3D投影

3D 投影(またはグラフィカル投影) は、3 次元 (3D) オブジェクトを 2 次元 (2D) の表面に表示するために使用される設計手法です。これらの投影は、視覚的な遠近法とアスペクト分析を利用して、複雑なオブジェクト を投影し、より単純な平面上に表示できるようにします。

3D 投影では、オブジェクトの基本形状の主要な特性を使用してポイントのマップを作成し、それらを相互に接続して視覚要素を作成します。その結果、図またはイメージを実際には平面 (2D) ではなく、2D ディスプレイに表示される固体オブジェクト (3D) として解釈するための概念プロパティを含むグラフィックが作成されます。

3D オブジェクトは主に 2 次元の媒体 (紙やコンピュータ モニターなど) に表示されます。そのため、グラフィカル投影は、設計要素としてよく使用されます。特に、エンジニアリング図面、製図、コンピュータ グラフィックスでよく使用されます。投影は、数学的分析と数式、またはさまざまな幾何学的および光学的手法を使用して計算できます。

投影は、想像上の「プロジェクター」を使用して行われます。投影された心のイメージは、技術者が望む完成した絵のビジョンになります。^{[さらに説明が必要]}メソッドは、テクニカル グラフィックス (機械製図、コンピューター支援設計など) の訓練を受けた人々の間で統一されたイメージング手順を提供します。メソッドに従うことで、技術者は、画用紙などの平面上に思い描いた絵を作成できます。

グラフィカル投影には 2 つのカテゴリがあり、それぞれ独自の方法があります。

• 平行投影
• 透視投影

• 
  マルチビュー投影（標高）
• 
  等角投影
• 
  軍事的展望
• 
  内閣投影
• 
  一点透視図法
• 
  二点透視図法
• 
  三点透視図法

平行投影では、オブジェクトから投影面への視線は互いに平行です。したがって、3 次元空間で平行な線は、2 次元の投影画像でも平行のままです。平行投影は、無限の焦点距離(カメラのレンズから焦点までの距離)、つまり「ズーム」 による透視投影にも対応します。

平行投影で描かれた画像は、ポールケの定理で説明されているように、軸測図法（「軸に沿って測定する」）の技法に依存しています。一般に、結果として得られる画像は斜めになります（光線が画像平面に垂直ではありません）。ただし、特殊な場合には、結果は正投影になります（光線が画像平面に垂直です）。軸測図を軸測図法と混同しないでください。英語の文献では、後者は通常、特定の種類の図法のみを指します（以下を参照）。

正投影は、記述幾何学の原理から派生したもので、3 次元のオブジェクトを 2 次元で表現したものです。これは平行投影です (投影線は、現実世界と投影面の両方で平行です)。これは、作業図面に最適な投影タイプです。

表示平面の法線 (カメラの方向) が主軸の 1 つ ( x軸、y 軸、またはz軸) に平行である場合、数学的変換は次のようになります。 y 軸に平行な正投影 (ここで、正のy は前方方向 - プロファイル ビューを表します)を使用して3D ポイント、を2D ポイント に投影するには、次の式を使用できます。 ${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{z}}$${\displaystyle b_{x}}$${\displaystyle b_{y}}$

${\displaystyle b_{x}=s_{x}a_{x}+c_{x}}$

${\displaystyle b_{y}=s_{z}a_{z}+c_{z}}$

ここで、ベクトルsは任意のスケール係数、c は任意のオフセットです。これらの定数はオプションであり、ビューポートを適切に配置するために使用できます。行列乗算を使用すると、方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{x}&0&0\\0&0&s_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

正投影された画像は投影されたオブジェクトの 3 次元の性質を表現しますが、写真に記録されたオブジェクトや、直接観察する視聴者が認識したオブジェクトを表現するものではありません。特に、正投影された画像のすべてのポイントでの平行長さは、仮想視聴者から遠いか近いかに関係なく、同じスケールになります。その結果、透視投影の場合のように長さが短縮されません。

