プリュッカー座標

3次元射影空間において${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$⁠、 L を同次座標( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ )および( y ₀ : y ₁ : y ₂ : y ₃ )を持つ異なる点xとyを通る直線と。      

プリュッカー座標p _ijは次のように定義されます。

${\displaystyle p_{ij}={\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{vmatrix}}=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}.}$

（要素がp _ijである歪対称行列は、プリュッカー行列とも呼ばれる。） これはp _ii = 0およびp _ij = − p _jiを意味し、可能性は 6 つ (4 個から 2 個を選択) 個の独立した量にのみ減少する。

${\displaystyle (p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12})}$

は、共通の非ゼロのスケールファクターを除いて、 Lによって一意に決定されます。さらに、6つの成分すべてがゼロになることはありません。したがって、コロン表記が示唆するように、 Lのプリュッカー座標は、5次元射影空間内の点の同次座標とみなすことができます。

これらの事実を確認するために、Mを点の座標を列とする4×2行列とします。

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}}}$

プリュッカー座標p _ijは、 Mのi行目とj 行目の行列式です。x と y は異なる点であるため、Mの列は線形独立です。Mのランクは2です。M ′を、列x ′、y ′がL上の異なる点の別のペアである 2 番目の行列とします。すると、 M ′の列はMの列の線形結合になります。したがって、ある 2×2 の非特異行列Λに対して、

${\displaystyle M'=M\Lambda .}$

特に、M ′とMのi行目とj行目は次のように関連付けられています。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'_{i}&y'_{i}\\x'_{j}&y'_{j}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{00}&\lambda _{01}\\\lambda _{10}&\lambda _{11}\end{bmatrix}}.}$

したがって、左側の 2×2 行列の行列式は、右側の 2×2 行列の行列式の積に等しくなります。右側の行列の行列式は固定スカラーdet Λです。さらに、 Mのランクは 2 であるため、Mの 6 つの 2×2 サブ行列式はすべてゼロになることはありません。

すべての線（ ⁠の線像）の集合を表す。${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$⁠ ) で⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$⁠ G _1,3により。したがって、次の地図が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \colon \mathrm {G} _{1,3}&\rightarrow \mathbb {P} ^{5}\\L&\mapsto L^{\alpha },\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle L^{\alpha }=(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12}).}$

あるいは、直線は2つの平面の交点として記述することもできます。直線Lを^、それぞれ同次係数( a0 ^: a1 : ^a2 : ^a3 )と( b0 ^: b1 : b2 : b3 )を 持つ異なる平面aとb^{に含まれる直線}とします。(最初の平面の方程式は      ${\textstyle \sum _{k}a^{k}x_{k}=0,}$例えば、）双対プリュッカー座標p ^ijは

${\displaystyle p^{ij}={\begin{vmatrix}a^{i}&a^{j}\\b^{i}&b^{j}\end{vmatrix}}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}.}$

双対座標は一部の計算において便利であり、主座標と同等である。

${\displaystyle (p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12})=(p^{23}:p^{31}:p^{12}:p^{01}:p^{02}:p^{03})}$

ここで、同次座標における2つのベクトルの等価性とは、右側の数値が、ある共通のスケーリング係数λを除いて左側の数値と等しいことを意味します。具体的には、( i , j , k , ℓ )を(0, 1, 2, 3)の偶数順列とします。すると、

${\displaystyle p_{ij}=\lambda p^{k\ell }.}$

幾何学的な直観に戻ると、x ₀ = 0を無限遠の平面とみなすと、無限遠にない点の座標はx ₀ = 1となるように正規化できる。するとMは次のようになる。

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}},}$

設定${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$そして${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},y_{3})}$、 我々は持っています${\displaystyle d=(p_{01},p_{02},p_{03})}$そして${\displaystyle m=(p_{23},p_{31},p_{12})}$。

二重に、${\displaystyle d=(p^{23},p^{31},p^{12})}$そして${\displaystyle m=(p^{01},p^{02},p^{03}).}$

もしその点が${\displaystyle \mathbf {z} =(z_{0}:z_{1}:z_{2}:z_{3})}$L上にある場合、列は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{bmatrix}}}$

