Varchenko はこの事実を分類し、そのような不変量空間上の Gaudin モデルのベーテ代数は、対応するシューベルト多様体の交差上の関数の代数と同型であることを示した。応用として、彼らは、シューベルト多様体が相異なる実接触旗に関して定義される場合、多様体は横断的に交差し、交差点はすべて実であることを示した。この性質はシューベルト計算の現実性と呼ばれる。 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{N}}$

ヴァルチェンコは1974年にバンクーバーで開催された国際数学者会議（代数幾何学部門）と1990年に京都で開催された国際数学者会議（全体会議）に招待講演者として参加した。 ^[25] 1973年にモスクワ数学協会賞を受賞した。

彼は「特異点理論、実代数幾何学、量子可積分系理論への貢献」により、 2023年度アメリカ数学会フェローに選出された。 ^[26]

彼はシモンズフェローである。^[27]

• Arnold, VI; Guseĭn-Zade, SM; Varchenko, AN 微分可能写像の特異点。第 1 巻。臨界点、コースティック、波面の分類。数学モノグラフ、82。Birkhäuser Boston、Inc.、ボストン、マサチューセッツ州、1985 年。xi+382 ページ。ISBN 0-8176-3187-9 
• Arnold, VI; Guseĭn-Zade, SM; Varchenko, AN 微分可能写像の特異点。第2巻。積分のモノドロミーと漸近性。数学モノグラフ、83。Birkhäuser Boston, Inc.、ボストン、マサチューセッツ州、1988年。viii+492 pp. ISBN 0-8176-3185-2 
• エティンゴフ、P.; ヴァルチェンコ、A. 丸い滴の境界が 4 次曲線になる理由 (大学講義シリーズ)、AMS 1992、ISBN 0821870025 
• Varchenko, A. 多次元超幾何関数とリー代数および量子群の表現理論。Advanced Series in Mathematical Physics、21。World Scientific Publishing Co., Inc.、River Edge、NJ、1995。x+371 pp. ISBN 981-02-1880-X 
• Varchenko, A. 特殊関数、KZ 型方程式、および表現理論。CBMS 数学地域会議シリーズ、98。ワシントン DC の Conference Board of the Mathematical Sciences 向けに出版。アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、2003 年。viii+118 ページ。ISBN 0-8218-2867-3 

• 数学系譜プロジェクトのアレクサンダー・ヴァルチェンコ
• ノースカロライナ大学のウェブサイトにあるヴァルチェンコのホームページ