マルチビュー投影では、オブジェクトの最大 6 枚の画像 (プライマリ ビューと呼ばれる) が生成され、各投影面はオブジェクトの座標軸の 1 つに平行になります。ビューは、第一角投影または第三角投影の 2 つのスキームのいずれかに従って、互いに対して配置されます。いずれの場合も、ビューの外観は、オブジェクトの周りに 6 辺のボックスを形成する平面に投影されていると考えることができます。6 つの異なる側面を描くことができますが、通常は3 つの図面ビューで 3D オブジェクトを作成するのに十分な情報が得られます。これらのビューは、正面図、上面図、および端面図と呼ばれます。立面図、平面図、および断面という用語も使用されます。

斜投影では、平行投影光線は正投影のように表示面に対して垂直ではなく、90 度以外の角度で投影面に当たります。正投影と斜投影の両方において、空間内の平行線は投影された画像上で平行に表示されます。斜投影は単純であるため、正式な作業用図面ではなく、絵画目的にのみ使用されます。斜投影の絵画図面では、表示される軸間の角度と短縮係数 (スケール) は任意です。これにより生じる歪みは通常、画像化されたオブジェクトの 1 つの平面を投影面と平行になるように調整することで軽減され、選択した平面の実際の形状、つまりフルサイズの画像が作成されます。斜投影の特殊なタイプは次のとおりです。

キャバリア投影法（キャバリア遠近法またはハイビューポイントと呼ばれることもある）では、物体の一点はx、y、zの 3 つの座標で表されます。図面上では、 x″とy″の 2 つの座標でのみ表されます。平面図では、図のxとz の2 つの軸は直交し、これらの軸上の長さは 1:1 のスケールで描かれます。したがって、これは二次元投影法に似ていますが、 3番目の軸（ここではy ）が対角線に描かれ、 x″軸と任意の角度（通常は 30° または 45°）をなすため、軸測投影法ではありません。3 番目の軸の長さはスケール化されていません。

キャビネット投影法（キャビネット パースペクティブとも呼ばれる）という用語は、家具業界のイラストレーションで使用されていることに由来しています。^[要出典]キャバリア パースペクティブと同様に、投影されたオブジェクトの 1 つの面は表示平面と平行であり、3 番目の軸は角度 (通常は 30° または 45° または arctan(2) = 63.4°) で外れるように投影されます。キャバリア投影法では 3 番目の軸の長さが維持されますが、キャビネット投影法では後退線の長さが半分になります。

斜投影の変形は軍事投影と呼ばれます。この場合、平面図が歪まないように水平断面が等角投影で描かれ、垂直線は斜めに描かれます。軍事投影は、xy平面での回転とz量の垂直移動によって表されます。^[1]

軸測投影は、物体を斜め方向から見た画像を示し、1 つの画像で空間の 3 つの方向 (軸) すべてを明らかにする。^{[2]軸測投影は、}正投影または斜め投影のいずれかです。軸測図の機器図は、グラフィカルな透視投影を近似するためによく使用されますが、近似には歪みが伴います。絵画投影には本質的にこの歪みが含まれているため、絵画の機器図では、労力を節約し、効果を最大限に高めるために、かなりの自由度がとられます。^{[説明が必要]}

軸測図は、視点が直交から外れる正確な角度に応じて、等角投影、二角投影、三角投影の3つのカテゴリにさらに分類されます。 ^{[3] [4]}正投影図の典型的な特徴は、空間の1つの軸が通常垂直に表示されることです。

等角投影図法（方法については、等角投影法を参照）では、視点の方向によって、空間の 3 つの軸が均等に短縮され、それらの間の共通角度は 120° になります。短縮によって生じる歪みは均一であるため、すべての辺と長さの比例関係が維持され、軸は共通のスケールを共有します。これにより、図面から直接測定値を読み取ったり取得したりすることができます。

二等辺三角形の図法（方法については、二等辺三角形の投影法を参照）では、視線の方向によって、空間の 3 つの軸のうち 2 つが均等に短縮されて表示され、それに伴うスケールと表示角度は視線の角度に応じて決定されます。3 番目の方向（垂直）のスケールは別に決定されます。二等辺三角形の図法では、近似が一般的です。

