スフェリンダー

4 次元幾何学において、球面体、または球面円筒、球面角柱は、半径r ₁の3 次元球(または立体 2次元球)と長さ 2 r _2の線分の直積として定義される幾何学的オブジェクトです。

${\displaystyle D=\{(x,y,z,w)|x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r_{1}^{2},\ w^{2 }\leq r_{2}^{2}\}}$

二重円筒と同様に、これは3 次元空間の円筒にも類似しており、円板 と線分の直積です。

立体投影によって 3 次元空間に2 つの同心球として表示できます。これは、四角柱(立方体) を 2 つの同心立方体として投影したり、円筒を2 つの同心円として 2 次元空間に投影したりするのと同じです。

球面座標と追加の座標wで構成される「球面」座標系( r、θ、φ、w )を定義できます。これは、円筒座標の定義方法に似ています。rとφ は、仰角座標zを持つ極座標です。球面座標は、次の式を使用して直交座標に変換できます。ここで、rは半径、θは天頂角、φは方位角、wは高さです。直交座標は、次の式を使用して球面座標に変換できます。球面座標のハイパーボリューム要素はで、ヤコビアン を計算することで導出できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \sin \theta \\y&=r\sin \varphi \sin \theta \\z&=r\cos \theta \\w&=w\end{整列しました}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\varphi &=\arctan {\frac {y}{x}}\\\theta &=\operatorname {arccot} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\w&=w\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathrm {d} H=r^{2}\sin {\theta }\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\ mathrm {d} w,}$

半径rの球底と高さhの球体を持つ球体を考えると、球体の超体積は次のように表される。$${\displaystyle H={\frac {4}{3}}\pi r^{3}h}$$

球面の表面積は、円柱の表面積と同様に、次の 3 つの部分で構成されます。

• 上部ベースの体積:${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$
• 底部の体積:${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$
• 側面の3D表面の体積：これは球面の底面の表面積と高さの積である。${\textstyle 4\pi r^{2}h}$

したがって、総表面積は

$${\displaystyle SV={\frac {8}{3}}\pi r^{3}+4\pi r^{2}h}$$

上記の超体積と表面積の式は積分を使って証明できる。任意の4D領域の超体積は四重積分で与えられる。$${\displaystyle H=\iiiint \limits _{D}\mathrm {d} H}$$

球面体の超体積は球面座標上で積分できます。$${\displaystyle H_{\mathrm {spherinder} }=\iiiint \limits _{D}\mathrm {d} H=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\ int _{0}^{\pi }\int _{0}^{R}r^{2}\sin {\theta }\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} w={\frac {4}{3}}\pi R^{3}h}$$

球状多面体は、正多面体または半正多面体と線分の直積である均一な柱状多面体と関連しています。プラトン立体とアルキメデス立体に基づく凸型均一柱状体は 18 種類あります(四面体柱状体、切頂四面体柱状体、立方体柱状体、立方八面体柱状体、八面体柱状体、菱形立方八面体柱状体、切頂立方柱状体、切頂八面体柱状体、切頂立方八面体柱状体、スナブ立方柱状体、十二面体柱状体、二十十二面体柱状体、菱形二十十二面体柱状体、切頂二十面体柱状体、切頂二十十二面体柱状体、スナブ正十二面体プリズム) に加え、反プリズムに基づく無限族、および2 つの正多角形 の積である均一な二重プリズムの無限族があります。

• クリフォードトーラス

• 『第四次元の簡単な説明』、ヘンリー・P・マニング、マン＆カンパニー、1910年、ニューヨーク。バージニア大学図書館から入手可能。オンラインでも入手可能：『第四次元の簡単な説明』には、デュオプリズムとデュオシリンダー（二重シリンダー）の説明が含まれています。
• 余剰次元へのビジュアルガイド: 4 次元、高次元多面体、曲面超曲面の視覚化、クリス・マクマレン、2008 年、ISBN  978-1438298924