これらは線形従属であるため、このより大きな行列のランクは依然として 2 です。これは、すべての 3×3 サブ行列の行列式がゼロであることを意味し、次のような 4 つ (4 個から 3 つを選択) の平面方程式が生成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}z_{0}-{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}z_{1}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}z_{2}\\[5pt]&=p_{12}z_{0}-p_{02}z_{1}+p_{01}z_{2}.\\[5pt]&=p^{03}z_{0}+p^{13}z_{1}+p^{23}z_{2}.\end{aligned}}}$

得られた4つの可能な平面は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{}+p_{12}z_{0}&{}-p_{02}z_{1}&{}+p_{01}z_{2}&\\0&=&{}-p_{31}z_{0}&{}-p_{03}z_{1}&&{}+p_{01}z_{3}\\0&=&{}+p_{23}z_{0}&&{}-p_{03}z_{2}&{}+p_{02}z_{3}\\0&=&&{}+p_{23}z_{1}&{}+p_{31}z_{2}&{}+p_{12}z_{3}\end{matrix}}}$

双対座標を使用し、( a ⁰  : a ¹  : a ²  : a ³ )を線係数とすると、それぞれは単純にa ⁱ = p ^ijとなります。

${\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{3}p^{ij}z_{i},\qquad j=0,\ldots ,3.}$

各プリュッカー座標は4つの方程式のうち2つに現れ、毎回異なる変数を乗じます。また、少なくとも1つの座標がゼロでないため、Lで交差する2つの異なる平面に対して空でない方程式が得られることが保証されます。したがって、直線のプリュッカー座標はその直線を一意に決定し、写像αは単射です。

αの像は⁠の点の完全な集合ではない${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$直線Lのプリュッカー座標は二次プリュッカー関係式を満たす。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=p_{01}p^{01}+p_{02}p^{02}+p_{03}p^{03}\\&=p_{01}p_{23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}.\end{aligned}}}$

証明のために、この同次多項式を行列式で表し、ラプラス展開（逆方向）を使用します。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=(x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}){\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-(x_{0}y_{2}-y_{0}x_{2}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+(x_{0}y_{3}-y_{0}x_{3}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=x_{0}\left(y_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+y_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)-y_{0}\left(x_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-x_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+x_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)\\[5pt]&=x_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}&x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

どちらの3×3行列式にも重複する列があるため、右辺はすべてゼロになります。

別の証明は次のように行うことができます。ベクトル

${\displaystyle d=\left(p_{01},p_{02},p_{03}\right)}$

ベクトルに垂直です

${\displaystyle m=\left(p_{23},p_{31},p_{12}\right)}$

（上記参照） dとmのスカラー積はゼロでなければならない。証明終わり

点の座標を( x ₀  : x ₁  : x ₂  : x ₃ )とすると、直線上には 4 つの可能な点があり、それぞれの座標はx _i = p _ij ( j = 0, 1, 2, 3)となります。これらの可能な点の中には、すべての座標がゼロであるため不適格となるものもありますが、少なくとも 1 つのプリュッカー座標がゼロでないため、少なくとも 2 つの異なる点が存在することが保証されます。

もし${\displaystyle (q_{01}:q_{02}:q_{03}:q_{23}:q_{31}:q_{12})}$は、 の点の同次座標です。${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$一般性を失うことなく、q 01 がゼロでないと仮定します。すると_、行列は

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}q_{01}&0\\0&q_{01}\\-q_{12}&q_{02}\\q_{31}&q_{03}\end{bmatrix}}}$

ランクは 2 であり、したがってその列は直線 L を定義する異なる点である。${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$座標q _ijは二次プリュッカー関係を満たし、 Lのプリュッカー座標です。これを確認するには、まずq _{01 を}1 に正規化します。すると、 Mから計算されたプリュッカー座標p _ij = q _ijが、次の例外を除いて。

${\displaystyle p_{23}=-q_{03}q_{12}-q_{02}q_{31}.}$

しかし、 q _{ij が}プリュッカー関係を満たす場合

${\displaystyle q_{23}+q_{02}q_{31}+q_{03}q_{12}=0,}$

するとp ₂₃ = q ₂₃となり、恒等式の集合が完成する。

したがって、αは、二次多項式の零点の集合からなる代数多様体への全射である。

${\displaystyle p_{01}p_{23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}.}$