三角測量図法（方法については、三角測量図法を参照）では、視線の方向によって、空間の 3 つの軸すべてが不均等に短縮されて表示されます。3 つの軸のそれぞれに沿ったスケールとそれらの間の角度は、視線の角度によって個別に決定されます。三角測量図法では、近似が一般的です。

平行投影で描かれた物体は、見る人に近づいたり遠ざかったりしても、大きく見えたり小さく見えたりしません。これは、画像から直接測定する必要がある建築図面には有利ですが、透視投影とは異なり、人間の目や写真の通常の動作とは異なるため、結果として歪みが感じられます。また、右の図に示すように、深さや高度の測定が困難な状況になりがちです。

この等角投影図では、青い球が赤い球より 2 単位高くなっています。ただし、図の右半分を覆うと、高さを示す手がかりとなるボックスが見えなくなるため、この高度差は明らかではありません。

この視覚的な曖昧さは、オプアートや「不可能物体」の絵で利用されてきた。M.C .エッシャーの滝（1961年）は、厳密には平行投影を使用していないが、有名な例であり、水路が下向きの経路に沿って補助なしに移動するように見えるが、逆説的にも水源に戻るときに再び落下する。したがって、水はエネルギー保存の法則に従わないように見える。極端な例は映画「インセプション」で描かれており、そこでは強制遠近法のトリックによって、動かない階段の接続が変更されている。ビデオゲーム「フェズ」は、遠近法のトリックを使用して、プレイヤーがパズルのように移動できる場所とできない場所を決定します。

透視投影または透視変換は、3 次元のオブジェクトを画像平面に投影する投影法です。これにより、遠くのオブジェクトが近くのオブジェクトよりも小さく見えるようになります。

また、本来平行な線（つまり、無限遠点で交わる線）が投影画像では交差して見えることも意味します。たとえば、鉄道を透視投影で描くと、消失点と呼ばれる一点に向かって収束するように見えます。写真レンズと人間の目は同じように機能するため、透視投影が最もリアルに見えます。^[5]透視投影は、描かれた物体の軸に対する投影面の向きによって、通常、 1点透視図法、2点透視図法、3点透視図法に分類されます。^[6]

図形投影法は、線と点の二重性を利用しており、2本の直線は1つの点を決定し、2つの点は直線を決定します。視点の絵画平面への正射影は主消失点と呼ばれます（右の図のPPは、ルネッサンス時代に造られたイタリア語のpunto principaleに由来します）。^[7]

線上の関連する 2 つの点は次のとおりです。

• 絵画平面との交差、そして
• 消失点は、視点からの平行線と絵画の平面との交点にあります。

主要な消失点は、絵画の平面に垂直なすべての水平線の消失点です。すべての水平線の消失点は、地平線上にあります。よくあることですが、絵画の平面が垂直である場合、すべての垂直線は垂直に描かれ、絵画の平面上に有限の消失点は存在しません。幾何学的なシーンを投影するためのさまざまなグラフィカルな方法を簡単に想定できます。たとえば、45°の視点から絵画の平面まで描いた線は、視点から平面までの距離を半径とする円に沿って絵画の平面と交差します。したがって、その円をトレースすると、45°線のすべての消失点を構築するのに役立ちます。特に、その円と地平線の交点は、2つの距離点で構成されます。これらは、チェス盤の床を描くのに役立ち、チェス盤の床は、シーン上のオブジェクトのベースを見つけるのに役立ちます。右側の幾何学的立体の遠近法では、水平線を決定する主消失点を選択した後、図の左側の 45° 消失点によって (等距離の) 視点の特徴付けが完了します。各頂点の直交投影から 2 本の線が描かれ、1 本は図の平面に対して 45°、もう 1 本は 90° です。地面と交差した後、これらの線は距離点 (45° の場合) または主点 (90° の場合) に向かいます。それらの新しい交点が地図の投影の位置になります。自然の高さは地面から測定され、地図からの垂直線と交わるまで同じ方法で投影されます。

正投影では遠近法を無視して正確な測定が可能になりますが、透視投影では遠くの物体を小さく表示してよりリアルに表現します。

透視投影では、正投影に比べてより複雑な定義が必要です。この投影の仕組みを理解するための概念的な助けとして、2D 投影を、オブジェクトがカメラのビューファインダーを通して表示されているかのように想像してみてください。カメラの位置、方向、視野によって、投影変換の動作が制御されます。この変換を説明するために、次の変数が定義されています。

• ${\displaystyle \mathbf {a} _{x,y,z}}$–投影される点Aの 3D 位置。
• ${\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}}$–カメラを表す点Cの 3D 位置。
• ${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}}$–カメラの向き（ Tait-Bryan 角で表される）。
• ${\displaystyle \mathbf {e} _{x,y,z}}$–前述のものに対する表示面の位置。^[8]${\displaystyle \mathbf {c} }$

ほとんどの規則では正の z 値 (ピンホールの前にある平面) を使用しますが、負の z 値の方が物理的には正確ですが、画像は水平方向と垂直方向の両方で反転します。その結果は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {c} }$

• ${\displaystyle \mathbf {b} _{x,y}}$– 2D投影${\displaystyle \mathbf {a} .}$

のとき、3D ベクトルは 2D ベクトルに投影されます。 ${\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,}$${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,}$${\displaystyle \langle 1,2,0\rangle }$${\displaystyle \langle 1,2\rangle }$

それ以外の場合、計算するには、まずカメラで定義された座標系に対する点Aの位置としてベクトルを定義します。この座標系はCを原点とし、最初の座標系に対して回転します。これは、から減算し、結果に回転を適用することで実現されます。この変換は、${\displaystyle \mathbf {b} _{x,y}}$${\displaystyle \mathbf {d} _{x,y,z}}$${\displaystyle \mathbf {\theta } }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle -\mathbf {\theta } }$カメラ変換は次のように表すことができ、回転はx軸、 y軸、z軸（これらの計算では、軸が左手系の軸として順序付けられていると仮定している）。 ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\mathbf {\theta } _{x})&\sin(\mathbf {\theta } _{x})\\0&-\sin(\mathbf {\theta } _{x})&\cos(\mathbf {\theta } _{x})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{y})&0&-\sin(\mathbf {\theta } _{y})\\0&1&0\\\sin(\mathbf {\theta } _{y})&0&\cos(\mathbf {\theta } _{y})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{z})&\sin(\mathbf {\theta } _{z})&0\\-\sin(\mathbf {\theta } _{z})&\cos(\mathbf {\theta } _{z})&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\left({{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}\right)}$

この表現は、 xyz規則を使用して3 つのオイラー角(より正確には、テイト・ブライアン角) で回転することに相当します。これは、「外部軸 (シーンの軸) を中心にz、y、x の順序で回転する(右から左に読む)」、または「内部軸 (カメラの軸)を中心にx、 y、 z の順序で回転する(左から右に読む)」と解釈できます。カメラが回転していない場合 ( )、行列は (恒等式として) ドロップアウトし、これは単純にシフトに簡略化されます。${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle }$${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {a} -\mathbf {c} .}$

あるいは、行列を使わずに（などを に置き換え、 をに、をに省略します）次のように記述します。^{[説明が必要]}${\displaystyle a_{x}-c_{x}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \cos \left(\theta _{\alpha }\right)}$${\displaystyle c_{\alpha }}$${\displaystyle \sin \left(\theta _{\alpha }\right)}$${\displaystyle s_{\alpha }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {d} _{x}&=c_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} )-s_{y}\mathbf {z} \\\mathbf {d} _{y}&=s_{x}(c_{y}\mathbf {z} +s_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} ))+c_{x}(c_{z}\mathbf {y} -s_{z}\mathbf {x} )\\\mathbf {d} _{z}&=c_{x}(c_{y}\mathbf {z} +s_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} ))-s_{x}(c_{z}\mathbf {y} -s_{z}\mathbf {x} )\end{aligned}}}$

この変換された点は、次の式を使用して2D平面に投影することができます（ここでは、x / yが投影面として使用されますが、文献ではx / zが使用されることもあります）。^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{x}+\mathbf {e} _{x},\\[5pt]\mathbf {b} _{y}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{y}+\mathbf {e} _{y}.\end{aligned}}}$