また、 αも単射であるため、 ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$⁠は、この二次曲面の点と全単射対応している。${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$プリュッカー二次曲面またはクライン二次曲面と呼ばれる。

2行${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$2つの直線はねじれ合または同一平面上にあり、後者の場合は一致するか、一点で交わります。p _ijとp ′ _ijが2つの直線のプリュッカー座標である場合、それらが同一平面上にあるのは、次の条件を満たす場合です。

${\displaystyle \mathbf {d} \cdot \mathbf {m} '+\mathbf {m} \cdot \mathbf {d} '=0,}$

示されているように

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=p_{01}p'_{23}+p_{02}p'_{31}+p_{03}p'_{12}+p_{23}p'_{01}+p_{31}p'_{02}+p_{12}p'_{03}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&x'_{0}&y'_{0}\\x_{1}&y_{1}&x'_{1}&y'_{1}\\x_{2}&y_{2}&x'_{2}&y'_{2}\\x_{3}&y_{3}&x'_{3}&y'_{3}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

線がねじれている場合、結果の符号は交差の方向を示します。右ねじがLをL ′に挿入する場合は正、そうでない場合は負になります。

二次プリュッカー関係は、本質的に直線がそれ自身と同一平面上にあることを述べている。

2つの直線が同一平面上にあるが平行でない場合、それらの共通平面の式は次のようになる。

${\displaystyle 0=(\mathbf {m} \cdot \mathbf {d} ')x_{0}+(\mathbf {d} \times \mathbf {d} ')\cdot \mathbf {x} ,}$

どこ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3}).}$

わずかな摂動でも共通平面の存在は失われ、線がほぼ平行であるため、たとえ共通平面が存在したとしても、数値的に見つけるのが困難になる。

同様に、原点を含まない同一平面上の2つの直線は共通点を持つ。

${\displaystyle (x_{0}:\mathbf {x} )=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {m} ':\mathbf {m} \times \mathbf {m} ').}$

この制約を満たさない行の処理方法については、参考文献を参照してください。

方程式が与えられた平面

${\displaystyle 0=a^{0}x_{0}+a^{1}x_{1}+a^{2}x_{2}+a^{3}x_{3},}$

あるいはもっと簡潔に言うと、

${\displaystyle 0=a^{0}x_{0}+\mathbf {a} \cdot \mathbf {x}$ ;}

そして、その線上にない直線がプリュッカー座標( d  : m )で与えられた場合、それらの交点は

${\displaystyle (x_{0}:\mathbf {x} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d}$ :\mathbf {a} \times \mathbf {m} -a_{0}\mathbf {d} ).}

点座標( x ₀  : x ₁  : x ₂  : x ₃ )は、プリュッカー座標で次のように表すこともできます。

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j\neq i}a^{j}p_{ij},\qquad i=0\ldots 3.}$

双対的に、点( y ₀  : y )とそれを含まない直線が与えられたとき、それらの共通平面の方程式は次のようになる。

${\displaystyle 0=(\mathbf {y} \cdot \mathbf {m} )x_{0}+(\mathbf {y} \times \mathbf {d} -y_{0}\mathbf {m} )\cdot \mathbf {x} .}$

平面座標( a ⁰  : a ¹  : a ²  : a ³ )は、双対プリュッカー座標を用いて次のように表すこともできます。

${\displaystyle a^{i}=\sum _{j\neq i}y_{j}p^{ij},\qquad i=0\ldots 3.}$

クライン二次曲面は${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$⁠ 、次元が 1 と 2 の線形部分空間を含みます (それ以上の次元はありません)。これらは、 ⁠の 1 パラメータおよび 2 パラメータの直線の族に対応します${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$⁠ .

例えば、L、L ′が⁠の異なる線であると仮定します。${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$それぞれ点x、yおよびx ′、y ′によって決定される。これらの決定点の線形結合は、それらのプリュッカー座標の線形結合を与え、 LとL ′を含む 1 パラメータの直線族を生成する。これは、クライン二次曲面に属する 1 次元線形部分空間に対応する。

19世紀には、線幾何学が精力的に研究された。上記の全単射の観点から言えば、これはクライン二次曲面の本質的な幾何学を記述したものである。