あるいは、同次座標を用いた行列形式では、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{x}\\\mathbf {f} _{y}\\\mathbf {f} _{w}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&{\frac {\mathbf {e} _{x}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&1&{\frac {\mathbf {e} _{y}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&0&{\frac {1}{\mathbf {e} _{z}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}}$

相似三角形を用いた議論と組み合わせると、同次座標による除算となり、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=\mathbf {f} _{x}/\mathbf {f} _{w}\\\mathbf {b} _{y}&=\mathbf {f} _{y}/\mathbf {f} _{w}\end{aligned}}}$

視聴者からディスプレイ面までの距離は、視野に直接関係します。ここで、 は視聴角度です。(注: これは、点 (-1,-1) と点 (1,1) を視聴面の角にマッピングすることを前提としています) ${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$${\displaystyle \alpha =2\cdot \arctan(1/\mathbf {e} _{z})}$

上記の式は次のように書き直すこともできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=(\mathbf {d} _{x}\mathbf {s} _{x})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{x})\mathbf {r} _{z},\\\mathbf {b} _{y}&=(\mathbf {d} _{y}\mathbf {s} _{y})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{y})\mathbf {r} _{z}.\end{aligned}}}$

ここで、は表示サイズ、は記録面サイズ ( CCDまたは写真フィルム)、は記録面から入射瞳(カメラ中心)までの距離、 は投影される 3D ポイントから入射瞳までの距離です。 ${\displaystyle \mathbf {s} _{x,y}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{x,y}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{z}}$${\displaystyle \mathbf {d} _{z}}$

2D 平面を特定の表示メディアにマッピングするには、その後のクリッピングおよびスケーリング操作が必要になる場合があります。

「弱い」透視投影は正投影と同じ原理を使用しますが、拡大縮小係数を指定する必要があり、これにより、投影では近いオブジェクトが大きく表示され、その逆も同様になります。これは正投影と透視投影のハイブリッドと見ることができ、個々のポイントの深さを平均定数の深さに置き換えた透視投影として説明できます。^[12]または単に正投影にスケーリングを加えたものとして説明できます。^[13]${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle Z_{\text{ave}}}$

したがって、弱透視モデルは、純粋な（スケールなしの）正投影法に似た、より単純なモデルを使用しながら透視投影を近似します。視線に沿ったオブジェクトの奥行きがカメラからの距離に比べて小さく、視野が狭い場合、これは妥当な近似です。これらの条件では、3D オブジェクト上のすべてのポイントがカメラから同じ距離にあると想定でき、投影に大きな誤差はありません（完全な透視モデルと比較して）。 ${\displaystyle Z_{\text{ave}}}$

方程式

${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{x}={\frac {X}{Z_{\text{ave}}}}\\[5pt]&P_{y}={\frac {Y}{Z_{\text{ave}}}}\end{aligned}}}$

焦点距離を仮定します。 ${\textstyle f=1}$

どの画面のx座標が点に対応するかを判断するには、点の座標に次の値を掛けます。 ${\displaystyle A_{x},A_{z}}$

${\displaystyle B_{x}=A_{x}{\frac {B_{z}}{A_{z}}}}$

どこ

${\displaystyle B_{x}}$画面のx座標

${\displaystyle A_{x}}$モデルのx座標

${\displaystyle B_{z}}$焦点距離はカメラの中心から像面までの軸方向の距離である。

${\displaystyle A_{z}}$被写体までの距離です。

カメラは 3D なので、上の図と方程式の xをyに置き換えると、画面のy座標にも同じことが当てはまります。

あるいは、クリッピング技術を使用して、変数を FOV 角度外のポイントとカメラ マトリックス内のポイントの値に置き換えることもできます。

この手法は「逆カメラ」とも呼ばれ、必要な変換がすべて完了した後、目に見えない点から投影して、目に見える角度の最後の点を計算するための既知の値を持つ透視投影計算です。

• Kenneth C. Finney (2004)。3Dゲームプログラミング オールインワン。Thomson Course。p. 93。ISBN 978-1-59200-136-13D投影。
• Koehler; Ralph (2000 年 12 月)。2D / 3D グラフィックスとスプライン (ソース コード付き)。Author Solutions Incorporated。ISBN 978-0759611870。

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